x x(t),

y

y(t ),
z z(t),
r (t )

x(t)i
y(t) j
z(t)k,

t

.
因此一元向量值函数在物理上是质点运动的轨迹，
几何上表示空间一条曲线。
z
（2)当 Rr (t ) 0时, 得r平面向量r 值函数
f ( x) P( x)i Q( x) j , x I x

Q(
x)
,
lim
x0
R(
x

x) x

R(
x)



dP dx
,
dQ dx
,
dR dx


dP dx
r i

dQ dx
r j

dR dx
r k
r
即 df {dP , dQ , dR } dx dx dx dx


例：设f (t ) t i t 2 j t 3k .


(1)(C ) 0,其 中C是 常 向 量 ；
（2）(a u b v) a u b v, a, b是 常 数 ；
（3）(u v) u v u v;
(4)(u v) u v u v;
(5)r
r( (t )),
( x)v2 u2v2
(
x)u,

v
u
v
3、一元向量值函数导数的物理意义与几何意义
rr(t )

r x(t )i

r y(t) j

r z(t )k
位移
向 量r

r (t

t
)

r (t
),
dr 是质点运动的速度向量，
dt
dr ( x(t))2 ( y(t))2 (z(t))2是速度的大小，
t 2 r t 3 r t 4 r ur
i j k C.
23 4
1 f (t)dt
1
t
i
t2 j
t 3k dt
0
0

1r tdt i
1
t 2dt
r j

1 t 3dt
r k

1
r i

1
r j

1
r k.
0
0
0
23 4
2、一元向量值函数求导运算法则
dr

dr
d
(r
r (s), s

(t )).
仅
证
（3）, 并
且
设dtu,
vd是s
dt
平
面ห้องสมุดไป่ตู้
向
量
：
u
{u1
(
x),
u2
(
x)},v

{v1
(
x),v
2
(
x)},则
u(uvv) uu11(vx1
)v1 ( x u1v1
)
u2 u2 v 2
br
b
b
b
rr
(4) f (x)dx { P(x)dx, Q(x)dx, R(x)dx} F(b) F(a).
a
a
a
a
dF

f (t)
dt




设f ( x) P( x)i Q( x) j R( x)k {P( x), Q( x), R( x)};
y,
z )等 。
如果场描述的物理量在所考察的时间段内不随 时间的变化而变化，称其为稳定场；而随时间的变 化而变化的场称其为不稳定场。
本课程中主要研究稳定场。
小结
一、一元向量值函数的概念 二、一元向量值函数的导数与积分 三、多元向量值函数
向量值函数的极限存在性、连续性、可导、可微、 可积等均依赖于其坐标的极限存在性、连续性、可导、 可微、可积等。
一、向量值函数的概念
空间曲线的切向量：Tr x(t), y(t), z(t)
空间曲面F ( x, y, z) 0的法向量：n {F , F , F } x y z
定 义1 设I是 一 个 区 间，V3是 一 个 三 维 向 量 空 间 ，
从I到V3的 映 射 ，
r
r
r
注：df ( x) lim f ( x x) f ( x)
dx x0
x

lim
x0
1 x

P(
x

x),
Q(
x

x),
R(
x

x)

P(
x),
Q(
x),
R(
x)


lim
x0
P(
x

x) x

P(
x)
,
lim
x0
Q(
x

x) x
元数量值函数。
注：（1）一元向量值函数的物理意义与几何意义
设 起 点 在 原 点O(0,0,0),终 点 在M ( x, y, z)
的 向 量 记 为r, 质 点 运 动 的 参 数 方 程 ： x x(t), y y(t),z z(t), t ,
则 质 点 的 位 置 变 化 可 表示 为
x x0
x x0
x x0

df dP dQ dR dP dQ dR
(2) i j k { , , };
dx dx dx dx dx dx dx
r
r
r
(3) f ( x)dx P( x)dx, Q( x)dx, R( x)dx F ( x) C;
dt

dr (
)0

{x(t), y(t), z(t)}
是速度的方向。
dt
( x(t))2 ( y(t))2 (z(t))2
r r (t )

r x(t )i

r y(t) j

r z(t )k
从几何上看，当 drr
r 0时，
dt t t0
r
dr dt
tt0 { x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )}是曲线rr(t)
r x sin( xy)i .
x
1 x y
物理量在空间的某个范围内的分布称为一个物
理场。场有两类：数量场（用数量值函数描述）与 向量场（用向量值函数描述）。
数量场如：密度场( x, y, z),温度场T( x, y, z)等；
向
量场如：速
度
场v(
x,
y,
z),力
场F (
x,
（2）
设是
空
间
区
域
，V3是
三
维
向
量
空
间
，
从
到V3的
映
射
，
记
为F
,
称
为
定
义
在上
的
三
元
向
量
值 函 数 ， 即F

:


V3 ,(
x,
y,
z)

,


F ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
{P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)}.
r
r r r rrr
则有：lim f (t) lim t i t 2 j t 3k 2 i 4 j 8k
t2
t2
d
dt

r f (t)

d dt
rrr t i t2 j t3k

rr r i 2t j 3t 2k
r
r
r
r
f (t)dt tdt i t2dt j t3dt k
注：当 drr dt
tt0 0r时，曲线rr(t )在t t0对应的点处
可能没有切线。
三、 多元向量值函数
定
义2（1）
设D是
平
面
区域
，V2是
二
维
向
量
空
间
，
从D到V2的
映
射
，
记
为F
,
称
为
定
义
在D上
的
二
元
向量

值
函
数
，
即F :

D

V2
, (

x,
y)

D,
F ( x, y) P( x, y)i Q( x, y) j {P( x, y), Q( x, y)}.
一 般 地 ， 从m维 空 到n维 向 量 空 间Vn
间R m
{(x1 , x2 ,
{x {x1 , x2 , x
xn ) : n } : ai
xi
R}, R}的
映
r
射
，
当n

2时
都
称
为
多
元
向
量
值
函数.
F( x1, x2,K ，xm )
{ f1( x1, x2,K ，xm ), f2( x1, x2,K ，xm ),K , fn( x1, x2,K ，xm )}.