第1年年末，例你将题拥3有.1：：解答
70001.08 4000 11560
第2年年末，你将拥有：
115601.08 4000 16484.8
第3年年末，你将拥有：
16484.81.08 4000 21803.58
第4年年末，你将拥有：
21803.581.08 23547.87
两种计算方法
100元
B. B. 累计终值：
0
1
现金流量 100元 终值合计
100元 108
208
2 时间（年）
224.64
图3-1：时间线
例题3.1 储蓄问题
❖ 你觉得可以在接下来的3年的每一年年末，在 一个利率为8%的银行账户中存入4000元，目 前该账户已经有7000元，3年后你将拥有多 少钱？4年后呢？
我们知道年金例C是题每3月.48：0元，利率r是每月
2%，期数未知。现值是1200元（你今天 所借的钱）。
PVIFAr,t 现值 C 15
PVIFAr,t 1 PVIF r,t r PVIF r,t 0.7
查现值系数表，发现2%利率下，第18期对应的系数为0.7。 所以需要大约1年半你能还清信用卡的贷款。
这一问题可以表示为求以下等式的r:
18000
5600
1 r
5600
1 r 2
……
5600
1 r 5
求内含报酬率
该方程与年金现值方程类似，因此求解该方 程可以采用插值法。
首先计算年金现值系数18000/5600=3.2143 查年金现值系数表，发现该值介于5年期 16%贴现率下的年金现值(3.2743)和5年期 18%年金现值系数（3.1271）之间，我们用 插值法来计算报酬率。
永续年金的现值
❖ 对上述求年金现值的公式求极限，当t趋向于 无穷时，公式可以表达成如下：
1
永续年金现值
lim
C
t
1
1
r
r
t
C r
永续年金——优先股
优先股(preferred stock)是永续年金的一个重 要例子。当一家公司发行优先股时，承诺就 是持续地获得每期（通常是每季）的固定现 金股利。这种股利一般是在普通股利之前发 放的，所以叫优先股。
这里，年数是30年，利率r是8%，可以计算年金终
值系数如下： 年金终值系数
终值系数
1
r
1.0830 1
0.08
10.0627 1 0.08 113.283
年金终值 2000113.28
226566.4
3.2.4 永续年金
已经知道，一系列均衡现金流量被称为年金。 年金的一种重要的特例是现金流量无限地持 续下去，这种情况叫做永续年金 （perpetuity）。
之和A公0 式为1A：1r
A2
1 r 2
……
At
1 r t
于是r就是使得未来现金流量序列(A1, A2,……At)的现值等于第0期的初始现金支出 的贴现率。
求内含报酬率
假定一个投资机会，第0期需现金支出18000 元，且在以后5年中，预期每年年末有5600 元的现金流入量，请问内部报酬率是多少？
例题3.5：求年金的贴现率
❖ 保险公司提出，只要先一次性支付6710元， 那么它就在10年中每年给你1000元。这个10 年期的年金所隐含的利率是多少呢？
例题3.5：解答
本例中，已经知道现值6710元、年金1000元和时间10年，求
利率。
6710
1000
1
现值系数
r
1
6710 1000
6.71
例题3.7：优先股股利
假设公司想要以100元发行优先股，已经流通 在外的类似优先股的每股价格是40元，每季 发放1元的股利。如果公司要发行这支优先股， 它必须提供多少股利？
例题3.7：解答
❖ 已发行的优先股的现值是40元，现金流是永续
的1元，因此根据永续年金现值公式有：
现值
40
1
1 r
r 2.5%
0 现金流量
1 100元
2 200元
3 时间（年）
300元
如假定一个3年期的投资，第1年的现金流量为100元， 第2年的现金流量为200元，第3年的现金流量为300元， 那么画出时间线，在没有别的信息时，应该如上图。
3.2 均衡现金流量：年金和永 续年金
我们经常遇到的情况是多期现金流量，而且 每一期的金额都一样。例如，非常普遍的住 房贷款和汽车贷款要求借款人在某段时间， 每期偿还固定的金额，而且通常是每个月只 付一次。
1
1
r
10
r
查年金现值系数表，第10期这一行，发现8%的年金现值系数
为6.7101。因此，保险公司提供的是8%的报酬率。
