1．设0>a 且1≠a ，函数122-+=x x a a y 在[]1,1-的最大值是14，求a 的值。

【答案】331==a a 或 试题解析：令)1,0(≠>=a a a t x ，则原函数化为)0(2)1(1222>-+=-+=t t t t y 2分①当10<<a 时，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=-∈aa a t x x 1,,1,1 3分此时)(t f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a 1,上为增函数，所以142)11()1()(2max =-+==a a f x f 6分所以31(51=-=a a 舍）或 7分 ②当1>a 时，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=-∈a a a t x x ,1,1,1 8分此时)(t f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a,1上为增函数，所以142)1()()(2max =-+==a a f x f 10分所以3(5=-=a a 舍）或 11分综上331==a a 或 12分 考点：1，函数单调性 2，函数奇偶性.3，换元法.2．已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数的单调性；（3）设,若< ,对所有恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）试题解析：（1）因为有，令，得，所以，令可得：所以，所以为奇函数.（2）是定义在上的奇函数,由题意则，由题意时，有.，是在上为单调递增函数;（3）因为在上为单调递增函数，所以在上的最大值为，所以要使<,对所有恒成立，只要>1,即>0恒成立令得：考点：（1）函数奇偶性的证明。

（2）函数单调性的证明。

（3）运用函数思想及函数性质解决恒成立问题。

3．（本小题满分12分）已知函数11)(+-=x x e e x f ．（1）判断)(x f 的奇偶性．（2）判断)(x f 在R 上的单调性，并用定义证明．（3）是否存在实数t ，使不等式0)()(22≥-+-t x f t x f 对一切]2,1[∈x 恒成立若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）)(x f 的奇函数．（2）)(x f 在R 上是增函数，证明见解析．（3）12≤≤-t试题解析：（1）R x ∈)(1111)(x f ee e e xf xxxx -=+-=+-=--- )(x f ∴是奇函数． 3分（2）任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则)1)(1()(2)()(212121++-=-x x x x e e e e x f x f ，∵x 1<x 2，∴21x x e e < ，∵0)1)(1(21>++x x e e ， ∴f （x 1）－f （x 2）<0，即f （x 1）<f （x 2），∴f （x ）在R 上是增函数． 6分 （3）假设存在实数t 满足条件．由f （x ）是R 上的奇函数，不等式f （x －t ）＋f （x 2－t 2）≥0可化为f （x －t ）≥－f （x 2－t 2），即f （x －t ）≥f （－x 2＋t 2），又f （x ）是R 上的增函数，∴f （x －t ）≥f （－x 2＋t 2）等价于x －t ≥－x 2＋t 2，即x 2＋x －t 2－t ≥0对一切]2,1[∈x 恒成立，即t t x x +≥+2min 2)( 9分即t t +≥22解得12≤≤-t综上所述，存在12≤≤-t 使不等式f （x －t ）＋f （x 2－t 2）≥0对一切]2,1[∈x 恒成立． 12分考点：1、函数的奇偶性判断；2、函数单调性的证明；3、关于含参数的恒成立问题； 2、用定义证明函数的单调性，一般的思路是：设点，作差，变形，判断符号，3、含参数的恒成立问题一般采用参变分离的方法．4．已知)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且1)1(=f ，若[]0,1,1,≠+-∈n m n m 时，有0)()(>++nm n f m f（1）证明)(x f 在[]1,1-上是增函数；（2）解不等式0)33()1(2<-+-x f x f（3）若12)(2+-≤at t x f 对[][]1,1,1,1-∈-∈∀a x 恒成立，求实数t 的取值范围【答案】（1）详见解析 （2）⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,1x （3）022=-≤≥t t t 或或 【解析】试题分析：（1）利用定义法任取1121≤<≤-x x 得12()()f x f x -=12()()f x f x +-121212()()()f x f x x x x x +-=--因为0,0)()(212121<->--+x x x x x f x f 即可证明12()()f x f x <．（2）根据函数单调性确定⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤-≤--<-133111133122x x x x 即可解得⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,1x ．（3）因为)(x f 在[]1,1-是单调递增函数且max ()f x ＝1，所以只要f(x ）的最大值小于等于221t at -+即2211t at -+≥，然后即可求得t 的范围.试题解析：（1）任取1121≤<≤-x x ，则)()()()()()()(2121212121x x x x x f x f x f x f x f x f ---+=-+=- 2分0)(,112121≠-+∴≤<≤-x x x x ，由已知0,0)()(212121<->--+x x x x x f x f 4分0)()(21<-∴x f x f ，即)(x f 在[]1,1-上是增函数 5分（2）因为)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，且在[]1,1-上是增函数不等式化为)33()1(2-<-x f x f ，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤-≤--<-133111133122x x x x ，解得⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,1x 9分（3）由（1）知)(x f 在[]1,1-上是增函数，所以)(x f 在[]1,1-上的最大值为1)1(=f ，要使12)(2+-≤at t x f 对[][]1,1,1,1-∈-∈∀a x 恒成立，只要0211222≥-⇒≥+-at t at t 10分设[]0)(,1,1,2)(2≥-∈∀-=a g a at t a g 对恒成立， 11分所以⎩⎨⎧⎩⎨⎧≤≥-≤≥⇒≥-=≥+=-022002)1(02)1(22t t t t t t g t t g 或或 13分 所以022=-≤≥t t t 或或 14分考点：1，函数单调性2，函数奇偶性3，含参函数不等式求解. 