2018届全国高考模拟试(四)数学(文科)本试题卷共10页,23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x|x2+3x+2<0},集合{y|y=x2﹣2},则M∪N=()A.(﹣2,﹣1)B.[﹣2,﹣1)C.(﹣2,+∞)D.[﹣2,+∞)2.已知复数z满足(2﹣i)=5,则z在复平面内对应的点关于y轴对称的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如果实数x、y满足条件,那么z=4x•2﹣y的最大值为()A.1 B.2 C.D.4.角α的终边经过点A(﹣,a),且点A在抛物线y=﹣x2的准线上,则sinα=()A.﹣ B.C.﹣D.5.若“m>a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.6.已知P是△ABC所在平面内一点,,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是()A.B.C.D.7.某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的表面积为()A.(19+π)cm2 B.(22+4π)cm2C.(10+6+4π)cm2D.(13+6+4π)cm28.若当x∈R时,函数f(x)=a|x|(a>0且a≠0)始终满足f(x)≥1,则函数的大致图象大致是()A.B.C. D.9.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺;莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:今有蒲生长1日,长为3尺;莞生长1日,长为1尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为()日.(结果保留一位小数.参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)A.1.3 B.1.5 C.2.6 D.2.810.已知F1、F2分别是双曲线C:﹣=1的左、右焦点,若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线C的离心率为()A.B.3 C.D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上.)11.执行如图所示的程序框图,输出的i=.12.已知向量,满足=(1,3),,则=.13.从原点O向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为.14.设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.15.已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,若关于x的方程5[f(x)]2﹣(5a+6)f(x)+6a=0(a∈R)有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是.三、解答题:(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)分成5组,制成如图所示频率分布直方图.(I)求图中x的值;(II)已知各组内的男生数与女生数的比均为2:l,若在满意度评分值为[90,100]的人中随机抽取2人进行座谈,求所抽取的两人中至少有一名女生的概率.17.已知函数.(I)求函数f(x)的单调增区间;(Ⅱ)△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若f(C)=,a=2,且△ABC的面积为,求c的值.18.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,E,F分别为PD,BC的中点.(1)求证:AE⊥PC;(2)G为线段PD上一点,若FG∥平面AEC,求的值.19.已知数列{a n}的前n项和为{S n},且S n=n(n+1)(n∈N*).(I)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}满足:a n=,求数列{b n}的通项公式;(III)令c n=,求数列{c n}的前2n项和T2n.20.已知函数f(x)=axlnx+b(a,b为实数)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x﹣1.(1)求实数a,b的值及函数(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=,证明g(x1)=g(x2)(x1<x2)时,x1+x2>2.21.椭圆Γ:的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|>2b点P(0,2)关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上,椭圆r的上、下顶点分别为A,B,△AF1F2的面积为,(I)求椭圆Γ的方程;(Ⅱ)如图,过点P的直线l椭圆Γ相交于两个不同的点C,D(C在线段PD之间).(i)求的取值范围;(ii)当AD与BC相交于点Q时,试问:点Q的纵坐标是否是定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.2018届全国高考模拟试(四)数学(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x|x2+3x+2<0},集合{y|y=x2﹣2},则M∪N=()A.