第8课时 指数、对数函数
要点·疑点·考点
课 前 热 身
能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.整数指数幂的运算性质 (1)am·n=am+n a (m,n∈Z) (2)am÷an=am-n (a≠0,m,n∈Z) (3)(am)n=amn (m,n∈Z) (4)(ab)n=anbn (n∈Z)
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6.指数函数 一般地，函数y=ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是 自变量，函数的定义域是R 7.指数函数的图象和性质(见下表)
a>1 0<a<1
图象
(1)定义域：R 性质 (2)值域(0，＋∞) (3)过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
(4)在R上是增函数
在R上是减函数
8.对数 一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab=N，那 么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b,其中a叫做对数的 底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式 常用对数 通常将log10N的对数叫做常用对数，为了简便， N的常用对数记作lgN 自然对数 通常将使用以无理数e=2.71828…为底的对数叫 做自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作lnN. 9.对数恒等式
n
log a M log a N n log a M
(3) log a M
12.对数函数. 函数y=logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数， 其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).因为对数函数 y=logax与指数函数y=ax互为反函数，所以y=logax的图象 与y=ax的图象关于直线y=x对称.
与1的大小.
3.求函数f(x)＝log2(ax-2x· k)(a≥2，且k为常数)的定义域.
【解题回顾】求解本题的关键是会分类讨论.既要考虑到k， 又要考虑到a；对第四种情形，要强调函数无意义.
4.已知函数y＝loga(a2x)· a2(ax)，当x∈(2，4)时，y的取值 log 范围是[-1/8，0]，求实数a的值.
14 换底公式
log b N log a N log a b
注意换底公式在对数运算中的作用：
①公式 log b N
log a N log a b
的顺用和逆用；
n
②由公式和运算性质推得的结论 log a b
m
n m
log a b的作用.
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1.若函数y＝(log(1/2)a)x在R上为减函数，则a∈______. 2.(lg2)2· lg250+(lg5)2· lg40＝ ______. 3.如图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx， y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( ) (A)a＜b＜1＜c＜d (B)a＜b＜1＜d＜c (C)b＜a＜1＜c＜d (D)b＜a＜1＜d＜c
n
a
n


(6)零的任何次方根都是零
4.分数指数幂的意义
m
(1) a n
m
n
a
m
a 0， m , n Z ，且 n 1
*
(2) a
n

1
m
a 0， m , n Z ，且 n 1
*
an
5.有理数指数幂的运算性质 (1)ar·s=ar+s (a＞0，r,s∈Q)； a (2)ar÷as=ar-s (a＞0，r,s∈Q)； (3)(ar)s=ars (a＞0，r,s∈Q)； (4)(ab)r=arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)
【解题回顾】本题是一个内涵丰富的综合题.涉及的知识很广： 定义域、不等式、单调性、复合函数、方程实根的分布等.解 题时应着力于知识的综合应用和对隐含条件的发掘上.
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误解分析
1.研究指数、对数问题时尽量要为同底，另外，对数问题 中要重视定义域的限制.
2.要充分利用指数函数和对数函数的概念、图象、性质讨 论一些复合函数的性质，并进行总结回顾.如求y＝log2(x22x)的单调增区间可转化为求y＝x2-2x的正值单调增区间， 从而总结一般规律.
答案：1. (1/2，1)
2.1
3.D
4.若loga2＜logb2＜0，则( B ) (A)0＜a＜b＜1 (B)0＜b＜a＜1 (C)1＜b＜a (D)0＜b＜1＜a
5.方程loga(x+1)+x2＝2(0＜a＜1)的解的个数是( C ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无法确定
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能力·思维·方法
2.根式 一般地，如果一个数的n次方等于a(n＞1，且n∈N*)，那么 这个数叫做a的n次方根．也就是，若xn=a，则x叫做a的n次 方根，其中n＞1，且n∈N*式子na叫做根式，这里n叫做根 指数，a叫做被开方数．
3.根式的性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次 方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 n a 表示.
2.设函数f(x)＝lg(1-x)，g(x)＝lg(1+x)，在f(x)和g(x)的公共定 义域内比较| f(x) |与| g(x) |的大小.
【解题回顾】本题比较|f(x)|与|g(x)|的大小，也可转化成比 较f2(x)与g2(x)的大小，然后采用作差比较法；也可直接比
较
f x g x
【解题回顾】求解本题应注意以下三点：
(1)将y转化为二次函数型； (2)确定a的取值范围； (3)明确logax的取值范围. 返回
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5.设 y log a
x3 x3
a 0， a 1 的定义域为[s，t)，值域为
(loga(at-a)，loga(as-a)]. (1)求证s＞3； (2)求a的取值范围
a
log a N
N a 0且 a 1， N 0 叫做对数恒等式
10.对数的性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是零，即loga1=0； (3)底的对数等于1，即logaa=1
11.对数的运算性质 如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么
(1) log a MN log a M log a N (2) log a M N
(2)当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反 数，这时，正数的正的n次方根用符号 n a 表示，负的n次 方根用符号 n a 表示.正负两个n次方根可以合写为 n a (a＞0) (3)
a n n (4)当n为奇数时， a a ；当n为偶数时， n a a 0 n a a个值的大小，并说明理由.
1 1
4 2 9 3 (1) , 5 10
( 2 ) log 1 .1 0 . 7， 1 .2 0 . 7 log
【解题回顾】对于第(2)小题，也可以利用对数函数的图象， 当底数大于1时，底数越大，在直线x＝1左侧图象越靠近x 轴而得.
13.对数函数的图象和性质 对数函数y=logax的图象和性质分a＞1及0＜a＜1两种情况.注 意作图时先作y=ax的图象，再作y=ax的图象关于直线y=x的对 称曲线，就可以得到y=logax的图象，其图象和性质见下表
a>1 图 象
0<a<1
(1)定义域： (0，＋∞) 性 质 (2)值域：R (3)过点(1，0)，即x＝1时，y＝0 (4)在(0,+∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数