2018高考文科数学模拟试题一、选择题：1．已知命题，，则是成立的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分C ．既不充分有不必要D ．充要2．已知复数，，，是虚数单位，若是实数，则（ ） A ． B ． C ．D ．3．下列函数中既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知变量，之间满足线性相关关系，且，之间的相关数据如下表所示：则（ ） A ．0.8B ．1.8C ．0.6D ．1.65．若变量，满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．0B ．2C ．5D ．66．已知等差数列的公差和首项都不为，且成等比数列，则（ ） A ．B ．C ．D ．7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的:12p x -<<2:log 1q x <p q 11i z a =+232i z =+a ∈R i 12z z ⋅a =23-13-1323()0,+∞()22xxf x -=-()21f x x =-()12log f x x =()sin f x x x =x y 1.31ˆyx =-x y m =x y 00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≥≤32x y +{}n a 0124a a a 、、1143a a a +=23571 2 3 40.13.14x y m一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ） A ．B ．C ．D ．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．9．若函数的图象经过点 ） A ．在 B ．在上单调递减 C ．在 D ．在 10．已知，是函数的图象上的相异两点，若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，，，且长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线的左、右两个焦点分别为，，，为其左右顶点，以线段，为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则5859606124223+22243+263+842+()()()3sin 2cos 2(0π)f x x x θθθ=+++<<π,02⎛⎫⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭A B 2xy =A B 12y =A B (),1-∞-(),2-∞-()1,-+∞()2,-+∞2a a 2212312263622221x y a b-=(0,0)a b >>1F 2F A B 1F 2F M 30MAB ∠=︒2122131931922cos 2c B a b =+_________．14．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．15．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= ．16．已知函数满足，且当时．若在区间内，函数有两个不同零点，则的范围为__________．17．已知在中，，且． （1）求角，，的大小；（2）设数列满足项和为，若，求的值．18．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示： （1）求的值及这50名同学数学成绩的平均数；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知成绩在的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参加座谈的概率．19．如图，四棱锥中，底面是边长为2的等腰三角形，为的中点．（1）在侧棱上找一点，使∥平面，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下求三棱锥的体积．C ∠=()f x ()()2f x f x =[)1,2x ∈()ln f x x =[)1,4()()2g x f x ax =-a ABC △2B A C =+2c a =A B C {}n a 2cos nn a nC =n n S 20n S =n m x []130,140[]130,140V ABCD -ABCD 5E AB VC F BF VDE E BDF -20．已知椭圆： 的离心率为，焦距为，抛物线：的焦点是椭圆的顶点．（1）求与的标准方程；（2）上不同于的两点，满足，且直线与相切，求的面积．21．设函数 （1）求证：；（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围．22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），直线的参数程为为参数），设直线与的交点为，当变化时点的轨迹为曲线． （1）求出曲线的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值．1C 22221x y a b +=(0)a b >>622C 22x py =(0)p >F 1C 1C 2C 1C F P Q 0FP FQ ⋅=PQ 2C FPQ △()()221f x x x =∈+R ()21f x x x -++≥[]1,0x ∈-()2f x ax +≥a xOy 1l 3x t y kt ⎧=-⎪⎨=⎪⎩t 2l 33x mmy k ⎧=-⎪⎨=⎪⎩m 1l 2l P k P 1C 1C x 2C πsin 424ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q 1C Q 2C2018高考文科数学模拟试题（解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·石家庄质检]已知命题，，则是成立的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．既不充分有不必要D ．充要【答案】B【解析】，因为，所以是成立的必要不充分条件，选B ．2．已知复数，，，是虚数单位，若是实数，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】复数，，．若是实数，则，解得．故选A ． 