(﹣2,﹣1)B.[﹣2,﹣1)C.(﹣2,+∞)D.[﹣2,+∞)【考点】1D:并集及其运算.【分析】解不等式得集合M、求值域得集合N,再计算M∪N.【解答】解:集合M={x|x2+3x+2<0}={x|﹣2<x<﹣1}=(﹣2,﹣1),集合N={y|y=x2﹣2}={y|y≥﹣2}=[﹣2,+∞),则M∪N=[﹣2,+∞).故选:D.2.已知复数z满足(2﹣i)=5,则z在复平面内对应的点关于y轴对称的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】9R:平面向量数量积的运算.【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简求得,进一步得到z,然后找对称点的坐标得答案.【解答】解:由(2﹣i)=5,得,∴z=2﹣i,则z在复平面内对应的点的坐标为(2,﹣1),关于y轴对称的坐标为(﹣2,﹣1),位于第三象限.故选:C.3.如果实数x、y满足条件,那么z=4x•2﹣y的最大值为()A.1 B.2 C.D.【考点】7C:简单线性规划.【分析】由4x•2﹣y=22x﹣y,设m=2x﹣y,利用数形结合即可.【解答】解:由4x•2﹣y=22x﹣y,设m=2x﹣y,则y=2x﹣m,作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线y=2x﹣m,由图象可知当直线y=2x﹣m经过点C(0,﹣1)时,直线y=2x﹣m的截距最小,此时m最大.将C的坐标代入目标函数m=2x﹣y=1,此时z=4x•2﹣y=22x﹣y最大值为2,故选:B.4.角α的终边经过点A(﹣,a),且点A在抛物线y=﹣x2的准线上,则sinα=()A.﹣ B.C.﹣D.【考点】K8:抛物线的简单性质;G9:任意角的三角函数的定义.【分析】先确定抛物线的准线方程,从而确定点A的坐标,利用三角函数的定义即可得到结论.【解答】解:抛物线y=﹣x 2的准线方程为y=1∵点A (﹣,a )在抛物线y=﹣x 2的准线上∴a=1∴点A (﹣,1)∴sinα=故选B .5.若“m >a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )A .B .C .D .【考点】2L :必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】函数的图象不过第三象限,可得:m ﹣≥﹣1,解得m 范围.由“m >a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件,即可得出.【解答】解:∵函数的图象不过第三象限,∴m ﹣≥﹣1,解得m ≥﹣.∵“m >a”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件,∴a <﹣.则实数a 的取值范围是.故选:D .6.已知P 是△ABC 所在平面内一点,,现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A .B .C .D .【考点】9F:向量的线性运算性质及几何意义;CF:几何概型.【分析】根据向量加法的平行四边形法则,结合共线向量充要条件,得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点.再根据几何概型公式,将△PBC的面积与△ABC 的面积相除可得本题的答案.【解答】解:以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC,则∵,∴,得=﹣2由此可得,P是△ABC边BC上的中线AO的中点,点P到BC的距离等于A到BC的距离的.=S△ABC.∴S△PBC将一粒黄豆随机撒在△ABC内,黄豆落在△PBC内的概率为P==故选C7.某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部分为半圆,则该几何体的表面积为()A.(19+π)cm2 B.(22+4π)cm2C.(10+6+4π)cm2D.(13+6+4π)cm2【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】由已知中的三视图,可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,代入柱体表面积公式,可得答案.【解答】解:由已知中的三视图,可得该几何体是一个以俯视图为底面的柱体,(也可以看成是一个三棱柱与半圆柱的组合体),其底面面积S=×2×2+π=(2+π)cm2,底面周长C=2++=(2+2+π)cm,柱体的高为3cm,故几何体的表面积S=2×(2+π)+(2+2+π)×3=(10+6+4π)cm2,故选:C.8.若当x∈R时,函数f(x)=a|x|(a>0且a≠0)始终满足f(x)≥1,则函数的大致图象大致是()A.B.C. D.【考点】3O:函数的图象.【分析】利用指数函数的性质求出a的范围,判断函数的奇偶性排除选项,利用特殊值判断即可.【解答】解:当x∈R时,函数f(x)=a|x|(a>0且a≠0)始终满足f(x)≥1,可得a>1,则函数是奇函数,可知B不正确;,时,函数<0,排除A,当x→0+当x=a10时,函数=→0,排除D,故选:C.9.