E，它们关于 y 轴对称，点 G，B 在 y 轴左侧，BA⊥OG 于点 A，BC⊥OD 于点 C，四边形 OABC 与四边形
ODEF 的面积分别为 6 和 10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为
。
5.在平面直角坐标系中，将抛物线 y x2 2x 3 绕着它与 y 轴的交点旋转180 ，所得抛物线的解析
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例 5.某学生为了描点作出函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像，取自变量的 7 个值：x1 x2 ... x7 ，
且 x2 x1 x3 x2 ... x7 x6 ，分别算出对应的 y 的值，列表如下：
x
y
x1
51
x2
107
x3
185
x4
285
例 1.已知二次函数 y ax2 bx c(a 0) 中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表：
x
...
3
-1
1 0
2
2
1
1
2
y
...
5
-2
9
-2
5
0
4
4
4
3
...
2
7
...
4
则二次函数的解析式为
。 （天津市中考题）
思路点拨 从表格中可获取丰富的信息，用不同方法求该二次函数的解析式。
例 2.二次函数 y ax2 bx c 的图像如图所示，现有以下结论：① abc 0 ；②
b a c ；③ 4a 2b c 0 ；④ 2c 3b ；⑤ a b m(am b)(m 1) 。其中
正确的结论有（ ）
A、1 个
B、2 个
C、 3 个
D、 4 个
思路点拨 由抛物线的位置确定 a 、b 、c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解
并能综合推理。
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第 7 讲 抛物线
知识纵横
一般地，我们称函数 y ax2 bx c(a、b、c为常数，a 0) 为 x 的二次函数，其图像为一条
抛物线，与抛物线相关的知识有：
1、 a 、 b 、 c 的符号决定抛物线的大致位置； 2、抛 物 线 关 于 x b 对 称 ， 抛 物 线 开 口 方 向 、 开 口 大 小 仅 与 a 相 关 ， 抛 物 线 在 顶 点
x5
407
x6
549
x7
717
但由于粗心算错了其中一个 y 值，请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由。 （“宇振杯”上海市竞赛题）
分析 设 x2 x1 x3 x2 ... x7 x6 d ，且 xi 对应的函数值为 yi ，计算
△ k yk1 yk 的值，并由此导出△ k1 △ k 为一常数，这是解本题的关键。
y 2x2 4x 5 ，则原抛物线的顶点坐标是
。
2.已知二次函数 y (x 2a)2 (a 1)(a 为常数），当 a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”。
如图分别是当 a 1, a 0, a 1, a 2 时二次函数的图像，它们的顶点在一条直线上，这条直线的解
析式是 y
。
3.已知二次函数 y ax2 bx c(a 0) ，其中 a 、 b 、 c 满足 a b c 0 和 9a 3b c 0 ，则该
二次函数图像的对称轴是直线
。
4.如图，抛物线 y=ax2+c（a＜0）交 x 轴于点 G，F，交 y 轴于点 D，在 x 轴上方的抛物线上有两点 B，
式是（
）。
A、 y (x 1)2 2
B、 y (x 1)2 4
C、 y (x 1)2 2
D、 y (x 1)2 4
6.如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），与 y 轴交于
（0，2）点，且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2 ＜1，下列结论：①4a-2b+c＜0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b2+8a＞4ac．其中
D、4 个
能力拓展
7.不论 m 取任何实数，抛物线 y x2 2mx m2 m 1 的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析
式为
。 （太原市竞赛题）
8.二次函数 y x2 bx c 的图像顶点为 D，与 x 轴正方向从左至右依次交于 A、B 两点，与 y 轴正方
4
（全国初中数学竞赛题）
综合创新
16.已知 m 、n 、 p 为正整数，m n ，设 A(m,0), B(n,0),C(0, p),O 为坐标原点。若∠ ACB 90 且 OA2 OB2 OC 2 3(OA OB OC) ，求图像经过 A、B、C 三点的二次函数的解析式。（2011
年全国初中数学联赛题）
交点从左到右依次为 D、E。
