高一数学正余弦定理知
识点梳理和分层训练 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-
高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练
班级 姓名 座号
1．正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A
b a
c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩
或
222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪
+-⎪
=
⎨⎪
⎪+-=
⎪⎩
. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin 2222
A B C A B C
++==. 表一：
表二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具
基础达标：
1. 在△ABC 中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为 A. 一个解 B. 二个解 C. 无解 D. 无法确定 2．在△ABC 中，若2,a b c ===+A 的度数是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
3．ΔABC 中，若a 2
=b 2
+c 2
+bc ，则∠A=
A. 60
B. 45
C. 120
D. 30
4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 5.在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45.求A 、C 及c.
6．在ABC ∆中，若045B =
，c =
b =A .
7．在ABC ∆中，若222a b c bc =+-，求A .
能力提升：
8．锐角ΔABC 中，若C=2B ，则
AC
AB
的取值范围是 A.(0，2) B.)2,2( C.)3,2( D.)2,3(
9. 已知在△ABC 中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC 的值为 A. 3
2 .D 32 .C 41
.B 4
1--
10. 等腰三角形底边长为6，一条腰长12，则它的外接圆半径为
11．在ABC ∆中，已知三边a 、b 、c 满足()()3a b c a b c ab +++-=，则C ＝
A ．15
B ．30
C ．45
D ．60
12．钝角ABC ∆的三边长为连续自然数，则这三边长为（ ）。

A 、1、2、3 B 、2、3、4 C 、3、4、5 D 、4、5、6 13．在ΔABC 中，BC=3，AB=2，
)16(5
2
sin sin +=B C ，则∠A=_______. 14. 在△ABC 中，∠A=60°，b=1，c=4，则_____.sin sin sin a b c
A B C ++=++
15. 在△ABC 中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，则a ，c 长为_____.
综合探究：
16．已知钝角ABC ∆的三边为：a k =,2b k =+,4c k =+,求实数k 的取值范围.
17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，证
明:222
sin()
sin a b A B C c
--=.
、
13周周练参考答案： 基础达标：
5.解析：解法1：由正弦定理得：23
245sin 3sin sin =
== b B a A ∴∠A=60或120
当∠A=60时，∠C=75 ，22
645
sin 75sin 2sin sin +===
B
C
b c ； 当∠A=120时，∠C=15，2
2
645
sin 15sin 2sin sin -===
B C b c . 6.∵
sin sin b c
B C
=
，
∴sin 453
sin c B C b =
==，
∵0180C <<，∴60C =或120C =
∴当60C =时，75A =；当120C =时，15A =，；
所以75A =或15A =． 7.∵222bc b c a =+-，
∴由余弦定理的推论得：2221
cos 22
b c a A bc +-==
∵0180A <<，∴60A =. 能力提升：
．由()()3a b c a b c ab +++-=，得22223a b ab c ab ++-=
∴由余弦定理的推论得：2221
cos 22
a b c C ab +-=
=， ∵0180C <<，∴60C =.
；只需要判定最大角的余弦值的符号即可。

选项A 不能构成三角形；
选项B 中最大角的余弦值为
2222341
02234+-=-<⨯⨯，故该三角形为钝角三角形； 选项C 中最大角的余弦值为：
222
3450243+-=⨯⨯，故该三角形为直角三角形； 选项D 中最大角的余弦值为
2224561
02458
+-=>⨯⨯，故该三角形为锐角三角形.
,10
综合探究：
16.∵ABC ∆中边a k =,2b k =+,4c k =+， ∴0a k =>，且边c 最长， ∵ABC ∆为钝角三角形
∴当C 为钝角时
∴222
cos 02a b c C ab
+-=
<， ∴2220a b c +-<, 即222
a b c +< ∴2
2
2
(2)(4)k k k ++<+, 解得26k -<<,
又由三角形两边之和大于第三边：(2)4k k k ++>+,得到2k >， 故实数k 的取值范围：26k <<. 17.证法一:由正弦定理得：
2222222
sin sin cos2cos2sin 2sin a b A B B A
c C C
---==
=
22sin()sin()2sin B A B A C -+-=2
sin sin()sin C A B C -=sin()
sin A B C -. 证法二:由余弦定理得a 2=b 2+c 2
-2bccosA ， 则22222
2cos 21cos a b c bc A b
A c c c
--==-⋅， 又由正弦定理得
sin sin b B
c C
=
， ∴222
2sin sin 2sin cos 1cos sin sin a b B C B A
A c C C
--=-⋅= sin()2sin cos sin A B B A
C
+-=
sin cos sin cos sin()
sin sin A B B A A B C C
--==
. 证法三：也可以从右边证到左边，过程略.。