配方法
把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。

配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。

运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。

熟悉以下基本等式：
1.2
2
2
)(2b a b ab a ±=+±
2.2
2
2
2
)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[]
2222
2
2
)()()(2
1
a c c
b b a ca b
c ab c b a ±+±+±=
±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 44222
2
-+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332
=-++y x x ，则y x +的最大值为
（镇江市中考题）
思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。

【例2】已知c b a 、、，满足722
=+b a ，122
-=-c b ， 1762
-=-a c ，则c b a ++的
值等于（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
（河北省竞赛题）
思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手
【例3】已知a 是正整数，且a a 20042
+是一个正整数的平方，求a 的最大值。

（北京市竞赛题）
思路点拨 设2
2
2004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。

【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422
=-+=-c ab b a ，求c b a ++的值
（浙江省竞赛题）
【例5】若y x 、是实数，且y x y xy x m 44642
2
--+-=，确定m 的最小值
（北京市竞赛题）
分析与解 选择x 为主元，将条件等式重新整理成x 的二次三项式，利用配方求m 的最小值。

练习
1.设mn n m n m 4,02
2
=+>>，则mn
n m 2
2-的值等于（ ）
A.32
B.3
C.6
D.3
（2011年南通市中考题）
2.已知m m Q m P 15
8
,15172-=-=
（m 为任意实数）
，则Q P 、的大小关系为（ ） A.Q P > B.Q P = C.Q P < D.不能确定
（泰州市中考题）
3.若实数z y x 、、，满足0))((4)(2
=----z y y x z x ，则下列式子一定成立的是（ ）
A.0=++z y x
B.02=-+z y x
C.
D.02=-+y x z
（2011年天津市中考题）
4.化简
2
12172
2321217223---
++的结果是（ ） A.2 B.2- C.2 D.2-
（2011年江西省竞赛题）
5.已知实数c b a 、、满足016,72
=++++=+-c b bc ab c b a ，则
a
b
的值等于 （天津市竞赛题）
6.当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x 得
（“希望杯”邀请赛试题）
7.已知z y x 、、为实数，且满足52,352-=--=-+z y x z y x ，则2
2
2
z y x ++的最小值
为 。

（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）
8.满足方程()()33222
=-+++y x y x 的所有实数对为 。

（“新知杯”上海市竞赛题）
9.设实数y x 、为实数，求代数式428452
2
++-+x xy y x 的最小值。

（江苏省竞赛题）
10.如图，将一矩形OABC 放在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在y 轴上，点E 是AB 边上的一个动点（不与B A 、重合），过点E 的反比例函数)0(>=x x
k
y 的图象与边BC 交于点F ．
(1）若OCF OAE ∆∆、的而积分别为21S S 、．且221=+S S ，求k 的值． (2）若4,2==OC OA ，当四边形AOFE 的面积最大时，求点F E 、的坐标．
（2011年莆田市中考题）
11.求满足)1(22
2
2
+=++yz z y x 且4018=++z y x 的所有整数解。

（英国首相奥林匹克试题）
12.试确定：对于怎样的正整数a ，方程029)3(452
2
=-++-a x a x 有正整数解？并求出
方程的所有正整数解。

（2011年江西省竞赛题）。