环境变量
一．用牛顿法求函数
2214121)2()2(),(x x x x x f -+-=
的极小值点坐标（迭代二次）。
解 初始点T
x ]2,3[0
=
则初始点处的函数梯度、海森矩阵及其逆矩阵为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=∇42)2(4)2(2)2(4)(21213
1
0x x x x x x f
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=∇844148442)2(12)(21
02x x f
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡=∇=487241241121
)]([1
02x f 代入牛顿法迭代公式，得
T
x f x f x x ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=∇∇-=34,38)()]([0
1
2
1
-
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=∇02732)2(4)2(2)2(4)(212
1311x x x x x x f
代入牛顿法迭代公式，得
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∇∇-=26.152.2)()]([1
1
12
1
2
x f x f x x -
二、分析比较牛顿法、阻尼牛顿法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔法的特点，找出前四种方法的相互联系。
比较牛顿法：牛顿法收敛很快，对于二次函数只需迭代一次便达到最优点，对非二次函数也能较快迭代到最优点，但要计算二阶偏导数矩阵及其逆阵，对维数较高的优化问题，其计算工作和存储量都太大。
阻尼牛顿法：可以看出原始牛顿法就相当于阻尼牛顿法的步长因子取成固定值1的情况。
阻尼牛顿法每次迭代都在牛顿方向上进行一维搜索，避免了迭代后函数值上升的现象，从而保持了牛顿法二次收敛的特性，而对初始点的选取并没有苛刻的要求。
这类方法的主要缺点计算复杂，工作量大，要求计算机存储量大
共轭梯度法：共轭方向主要是针对二次函数的，但也可以用于一般非二次函数。
共轭方向法是二次收敛的，计算程序简单，存储量相对较少
变尺度法：只需用到函数的一阶梯度；下降算法，故收敛全局；计算量小（不需要求矩阵逆）；一般可以达到超线性收敛（速度快） 鲍威尔法：多维无约束优化算法是在无约束优化算法之一，首先选取一组共轭方向，从某个初始点出发，求目标函数在这些方向上的极小值点，然后以该点为新的出发点，重复这一过程直到获得满意解，其优点是不必计算目标函数的梯度就可以在有限步内找到极值点。
三、已知约束优化问题minf(x)=(x 1-2)2+(x 2-x 1)2
s.t. g 1(x)=-x 12-x 2≥0 g 2(x)=-x 1-x 2+2≥0
试从第k 次的迭代点x k =[-1,2]T 出发，沿由区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点。
请作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。
解：采用直接解法中的随机方向法，
计算随机单位向量120.562 1.01270.2540.4577r e r ⎡⎤⎤⎡⎤
=
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎦⎣⎦⎦
取01a =
1001 1.0127020.4577 1.5k k i x x a e a +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
四．解：构造内点罚函数
r [])(12
1
x g ∑=u ln
对于任意给定的惩罚因子r(r>0)，函数Ф(x ，r)为凸函数。
用解析法求函数Ф(x ，r)的极
小值，令Ф(x ，r)=0,的方程组
得
当不满足，舍去。
无约束极点为
当逐步减小r 值时，直至趋近于0时，逼近原问题的约束最优解，最优
解为。
五、分析说明等式约束和不等式约束的增广乘子法的解题思路及其具体方法。
解：1）等式约束下的广义乘子法 解题思路：
从
min ()
s.t.
()0,1,2,
,j f h j l
⎧⎨==⎩x x 推出
21min ()()2s.t.()0,1,2,,l j j j f h h j l
σ=⎧⎡⎤+⎪⎢⎥
⎨⎣⎦
⎪==⎩
∑x x x
具体方法：
1 选取初始数据。
给定初始点0X ，初始乘子1λ，初始罚因子
10γ>，放大系数1α>，允许误差0ε>，参数(0,1)ω∈，令
K=1。
2 求解无约束问题，以1k X -为初始点，求解无约束问题
2()1
1
min (,,)()()()
2
n
l
l
k k
k k j
j j R
j j L f h x h x γγλ∈===++∑∑x x λx ，设其最优解为k X 3 检查是否满足终止准则，若()k h ε
<x ，则迭代终止，k X 为
等式约束问题
min ();
s.t.()0,1,2,
,,
j f h i l ⎧⎨
==⎩x x 的近似最优解，否则转4
4判断收敛快慢。
若
1()
()
k k h h ω
-≥x x ，则令1k k γαγ+=，转5，否则令
1k k γγ+=，转
5;
5进行乘子迭代，令(1)()(),1,2,,,
k k j j k j k h j l λλγ+=+=x 及1+=k k 返回
2。
（2）不等式约束下的广义乘子法 解题思路：
min ()s.t.()0,1,2,
,,i f g i m ⎧⎨
≤=⎩x x 推出
2min ()s.t.()0,1,2,,.