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺;莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:今有蒲生长1日,长为3尺;莞生长1日,长为1尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为()日.(结果保留一位小数.参考数据:lg2≈0.30,lg3≈0.48)A.1.3 B.1.5 C.2.6 D.2.8【考点】88:等比数列的通项公式.【分析】设蒲(水生植物名)的长度组成等比数列{a n},其a1=3,公比为,其前n项和为A n.莞(植物名)的长度组成等比数列{b n},其b1=1,公比为2,其前n项和为B n.利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出.【解答】解:设蒲(水生植物名)的长度组成等比数列{a n},其a1=3,公比为,其前n项和为A n.莞(植物名)的长度组成等比数列{b n},其b1=1,公比为2,其前n项和为B n.则A n=,B n=,令=,化为:2n+=7,解得2n=6,2n=1(舍去).∴n==1+≈2.6.∴估计2.6日蒲、莞长度相等,故答案为:C.10.已知F1、F2分别是双曲线C:﹣=1的左、右焦点,若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线C的离心率为()A.B.3 C.D.2【考点】KC:双曲线的简单性质.【分析】求出F2到渐近线的距离,利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,可得直角三角形,即可求出双曲线的离心率.【解答】解:由题意,F1(﹣c,0),F2(c,0),一条渐近线方程为,则F2到渐近线的距离为=b.设F2关于渐近线的对称点为M,F2M与渐近线交于A,∴|MF2|=2b,A为F2M 的中点又0是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角,∴△MF1F2为直角三角形,∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4(c2﹣a2),∴c2=4a2,∴c=2a,∴e=2.故选D.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上.)11.执行如图所示的程序框图,输出的i=4.【考点】EF:程序框图.【分析】计算每次循环的结果,与判断框条件比较,即可得到结论.【解答】解:第一次循环,S=,i=2;第二次循环,S=,i=3;第三次循环,S=,i=4;此时>不成立,退出循环,输出i=4.故答案为:4.12.已知向量,满足=(1,3),,则=.【考点】9R:平面向量数量积的运算.【分析】设出的坐标,求得与的坐标,结合列式求解.【解答】解:设,又=(1,3),∴,.由,得(1﹣x)(1+x)+(3+y)(3﹣y)=0,即10﹣x2﹣y2=0,得x2+y2=10.∴.故答案为:.13.从原点O向圆x2+y2﹣12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为2π.【考点】J9:直线与圆的位置关系.【分析】把圆的方程化为标准方程后,找出圆心C的坐标和圆的半径r,根据AC 与BC为圆的半径等于3,OC的长度等于6,利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半得到角AOB等于2×30°,然后根据四边形的内角和定理求出角BCA的度数,然后由角BCA的度数和圆的半径,利用弧长公式即可求出该圆夹在两条切线间的劣弧长.【解答】解:把圆的方程化为标准方程为:x2+(y﹣6)2=9,得到圆心C的坐标为(0,6),圆的半径r=3,由圆切线的性质可知,∠CBO=∠CAO=90°,且AC=BC=3,OC=3,则∠AOB=∠BOC+∠AOC=60°,所以∠ACB=120°,所以该圆夹在两条切线间的劣弧长l==2π.故答案为:2π14.设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.【考点】7F:基本不等式.【分析】设t=2x+y,将已知等式用t表示,整理成关于x的二次方程,二次方程有解,判别式大于等于0,求出t的范围,求出2x+y的最大值.【解答】解:∵4x2+y2+xy=1∴(2x+y)2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3(t﹣2x)x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24(t2﹣1)=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案为15.已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,若关于x的方程5[f(x)]2﹣(5a+6)f(x)+6a=0(a∈R)有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是(0,1)∪{} .【考点】54:根的存在性及根的个数判断.【分析】解方程可得f(x)=a或f(x)=,作出f(x)的函数图象,根据图象判断a的范围.【解答】解:作出f(x)的函数图象如图所示:令f(x)=t,则由图象可得:当t=0时,方程f(x)=t只有1解;当0<t<1或t=时,方程f(x)=t有2解;当1时,方程f(x)=t有4解;∵5[f(x)]2﹣(5a+6)f(x)+6a=0,∴f(x)=或f(x)=a,∵f(x)=有4解,∴f(x)=a有两解,∴0<a<1或a=.