3.2.2 年金终值
❖ 有年金现值系数就有年金终值系数。根据公 式：
年金终值系数 终值系数 1 r
1 r t 1 r
例题3.6：退休金
假定计划每年将2000元存入利率为8%的退休金帐 户，那么30年后退休时，将有多少钱呢？
9044
1542
3809
5 5351
4778
1085
4266
6 5351
0
573
4778
32106
10106 22000
例题3.3：求年金现值
假设你的预算是在未来4年每月能支付700元， 当前的月利率是1%，如果你想按揭一辆汽车， 那么你可以为该汽车向银行申请多少贷款？
PVIFA1%例, 48题 31.3P：VIF解1%答, 48 r
未来现金流量，当每年计复利时，现值就应
该用公式：
PV
Cn
1
1
r m
mt
r
m Βιβλιοθήκη 多次计复利下的汽车贷款偿还
假设上例，以12%的利率借入一笔汽车贷款 22000元，要在未来的4年内还清。假设每月 等额分期偿还一次，每次偿还额多少？
12%的年利率每月计息一次，则月息为1%， 共有4×12=48期 查现值系数表，得到 PVIF(1%,48)=1/(1+1%)48= 0.7101
当我们计算多期存款的终值时，有两种计算 方法： ❖ 计算每年年初的余额，然后再向前滚1年； ❖ 第2种方法是计算每一笔现金流量的终值，再 把它们加总起来。
例题3.2：投资问题
❖ 考虑接下来的5年中每年年末投资2000元的终值 ，贴现率为10%。
0
1
2
3
2000
2000
2000
4 2000
5 2000
当报酬率或利率为r，持续期为t，每期C元
的年金现值是：
年金现值
C
1
现值系数 r
C
1
1
1
r
r
t
年金现值系数
C后面的系数P叫V做IF年A金r现, t值 系数，缩写为
年金现值系数看起来复杂，但注意 是现值系数，所以
1
1
r
t
就
❖ 年金现值系数=（1-现值系数）/r
分期偿还贷款
财务管理
贴现现金流量
引言
假设，火箭队和姚明签订了一份1000万美元的合约， 仔细看看，1000万美元的数字表明姚明的待遇很优 厚，但是实际的待遇却和报出的数字相差甚远。合 约价值的1000万美元，确切地讲要分好几年支付， 包括200万美元的奖金和800万美元的工资，奖金和 工资又要分好几年支付，因此，一旦我们考虑到货 币的时间价值，实际所得就没有报出的数目那么多。
❖ 你还将知道如果你每个月都只付最低的付 款额，你将需要多长时间才能还清信用卡 账单；
❖ 如何比较利率，以及决定哪个利率最高， 哪个利率最低。
3.1 多期现金流量的现值和终值
上次课已经讲述了一个总现值的终值，或者 单一的未来现金流量的现值。本节课，将拓 展这些基本的结果来处理多期现金流量。
3.1.1 多期现金流量的终值
22000=4.1114C C=5351元
分期偿还贷款表
年末
分期偿还额 （1）
年末所欠本金 年息（3）
（2）
（2）t-1×r
支付的本金（1） -（3）
0
-
22000
-
-
1 5351 19289 2640
2711
2 5351 16253 2315
3036
3 5351 12853 1951
3400
4 5351
例题3.3：解答
0
1
2
3
4
5
943.4
890 839.62 792.09
747.26
1000
1000
1000
1 1.06
1 1.062
1 1.063
1 1.064
1 1.065
4212.37
1000
1000
在求在关求现于值和现终值金时流，现量金流时量的点时点的非常说重明要。几乎所
有这种计算中，都隐含地假设现金流量发生在每期期末。实 际上，所有的公式，现值表和终值表中，都假设现金流量发 生在期末。除非另有说明，否则假设就包含这个意思。
引言
在前一章中，我们讲述了贴现现金流量估 价的基本知识。然而，到目前为止，只是 针对单一现金流量。在实务中，大部分投 资都不只一笔现金流量。本章，我们就来 学习如何评价复杂现金流量的投资。
本章学习之后能解决的问题
学习完这一章，你就会掌握一些非常实用 的技巧：
❖ 如计算汽车贷款的付款额，助学贷款的付 款额；
第1年2000元例的终题值3：.2：解答
20001.14 2928.2
第2年2000元的终值：
20001.13 2662