①当 B、D 是线段 AE 的三等分点时，求 m 的值。 ②在平移过程中，是否存在以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求此时 m 的
值；若不存在，请说明理由。（江西省中考题）
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学力训练
基础夯实
1. 将 抛 物 线 y ax2 bx c(a 0) 向 下 平 移 3 个 单 位 ， 再 向 左 平 移 4 个 单 位 得 到 抛 物 线
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15.如图，已知点 M、N 的坐标分别为（0，1）、（1，-1），点 P 是抛物线 y 1 x2 上的一个动点。 4
（1）判断以点 P 为圆心，PM 为半径的圆与直线 y 1的位置关系； （2）设直线ＰＭ与抛物线 y 1 x2 的另一个交点为Ｑ，连接 NP、ＮＱ，求证：∠ PNM ∠ QNM
2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
处取得最值；
3、抛物线的解析式有下列三种形式：
一般式： y ax2 bx c ；
顶点式： y a(x h)2 k ；
交点式： y a(x x1)(x x2 ) ，这里 x1 、 x2 是方程 ax2 bx c 0 的两个实根。确定抛物线的解
析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的 关键。 例题求解
例 6.将抛物线 c1 : y1 3x2 3 沿 x 轴翻折，得抛物线 c2 ，如图所示。
（1）请直接写出抛物线 c2 的表达式。
（2）现将抛物线 c1 向左平移 m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 M ，与 x 轴的交点从左
到右依次为 A、B；将抛物线 c2 向右也平移 m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 N，与 x 轴
（浙江省竞赛题）
思路点拨 对于（1），原二次函数图像的顶点 p 的坐标含参数 m ，消去 m 或对 m 赋值求出 p 点所
在抛物线的解析式。
例 4.如图，已知抛物线 y ax2 bx c(a 0) 顶点为（1、1），且过原点 o 。过抛物线上一点 p(x, y) 向直线 y 5 作垂线，垂足为 M ，连接 FM 。
4 （1）在直线 x 1 上有一点 F (1, 3) ，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此
4 时△ PFM 为正三角形； （2）对抛物线上任意点 P ，是否存在点 N (1, t) ，使得 PM PN 恒成立？请说明理由。
（黄冈市中考题）
思路点拨 对于（1），通过计算证明 PF PM ；对于（2），由（1）知 F 为可能满足条件的点之一， 再观察抛物线上的特殊点（顶点）便知是唯一点，以此猜想 F 就是所求的 N 点，通过数式计算证明 PF PM 。
例 3.已知二次函数 y x2 2(m 1)x m 1 。 （1）随着 m 的变化，该二次函数图像的顶点 p 是否都在某个抛物线上？如果是，请求出该抛物线的
函数表达式；如果不是，请说明理由。
（2）如果直线 y x 1经过二次函数 y x2 2(m 1)x m 1 图像的顶点 p ，求此时 m 的值。
向交于 C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形，O 为坐标原点，则 b 2c
.
(2011 年全国初中数学联赛题）
4
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9. 若 关 于 x 的 函 数 y (a 3)x2 (4a 1)x 4a 的 图 像 与 坐 标 轴 有 两 个 交 点 ， 则 a 的 值
为
。 （天津市竞赛题）
10.已知正△AOB 的三个顶点都在抛物线 y 1 x2 上，其中 O 为坐标原点，则正△AOB 的面积为 2
（
）（2011 年《数学周报》杯全国初中数学竞赛）
A、 4 3
B 、12 3
C 、6 3
D 、24
11.二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像的顶点在第一象限，且过点（0,1）和点（-1,0），则
6
A、 2b 5
B 、 b2 5
C 、2002
D、5
a
4a
13.已知二次函数 y ax2 4ax 4a 1 的图像是 C1 .
（太原市竞赛题）
（1）求 C1 关于点 R(1,0) 中心对称的图像 C2 的函数解析式；
（2）设曲线 C1 、 C2 与 y 轴的交点分别为 A、B 当 AB 18 时，求 a 的值。
s a b c 的值的变化范围是（
A 、0 s 1
B 、0 s2
）。（荆州市竞赛题）
C 、1 s 2
D、 1 s 1
12.已知 A(x1,2001), B(x2 ,2002) 是二次函数 y ax2 bx 5(a 0) 的图像上两点，则当 x x1 x2
时，二次函数的值是（
） （绍兴市竞赛题）