3．[2018·长春一模]下列函数中既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】A 是奇函数，故不满足条件；B 是偶函数，且在上单调递增，故满足条件；C 是偶函数，在上单调递减，不满足条件；D 是偶函数但是在上不单调．故答案为B ．:12p x -<<2:log 1q x <p q 2:log 102q x x <⇒<<()()0,21,2⊂-p q 11i z a =+232i z =+a ∈R i 12z z ⋅a =23-13-132311i z a =+232i z =+()()()()121i 32i 32i 3i 23223i z z a a a a a ⋅=++=++-=-++12z z ⋅230a +=23a =-()0,+∞()22xxf x -=-()21f x x =-()12log f x x =()sin f x x x =()0,+∞()0,+∞()0,+∞4．[2018·天一大联考]已知变量，之间满足线性相关关系，且，之间的相关数据如下表所示：1 2 3 40.13.14则（ ） A ．0.8 B ．1.8C ．0.6D ．1.6【答案】B【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得 ，，故选B ．5．[2018·乌鲁木齐一模]若变量，满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．0B ．2C ．5D ．6【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最大值，．本题选C ．6．[2018·常德期末]已知等差数列的公差和首项都不为，且成等比数列，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】Cx y 1.31ˆyx =-x y x y m m = 2.5x = 1.31ˆyx =- 2.25y =0.1 3.144 2.25m ∴+++=⨯ 1.8m ∴=x y 00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≥≤32x y +()1,1A max 3231215z x y =+=⨯+⨯={}n a 0124a a a 、、1143a a a +=2357【解析】由成等比数列得，，，，，，选C ． 7．[2018·宁德一模]我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ） A ． B．C ．D ．【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60． 故选C ．8．[2018·福州质检]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为，故选A ．124a a a 、、2214a a a =()()21113a d a a d ∴+=+21d a d ∴=0d ≠1d a ∴=1141113111315523a a a a d a a a d a +++===+5859606124223+22243+263+842+P ABC -222222324223ABC PBC PAC PAB S S S S S =+++=+++=++△△△△9．[2018·汕头期末]若函图象经过点） A ．在 B ．在上单调递减 C ．在 D ．在 【答案】D【解析】由题意得 ∵函数的图象经过点 ∴又，∴，∴． 对于选项A ，C ，当时，，故函数不单调，A ，C 不正确； 对于选项B ，D ，当时，单调递增，故D 正确．选D ． 10．[2018·西城期末]已知，是函数的图象上的相异两点，若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（ ）()()()3sin 2cos 2(0π)f x x x θθθ=+++<<π,02⎛⎫⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭()()()π3sin 2cos 22sin 26f x x x x θθθ⎛⎫=+++=++⎪⎝⎭()f x π,02⎛⎫⎪⎝⎭ππππ2sin 22sin 02266f θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0πθ<<5π6θ=()2sin 2f x x =-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,πx ∈π3π,44x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π3π2,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x A B 2xy =A B 12y =A BA ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】设，，则，因为，所以，由基本不等式有，故，所以，选B ．11．[2018·乐山联考]已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，，，且长为的棱的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】如图所示，三棱锥中，，，，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将看作底面，则当平面平面时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高，△BCD 是等腰直角三角形，则得，三棱锥的体积的最大值为．本题选择A 选项．12．[2018·闽侯四中]已知双曲线的左、右两个焦点分别为，，，为其左右顶点，以线段，为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B(),1-∞-(),2-∞-()1,-+∞()2,-+∞(),2aA a (),2bB b 112222ab -=-a b ≠221a b +=2222a ba b++>221a b+<2a b +<-2a a 22323A BCD -AD a =2BC =1AB AC BD CD ====BCD △ABC ⊥BCD 22h =12BCD S =△112232212⨯⨯=22221x y a b-=(0,0)a b >>1F 2F A B 1F 2F M 30MAB ∠=︒212213193192【解析】双曲线的渐近线方程为，以，为直径的圆的方程为，将直线代入圆的方程，可得：（负的舍去），，即有，又，，则直线的斜率，则，即有，则离心率B ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·丹东一检]△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则_________． 