5．已知函数2()1f x x =-，()1g x a x =-．（Ⅰ）若()()f x g x =有且仅有两个不同的解，求a 的值；（Ⅱ）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若0a <时，求()()()G x f x g x =+在[2,2]-上的最大值．【答案】（Ⅰ）0a =或2a =；（Ⅱ）2a ≤-；（Ⅲ）max 0, 3()3,30a G x a a ≤-⎧=⎨+-<<⎩．试题解析：（Ⅰ）211x a x -=-，∴1x =或1x a +=∴0a =或2a = （Ⅱ）211x a x -≥- ①若1x =，a R ∈；②若1x ≠，则2min11x a x ⎛⎫-≤ ⎪ ⎪-⎝⎭()()()()21,12+111,1-2+x x x x x x +>∈∞⎧-⎪=⎨---<∈∞⎪⎩，，， ∴2a ≤-（Ⅲ）2221,[2,1]()1,(1,1)1,[1,2]x ax a x G x x ax a x x ax a x ⎧-+-∈--⎪=--++∈-⎨⎪+--∈⎩若22a ≤-，即4a ≤-，则22a -≥ 所以，()G x 在[2,1]--上递增，(1,1)-上递增，[1,2]上递减，所以，max ()(1)0G x G ==若212a -<<-，即42a -<<-，则122a<-< 所以，()G x 在2,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减，,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭递增，(1,1)-递增，1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭递减，,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递增又()G 233a =+，()G 10=，()G 23a =+所以，当43a -<≤-时，max ()(1)0G x G == 当32a -<<-时，()()max G G 23x a ==+ ③若102a -≤<，即20a -≤<，则012a <-≤ 所以，()G x 在[2,1]--上递增，1,2a ⎛⎫--⎪⎝⎭上递增，,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，[1,2]上递减， 又(2)33G a -=+，2124a aG a ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，(2)3G a =+ 由于2314a a a +>++，所以max ()(2)3+G x G a == 综上，max 0, 3()3,30a G x a a ≤-⎧=⎨+-<<⎩考点：函数的图象与性质的应用；绝对值不等式的求解．6．已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈．（1）若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明；（2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）若存在实数[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．【答案】（1）奇函数，（2）11a -≤≤，(3) 918t << 试题解析：（1）函数()y f x =为奇函数．[来当0a =时，()||2f x x x x =+，x R ∈，∴()||2||2()f x x x x x x x f x -=---=--=- ∴函数()y f x =为奇函数； 3分（2）22(22)(2)()(22)(2)x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥=⎨-++<⎩，当2x a ≥时，()y f x =的对称轴为：1x a =-；当2x a <时，()y f x =的对称轴为：1x a =+；∴当121a a a -≤≤+时，()y f x =在R 上是增函数，即11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数； 7分（3）方程()(2)0f x tf a -=的解即为方程()(2)f x tf a =的解．①当11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数，∴关于x 的方程()(2)f x tf a =不可能有三个不相等的实数根； 9分②当1a >时，即211a a a >+>-，∴()y f x =在(,1)a -∞+上单调增，在(1,2)a a +上单调减，在(2,)a +∞上单调增，∴当(2)(2)(1)f a tf a f a <<+时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即244(1)a t a a <⋅<+，∵1a >∴111(2)4t a a<<++．设11()(2)4h a a a=++，∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t h a <<，又可证11()(2)4h a a a =++在(1,2]上单调增 ∴max 9()8h a =∴918t <<； 12分 ③当1a <-时，即211a a a <-<+，∴()y f x =在(,2)a -∞上单调增，在(2,1)a a -上单调减，在(1,)a -+∞上单调增，∴当(1)(2)(2)f a tf a f a -<<时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即2(1)44a t a a --<⋅<，∵1a <-∴111(2)4t a a<<-+-，设11()(2)4g a a a =-+- ∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t g a <<，又可证11()(2)4g a a a =-+-在[2,1)--上单调减∴max 9()8g a = ∴918t <<； 15分 综上：918t <<． 16分 考点：函数奇偶性，函数单调性，函数与方程.。