,m
j 1,
,n
是一个 m n 阶的矩阵.
同样可定义微分: dy f x0 dx
8
二、小结
了解向量值函数的极限,连续,导数概念.
9
作业
习题７.8(97页) 3.
103ຫໍສະໝຸດ 结论:limxa
f
(x)
A
lim
xa
fi
(x)
Ai ,
i
1,
2,
m
4
2. 连续性
设 f f1, f2, fm : D Rn Rm
是一个n元向量值函数,
a a1, a2, an D Rn,
定义2 f (x)在a点连续 lim f (x) f (a) xa
0, 0,x D,当0 x a 时,
1. 极限
设 f f1, f2, fm : D Rn Rm
是一个n元向量值函数,
a a1, a2, an D Rn, A A1, A2, Am Rm
定义2 lim f (x) A lim f (x) A 0
xa
xa
0, 0,x D,当0 x a 时,
有 f (x) A
有 f (x) f (a)
结论:
f
:D
Rn
Rm在点a连续
lim
xa
fi (x)
fi (a)
即,向量值函数的连续性归结为多元函数的连续性. 5
三、向量值函数的导数
同样可以定义微分
1. 一元向量值函数的导数
dy f (x0 )dx
设 f f1, f2, fm : D R Rm
x R, y f (x)
定义 设 x0 D Rn , 并设每一个 fi 都在点 x0
可微,则称向量值函数 f 在点 x0可微,
并称下列雅可比矩阵
J
f1, f2, x1, x2,
fm xn
是 f 在点 x0 的导数(又称全导数),记作
f x0 或D f x0
7
即,
D f x0
fi x j
i1,
x x1, x2, , xn Rn, y y1, y2, , ym Rm,
如,
yi fi x1, x2, , xn , i 1, 2, m r1 cos t
r r(t) cos ti sin t j tk
即,r
r2
sin
t
r3 t 2
二、向量值函数的极限与连续性
其中y= y1, y2, ym f1(x), f2 (x), fm (x)
定义
f1 ( x0
)
dy dx
lim
x0
f
( x0
x) x
f (x0 )
f
2
(
x0
)
f (x0 )
f
m
(
x0
)
6
一般地,设
f f1, f2, fm : D Rn Rm
f x1, x2, xn f1 x1, x2, xn , , fm x1, x2, xn T
第八节 向量值函数的导数
向量值函数的概念 向量值函数的极限与连续性 向量值函数的导数 小结 思考题 作业
第八章 多元函数微分法及其应用
1
一、向量值函数的概念
定义1 (向量值函数)设D Rn 是一个点集,
称映射 f : D Rm m 2
为定义于 D 上,在Rm 中取值的n元向量值函数.
记为 y f (x) 即,