吉林省松原市扶余县第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。

满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷 （选择题60分）注意事项1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。

请认真核准考号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．设为i 虚数单位，则复数ii212-+的虚部为 （ ）． A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 2．把11化为二进制的数是（ ）．A ．)2(1011 B ．)2(11011 C ．)2(10110 D ．)2(0110 3．用三段论推理命题：“任何实数的平方都大于0，因为a 是实数，所以02>a ”你认为这个推理（ ）．A ．大前提错误B ． 小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 4．曲线xy 2=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ）． A ．2ln 2 B ．2ln 2- C ．2ln 21- D ．42ln 2-5．某单位200名职工中，年龄在50岁以上占%20，50~40岁占%30，40岁以下占%50；现要从中抽取40名职工作样本。

若用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是___①_ ；若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取__②_人．①②两处应填写的数据分别为（ ）．A ．20,82B ．20,37C ． 4,37D ． 50,376．复数ii i i z -++=1432，则z 的共轭复数-z 在复平面内对应的点（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．下列说法错误的是（ ）．A ．“21s i n=θ”是“30=θ”的充分不必要条件 B ．命题“若0=a 则0=ab ”否命题是“若0≠a 则0≠ab ”C ．若命题,01,:2<+-∈∃ x x R x p 则01,:2≥+-∈∀⌝x x R x p D ．如果命题p ⌝与命题q p 或都是真命题，那么命题q 一定是真命题 8．如上图给出的是计算11112462014+++⋅⋅⋅的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）． A.2014i ≤B.2014i ＞C.1007i ≤D.1007i ＞9．设椭圆1222=+my x 与双曲线1322=-x y 的公共焦点分别为21,F F ，p 为这两条曲线的一个交点，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）． A ．3 B ．32 C ．23 D ．6210. 设),( y x M 为抛物线y x C 8:2=上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，||FM 为半径的圆和抛物线的准线相交于不同的两点，则 y 取值范围是（ ）．A ．)2,0(B ．]2,0[C ．),2(+∞D ．),2[+∞11．关于x 的不等式m x x x ≥+--29323对]2,2[-∈∀x 恒成立，则m 的取值范围（ ）． A ．]7,(-∞ B ．]20,(--∞ C ．]0,(-∞ D ．[-12，7] 12. 若函数a ax x y +-=23在)1,0(内无极值，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．]23,0[ B ．)0,(-∞ C ．),23[]0,(+∞⋃-∞ D ．),23[+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．函数x x x f 3)(3-=极大值为 ． 14．已知y x ,之间的一组数据：则y 关于x 的线性回归方程为 ．（--=-=---=---=∑∑x b y a x xy y x xb ni ini i i^^121^,)())((）15．如图是函数)(x f y =的导函数)(x f y '=①2-=x 是函数)(x f y =的极值点． ②1=x 是函数)(x f y =的极小值点．③)(x f y =在0=x 处切线斜率大于0．④)(x f y =在区间)2,(--∞上单调递减．则正确命题的序号是 ． 16．在平面几何里可以得出正确结论：“正三角形内切圆的半径等于正三角形高的31”拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体内切球的半径等于这个正四面体高的 ．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）扶余市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于80分的有参赛资格，80分以下（不包括80分）的则被淘汰。

若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下：（1）求获得参赛资格的人数；（2）根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩．18．（本小题满分12分）设函数()ln f x x =，x x x g 3)(2-=，记)()()(x g x f x F += （1）求曲线()y f x =在x e =处的切线方程； （2）求函数()F x 在]2,21[上的最值．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于AD 和BC ，侧棱⊥SB 平面ABCD ，且2,1====BC AD AB SB ． （1）求SA 与CD 成角；（2）求面SCD 与面SAB 所成的锐二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知数列}{n a 前项和n S 且11=a ，)(*2N n a n S n n ∈= （1） 试求432,,a a a（2） 猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明猜想.SABCD21．（本小题满分12分)在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，设线段PD 的中点M 的轨迹为C （1） 写出点M 的轨迹C 方程；（2） 设直线2+=kx y 与轨迹C 交于B A ,两点，当k 为何值时，→→⊥OB OA ？22．（本小题满分12分) 设函数1)1ln()(+-+=x axx x f （1） 当0>a 时，讨论函数)(x f 在区间),0(+∞上的单调性； （2） 若0≥x 时有0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.高二数学理科试题参考答案三、解答题17.（Ⅰ）7550010)010.0005.0(=⨯⨯+（Ⅱ）6705.0951.08515.0754.0653.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 18. （Ⅰ）()y f x =在x e =处的切线方程为：0=-ey x （Ⅱ）x x x x F 3ln )(2-+= xx x x F )12)(1()(--='当121<<x 时0)(<'x F ，21<<x 时0)(>'x F 所以2)1()(min -==F x F 又因为452ln )21(,22ln )2(--=-=F F 因为)21()2(F F >所以22ln )(max -=x F 19.(Ⅰ) 如图建立空间直角坐标系，B 为原点0,1,1()0,2,0(),0,0,1(),1,0,0(),0,0,0(D C A S B )0,1,1(),1,0,1(-=-=→→CD SA21||||,cos =⋅⋅>=<→→→→→→CD SA CD SA CD SA 所以SA 与CD 成角为60（Ⅱ）平面SCD 的法向量为),,(1z y x n =→⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→11CD n SC n 所以⎩⎨⎧==-y x z y 02令1=x 则)2,1,1(1=→n 因为SAB BC 平面⊥所以平面SAB 的一个法向量)0,1,0(2=→n66,cos 21>=<→→n n 所以面SCD 与面SAB 所成的锐二面角余弦值为6620.函数101,61,31432===a a a （2）猜想)1(2+=n n a n证明如下：当121211=⨯==，a n 时命题成立 假设当)(*N k k n ∈=时命题成立，即)1(2+=k k a k当1+=k n 时121121)1(+++++=+=+=k k k K k k a a k a S a k S 整理得)2)(1(21++=+k k a k 所以当1+=k n 时命题也成立综上，)1(2*+=∈n n a N n n 时有22. 2)1(1)(+-+='x ax x f ，（Ⅰ）当10≤<a 时0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞单调递增； 当1>a 时0)(),1(,0)()1,0(>'+∞-∈<'-∈x f a x x f a x 所以)(x f 在)1,0(-a 是单调递减，在),1(+∞-a 单调递增。

（2）)1,0(0)(1时取等号仅当时==≥'≤a x x f ，a 所以)(x f 在),0[+∞单调递增，因为0)0(=f ，所以1≤a 时，0)(≥x f 恒成立（仅当0=x 时取等号）当1>a 时，对]1,0(-∈a x 有0)(<'x f ，所以)(x f 在区间]1,0(-a 单调递减，)0()1(f a f <-，即1>a 时，存在0>x ，使0)(<x f ，故知0)(≥x f 不恒成立，综上可知，a 的取值范围]1,(-∞。