是 f x在点x0 处的导数.
由此可见,凡是一元m 维向量值的导数是各个分量 的导数所组成的一个m 维列向量.
例2： 当n=2，m=1时，有向量值函数 y=f(x),其中
x x1, x2 T D R2. 它等价于 y f x1, x2 .
如果在点x0 x10, x20 处函数的偏导都存在，则可称
A


a21
a22

副对角线 am1 am1
a1n
a2n


amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij

mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
•元素是实数的矩阵称为实矩阵,
•元素是复数的矩阵称为复矩阵.
•只有一行的矩阵 A a1, a2, , an , 称为行矩阵
(或行向量).
a1
•只有一列的矩阵
B


a2

,
称为列矩阵(或列向量).

an
定义（转置矩阵）把矩阵 A 的行换成同序数的列 得到的新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 A .
例
A


1 4
2 5
2 8

,
1 4
AT


2
5 ;
2 8
在点a 以A A1, A2, A3 T A1i A2 j A3 k 为极限的
定义是：
0, 0,x D,当0 x a 时,有
3
2
f (x) A
fk x Ak
k 1
成立，就称当 x a 时， f x 以 A 为极限，记做
Rn → Rm .
9.10.2 向量值函数的极限和连续性
定义9.13 设 f f1, f2, fm T : D Rn Rm是一个
n元向量值函数,它在 a a1, a2, an T D Rn 的某
个去心邻域内有定义，A A1, A2, Am T Rm是一m维
§9.10 向量值函数的导数
9.10.1 向量值函数 9.10.2 向量值函数的极限和连续性 9.10.3 向量值函数的导数
9.10.1 向量值函数
y f x 一个自变量与一个因变量之间的关系
y f x1, x2, , xn
多个自变量与一个 因变量之间的关系
本节讨论：
yi fi x1, x2, , xn ,i 1, 2, , m

y2

f2 x1, x2 ,

ym fm x1, x2 ,
, xn , xn ,
, xn
称向量 y y1, y2, , ym T 为定义在D 上,在Rm中取值
的n 元m 维向量值函数(或矢性函数),记为 y f x,
其中 x =(x1,x2,…,xn)T ∈D⊂Rn.或向量值函数 f : D ⊂
多个自变量与多个因变量之间的关系
定义9.11 由 mn 个数 aij i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
排成的 m 行 n 列的数表
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
am1 am2
amn
称为 m n 矩阵.简称 m n 矩阵. 记作
主对角线 a11 a12
m


f
k

x
Байду номын сангаас


Ak
2
k 1
结论：
lim
xa
f (x)
A lim
xa
fk (x)
Ak , k
1, 2,
m
特别的，当n=1，m=3时，向量值函数
f x
T
f1 x , f2 x , f3 x f1 x i f2 x j f3 x k
lim f (x) f (a), 则称向量值函数f : D → Rm 在 a 点连续.
xa
结论:
f
:D
Rn

Rm在点a连续 lim xa
fk (x)
fk (a)
即,向量值函数的连续性归结为多元函数的连续性.
注：如果 f 在D 的每一点连续, 则称f是D上的一个 连续向量值函数.
9.10.3 向量值函数的导数
定值向量，如果 0, 0,x D,当0 x a 时,
有 f (x) A , 就称当 x a时,向量值函数 f x
以A为极限,记作 lim f (x) A. xa n
其中 x a xi ai 2 , f x A i 1
例1： 当n=1，m=3时，有向量值函数
f x f1 xi f2 x j f3 xk,
如果 f1 x , f2 x , f3 x 在点x0处可导，可称
f ' x0 f '1 x0 i f '2 x0 j f '3 x0 k,
f '
x0
f


x1
,
f
x2
x0
,
是 f(x) 在点x0 处的导数.
定义9.15 设有向量值函数f : D ⊂ Rn → Rm,即有
T
y f x f1 x , f2 x , , fm x ,
其中 x =(x1,x2,…,xn)T ∈D⊂Rn.如果每一个函数 fk x
a1
B


a2



a1
,
a2
,
an
, an T ,
定义9.12 设有m 个n 元函数 yi fi x1, x2, , xn ,
(i 1, 2, , m) 定义于非空子集D⊂Rn 上,即有一个
多元函数组:
y1 f1 x1, x2 ,
(k=1,2,…,m),点x°∈D 处对每一个自变量的偏导
lim f (x) A
xa
定义9.14 设 f f1, f2, fm T : D Rn Rm
是一个n元m维向量值函数,它在 a a1, a2, an T D
Rn 的某个邻域内有定义，如果 0, 0,x D,
当0 x a 时,有 f (x) f (a) 成立, 即有