故答案为:(0,1)∪{}.三、解答题:(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)分成5组,制成如图所示频率分布直方图.(I)求图中x的值;(II)已知各组内的男生数与女生数的比均为2:l,若在满意度评分值为[90,100]的人中随机抽取2人进行座谈,求所抽取的两人中至少有一名女生的概率.【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;B8:频率分布直方图.【分析】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质能求出x.(Ⅱ)由频率分布直方图得满意度评分值在[90,100]的人的频率为0.06,从而满意度评分值在[90,100]的人有6人,其中男、女各3人,从中随机抽取2人进行座谈,基本事件总数n==15,所抽取的两人中至少有一名女生的对立事件是抽取的两人都是男生,由此能求出所抽取的两人中至少有一名女生的概率.【解答】解:(Ⅰ)由频率分布直方图的性质得:(x+0.08+0.21+0.30+0.35)×10=1,解得x=0.006.(Ⅱ)由频率分布直方图得满意度评分值在[90,100]的人的频率为0.006×10=0.06,∴满意度评分值在[90,100]的人有0.06×100=6人,其中男、女各3人,从中随机抽取2人进行座谈,基本事件总数n==15,所抽取的两人中至少有一名女生的对立事件是抽取的两人都是男生,∴所抽取的两人中至少有一名女生的概率:p=1﹣=.17.已知函数.(I)求函数f(x)的单调增区间;(Ⅱ)△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若f(C)=,a=2,且△ABC的面积为,求c的值.【考点】HT:三角形中的几何计算;GL:三角函数中的恒等变换应用.(I)利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin 【分析】(ωx+φ)的形式,将内层函数看作整体,放到正弦函数的增区间上,解不等式得函数的单调递增区间;(Ⅱ)根据f(C)=,求出C,a=2,且△ABC的面积为,求出b,利用余弦定理可得c的值.【解答】解:函数.化简可得:f(x)=sinxcosx﹣sin2x=sin2x+cos2x﹣=sin(2x+).(I)由≤2x+≤,k∈Z.得:≤x≤.∴函数f(x)的单调增区间为[,],k∈Z.(Ⅱ)∵f(C)=,即sin(2C+)=可得:2C+=,k∈Z.∵0<C<π,∴C=.由a=2,且△ABC的面积为,即S=sinC=,∴b=2.余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC,可得:=4.∴c=2.18.如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,E,F分别为PD,BC的中点.(1)求证:AE⊥PC;(2)G为线段PD上一点,若FG∥平面AEC,求的值.【考点】LT:直线与平面平行的性质;LO:空间中直线与直线之间的位置关系;LX:直线与平面垂直的性质.【分析】(1)证明:AE⊥平面PCD,即可证明AE⊥PC;(2)取AP中点M,连接MF,MG,ME,利用平面MFG∥平面AEC,又平面MFG∩平面PAD=MG,平面AEC∩平面PAD=AE,MG∥AE,即可求的值.【解答】(1)证明:∵AP⊥平面ABCD,∴AP⊥CD,在矩形ABCD中,CD⊥AD,又AP∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,∵AE⊂平面PAD,∴CD⊥AE,在△PAD中,E为PD中点,PA=AD,∴AE⊥PD,又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,∴AE⊥平面PCD,∵PC⊂平面PCD,∴AE⊥PC(2)解:取AP中点M,连接MF,MG,ME.在△PAD中,M,E分别为PA,PD的中点则ME为△PAD的中位线∴,又,∴ME∥FC,ME=FC,∴四边形MECF为平行四边形,∴MF ∥EC,又MF⊄平面AEC,EC⊂平面AEC,∴MF∥平面AEC,又FG∥平面AEC,MF∩FG=F,MF,FG⊂平面MFG,∴平面MFG∥平面AEC,又平面MFG∩平面PAD=MG,平面AEC∩平面PAD=AE,∴MG∥AE,又∵M为AP中点,∴G为PE中点,又E为PD中点,∴,即.19.已知数列{a n}的前n项和为{S n},且S n=n(n+1)(n∈N*).(I)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n}满足:a n=,求数列{b n}的通项公式;(III)令c n=,求数列{c n}的前2n项和T2n.【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.【分析】(1)由数列的递推式:n=1时,a1=S1;n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1,化简计算即可得到所求通项公式;(Ⅱ)n=1时,求得b1=8,再将n换为n﹣1,相减可得b n=2(3n+1),检验即可得到所求通项;(III)求得c n==(﹣1)n•(n•3n+n),运用数列的求和方法:分组求和及错位相减法,结合等比数列的求和公式,计算即可得到所求和.