i i f g y i m ⎧⎨
+==⎩x x
具体方法： 1 引入附加变量
T
m y y y y ),,(21 =将问题
min ()
s.t.(
)0,1,2,,,i f g i m ⎧⎨
≤=⎩x x 等
价于等式约束问题2min ()
s.t.()0,1,2,,.
i i f g y i m ⎧⎨+==⎩
x x
2 上述问题对应的广义乘子法中的乘子罚函数为：
22()2
1
1
(,,,)()()()2
m
m
k k
k k i
i
i i i i i L y f g y g y γγλλ==⎡⎤⎡⎤=+
+++⎣⎦⎣⎦
∑∑x x x x
3 对函数(,,,)k k L γλx y 关于y 求极小，然后定义出于i y 无关的乘子罚函数
六、请具体说明模态分析法和模态综合法的思路与方法以及两者之间的区别。
模态分析法的思路
将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数。
坐标变换的变换矩阵为模态矩阵，其每列为模态振型。
模态分析中的四个主要步骤： 1. 模型建立：
2. 选择分析类型和分析选项
3. 施加边界条件并求解
4. 进入/POST1检查结果
模态综合法的思路
1 按复杂结构的特点将其划分为若干子结构
2 对各子结构进行离散化，通过动力学分析或试验，得到子结构的分支模态。
3 对各子结构的物理坐标——结点位移坐标进行模态坐标变换
4 对子结构进行“组集”，获得整个结构的模态坐标
5 通过子结构的界面连接条件，作第二次坐标变换—独立坐标变换，消去不独立的模态坐标，得到一组用独立的各子结构模态坐标组成的描述整个结构运动的独立广义坐标，从而导出整个系统以独立模态坐标表示的动力学方程。
模态综合法的基本步骤可以分成如下六个步骤：
1按结构特点划分子结构
2计算并选择分支模态进行第一次模态坐标变换
3在全部模态坐标中，选择不独立的广义坐标
4由位移对接条件，形成广义坐标的约束方程，得到独立坐标变换阵5对组集得到的质量矩阵、刚度矩阵进行合同变换，得到独立坐标下的质量，矩阵，刚度矩阵，形成整个系统的振动方程
6根据坐标变换关系，再现子结构物理参数
七、在采用模态分析法求解机械系统或结构的动力学特性时，要处理系统在物理坐标下的动力学特性向模态坐标的转换问题。
请说明其转化方法及相关的模态参数。
答：
八．系统可靠性计算有几种？试说明它们在设计中能起到的什么作用。
（1）系统的可靠性计算有以下4种：
1 串联系统的可靠度计算
2 并联系统的可靠度计算
3 储备系统的可靠度计算
4 表决系统的可靠度计算
（2）a 串联系统在设计中如果在构成一个系统的n个元件中，只要有一个元件失效该系统就失效，串联系统的可靠度比系统中最不可靠元件的可靠度还低，并且随着元件可靠度的减小和元件数量的增加，串联系统的可靠度迅速降低。
b 并联系统在设计中如果在构成一个系统的n个元件中，只有全部发生故障系统才失效，并联系统的可靠度比系统中最可靠元件的可靠度还高
c 储备系统在设计构成一个系统的n个元件中，只有一个元件工作，其他元件不工作而作储备，当工作元件出现故障后，原来未参加工作的储备元件立即工作，将失效的元件换下，进行修理或更换，从而维
持系统的正常运行。
d 表决系统如果在构成一个系统地n个元件中，只要任意k个不失效，系统就可正常工作，那么这个系统就称为n个中取k的表决系统，即为k/n系统。
九、举一个由3-4个零件组成的机构，采用失效树的方法对它进行定性的失效分析。