【答案】【解析】∵，∴，即， ∴，∴． 14．[2018·郑州一中]阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．【答案】【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当，时，，，，运算程序依次继续：，，；，22221x y a b -=by x a =±1F 2F 222x y c +=by x a=22x a a b==+y b =()M a b ，()0A a -，30MAB ∠=︒AM 3k =2bk a=()2222343b a c a ==-2237c a =213c e a ==2cos 2c B a b =+C ∠=120︒2cos 2c B a b =+222222a c b c a b ac +-⨯=+222a b c ab +-=-2221cos 22a b c C ab +-==-120C =︒1381x =1y =220z x y =+=<1x =2y =320z x y =+=<2x =3y =520z x y =+=<，；，，；，，；，运算程序结束，输出，应填答案．15．[2018·乌鲁木齐一模]在中，，，是的外心，若，则______________．【答案】【解析】由题意可得：，，，则：， ，如图所示，作，， 则，， 综上有：，求解方程组可得：．16．[2018·长春一模]已知函数满足，且当时．若在区间内，函数有两个不同零点，则的范围为__________．【答案】3x =5y =820z x y =+=<5x =8y =1320z x y =+=<8x =13y =2120z x y =+=>138y x =138138ABC △22CA CB ==1CA CB ⋅=-O ABC △CO xCA yCB =+x y +=136120CAB ∠=︒2CA =1CB =()24CO CA xCA yCB CA xCA yCB CA x y ⋅=+⋅=+⋅=-()2CO CB xCA yCB CB xCA CB yCB x y ⋅=+⋅=⋅+=-+OE BC E ⊥=OD AC D ⊥=2122CO CA CA ⋅==21122CO CB CB ⋅==4212x y x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩5643x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩136x y +=()f x ()()2f x f x =[)1,2x ∈()ln f x x =[)1,4()()2g x f x ax =-a ln 20,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】，，当时， ，故函数，作函数与的图象如下，过点，，，故实数的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·渭南一模]已知在中，，且． （1）求角，，的大小；（2）设数列满足项和为，若，求的值．【答案】（1），；（2）或． 【解析】（1）由已知，又，所以， 所以，所以， 所以为直角三角形，，． （2） ()()2f x f x =()2x f x f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭[)2,4x ∈[)1,22x ∈()ln ln ln 222x x f x f x ⎛⎫===- ⎪⎝⎭()[)[)ln ,12ln ln 2,24x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，，()f x 2y ax =()4,ln 2ln 224a =ln 28a ∴=ln ln 2y x =-1y x'=ln ln 21x x x -=2e >4x =a ln 20,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭ABC △2B A C =+2c a =A B C {}n a 2cos nn a nC =n n S 20n S =n π6A =π3B =π2C =4n =5n =2B A C =+πA B C ++=π3B =2c a =2222π42cos33b a a a a a =+-⋅=222c a b =+ABC △π2C =πππ236A =-=0,π2cos 2cos22,n nn n n n a nC n ⎧⎪===⎨⎪⎩为奇数为偶数所以，，由，得，所以，所以，所以或． 18．[2018·石家庄一检]某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（1）求的值及这50名同学数学成绩的平均数；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知成绩在的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参加座谈的概率． 【答案】（1），（2）． 【解析】（1）由题，解得，．（2）由频率分布直方图可知，成绩在的同学有（人）， 由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为A 、B 、C 、D ；女生分别为x 、y ，则从6名同学中选出3人的所有可能如下：ABC 、ABD 、AB x 、AB y 、ACD 、AC x 、AC y 、AD x 、AD y 、BCD 、BC x 、BC y 、BD x 、BD y 、CD x 、CD y 、A xy 、B xy 、C xy 、D xy ——共20种，其中不含女生的有4种ABC 、ABD 、ACD 、BCD ；设：至少有一名女生参加座谈为事件A ，则． ()22224221241224020202143kk kn k k S S S ++--===++++⋅⋅⋅++==-*k ∈N 2224203k n S +-==22264k +=226k +=2k =4n =5n =m x []130,140[]130,1400.008m =121.8x =()45P A =()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯=0.008m =950.004101050.012101150.024101250.0410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+1350.012101450.00810121.8⨯⨯+⨯⨯=[]130,1400.01210506⨯⨯=()441205P A =-=19．