【解答】解:(1)数列{a n}的前n项和S n=n(n+1)(n∈N*).可得n=1时,a1=S1=2;=n(n+1)﹣n(n﹣1)=2n,n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1上式对n=1也成立.则a n=2n,n∈N*;(Ⅱ)数列{b n}满足:a n=,可得n=1时,a1=,即有b1=8,n≥2时,a n=++…+,﹣1==2,相减可得a n﹣a n﹣1即有b n=2(3n+1),上式对n=1也成立.则b n=2(3n+1),n∈N*;(III)c n===(﹣1)n•(n•3n+n),数列{c n}的前2n项和T2n=﹣[1•3+3•33+…+(2n﹣1)•32n﹣1]+[2•32+4•34+…+2n•32n]+(﹣1+2﹣3+4﹣…﹣2n+1+2n),令S n=1•3+3•33+…+(2n﹣1)•32n﹣1,9S n=1•33+3•35+…+(2n﹣1)•32n+1,相减可得﹣8S n=3+2(33+35+…+32n﹣1)﹣(2n﹣1)•32n+1=3+2•﹣(2n﹣1)•32n+1,化简可得S n=+•32n+1,令M n=2•32+4•34+…+2n•32n,9M n=2•34+4•36+…+2n•32n+2,相减可得﹣8M n=18+2(34+36+…+32n)﹣2n•32n+2=18+2•﹣2n•32n+2,化简可得M n=+•32n+2,则T2n=﹣S n+M n+n=﹣+•32n+n.20.已知函数f(x)=axlnx+b(a,b为实数)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x﹣1.(1)求实数a,b的值及函数(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=,证明g(x1)=g(x2)(x1<x2)时,x1+x2>2.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)由题意可得关于a,b的方程组,求出a,b的值,可得函数解析式,再求出导函数,根据导函数的正负求原函数的单调区间;(2)求出函数g(x)=的解析式,由g(x1)=g(x2),可得>0.把证明x1+x2>2转化为证,即证>,令(t>1),则要证t﹣>2lnt(t>1).构造函数h(t)=t﹣,利用导数证明得答案.【解答】解:(1)f(x)的导数为f′(x)=a(1+lnx),∵曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y=x﹣1,∴,解得a=1,b=0.令f′(x)=1+lnx=0,得x=.当x>时,f′(x)>0,f(x)在()上单调递增;当0<x<时,f′(x)<0,f(x)在(0,)上单调递减.∴f(x)单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞);(2)证明:由(1)得:f(x)=xlnx+2,故g(x)=,(x>0),由g(x1)=g(x2)(x1<x2),得,即>0.要证x1+x2>2,需证,即证>.设(t>1),则要证t﹣>2lnt(t>1).令h(t)=t﹣,则h′(t)=1+=.∴h(t)在(1,+∞)上单调递增,则h(t)>h(1)=0,即t﹣.故x1+x2>2.21.椭圆Γ:的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|>2b点P(0,2)关于直线y=﹣x的对称点在椭圆Γ上,椭圆r的上、下顶点分别为A,B,△AF1F2的面积为,(I)求椭圆Γ的方程;(Ⅱ)如图,过点P的直线l椭圆Γ相交于两个不同的点C,D(C在线段PD之间).(i)求的取值范围;(ii)当AD与BC相交于点Q时,试问:点Q的纵坐标是否是定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.【分析】(I)求得直线y=﹣x的对称点,代入椭圆方程,则a=2,由bc=,b2+c2=4,由c>b,即可求得b的值,求得椭圆的方程;(Ⅱ)(i)分类,当直线l的斜率不存在时,=﹣1,当斜率存在时,设直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及向量的坐标运算,即可求得的取值范围;(ii)由题意得,直线AD:y=x+1,直线BC:y=x﹣1,联立方程组,消去x得y,再利用根与系数的关系即可得出.【解答】解:(I)点P(0,2)关于直线y=﹣x的对称点(﹣2,0)在椭圆Γ上,则a=2,则△AF1F2的面积为S=×2c×b=,即bc=,①a2=b2+c2=4,②解得:b=,c=1或b=1,c=,由|F1F2|>2b,即c>b,则b=1,c=,∴椭圆的标准方程:;(Ⅱ)(i)当直线l的斜率不存在时,C(0,1),D(0,﹣1),∴=﹣1;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+2,C(x1,y1),D(x2,y2),联立,消去y整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,由△>0,可得4k2>3,且x1+x2=﹣,x1x2=,∴=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)×+2k×(﹣)+4=﹣1+,∴﹣1<<,综上∈[﹣1,);②由题意得,直线AD:y=x+1,直线BC:y=x﹣1,联立方程组,消去x得y=,又4kx1x2=﹣3(x1+x2),解得y=,故点Q的纵坐标为定值.。