[2018·湖北联考]如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，其它四个的等腰三角形，为的中点．（1）在侧棱上找一点，使∥平面，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）为的中点． 取的中点为，连，为正方形，为的中点，平行且等于，，又，平面平面，平面．（2）为的中点， ，为正四棱锥，在平面的射影为的中点，，，V ABCD -ABCD 5E AB VC F BF VDE E BDF -36E BDF V -=F VC CD H BH HF 、ABCD E AB BE ∴DH //BH DE ∴//FH VD ∴//BHF VDE //BF ∴VDE F VC 14BDE ABCD S S =△正方形18E BDF F BDE V ABCD V V V ---∴==V ABCD -V ∴ABCD AC O 5VA =2AO =3VO ∴=21432333V ABCD V -∴=⋅⋅=． 20．[2018·闽侯四中]已知椭圆： ，焦距为，抛物线：的焦点是椭圆的顶点．（1）求与的标准方程；（2）上不同于的两点，满足，且直线与相切，求的面积． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）设椭圆的焦距为，依题意有，， 解得，，故椭圆的标准方程为． 又抛物线：开口向上，故是椭圆的上顶点，，，故抛物线的标准方程为．（2）显然，直线的斜率存在．设直线的方程为，设，，则，，，即，联立整理得，．依题意，，是方程的两根，，，，将和代入得，36E BDF V -∴=1C 22221x y a b +=(0)a b >>6422C 22x py =(0)p >F 1C 1C 2C 1C F P Q 0FP FQ ⋅=PQ 2C FPQ △221124x y +=28x y =18351C 2c 242c =63c a =3a =2b =1C 221124x y +=2C 22(0)x py p =>F 1C ()0,2F ∴4p ∴=2C 28x y =PQ PQ y kx m =+()11,P x y ()22,Q x y ()11,2FP x y =-()22,2FQ x y =-()121212240FP FQ x x y y y y ∴⋅=+-++=()()()22121212440kx x km k x x mm ++-++-+=()*221124y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()()2223163120**k x kmx m +++-=1x 2x ()**2214412480k m ∆=-+>122631kmx x k -∴+=+212231231m x x k -⋅=+12x x +12x x ⋅()*220m m --=解得，（不合题意，应舍去） 联立，消去整理得，，令，解得． 经检验，，符合要求． 此时，21．[2018·杭州期末]设函数 （1）求证：；（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）原不等式等价于，设， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增．又因为，所以．所以．（2）当时，恒成立，即恒成立． 当时，； 当时，而1m =-2m =218y kx x y=-⎧⎨=⎩y 2880x kx -+=264320k '∆=-=212k =212k =1m =-()21212127218123442555x x x x x x ⎛⎫-=+-=--= ⎪⎝⎭121183325FPQ S x x ∴=⨯⨯-=△()()221f x x x=∈+R ()21f x x x -++≥[]1,0x ∈-()2f x ax +≥a 1a ≥4310x x x --+≥()431g x x x x =--+()()()322431141g x x x x x x '=--=-++(),1x ∈-∞()0g x '<()g x ()1,x ∈+∞()0g x '>()g x ()()min 10g x g ==()0g x ≥()21f x x x -++≥[]1,0x ∈-()2f x ax +≥221xa x-+≥0x =2201xx -=+[)1,0x ∈-()()222211112x x x x x x--=++-⋅---≤所以． 22．[2018·承德期末]在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），直线的参数程为（为参数），设直线与的交点为，当变化时点的轨迹为曲线．（1）求出曲线的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为为曲线的动点，求点到直线的距离的最小值．【答案】（1）的普通方程为；（2）的最小值为． 【解析】（1）将，的参数方程转化为普通方程；，①，②①×②消可得：， 因为，所以，所以的普通方程为． （2）直线的直角坐标方程为：． 由（1）知曲线与直线无公共点，由于的参数方程为为参数，，），所以曲线上的点的距离为：，1a ≥xOy 1l 3x t y kt⎧=-⎪⎨=⎪⎩t 2l 33x mmy k ⎧=-⎪⎨=⎪⎩m 1l 2l P k P 1C 1C x 2C πsin 424ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q 1C Q 2C 1C ()22103x y y +=≠d 321l 2l (1:3l y k x =)21:33l y x k=k 2213x y +=0k ≠0y ≠1C ()22103x y y +=≠2C 80x y +-=1C 2C 1C 3cos sin x ay a⎧=⎪⎨=⎪⎩a πa k ≠k ∈Z 1C ()3cos ,sin Qa a 80x y +-=π2sin 83cos sin 8322a a a d ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==所以当的最小值为．πsin 13a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭d 32。