流体计算理论基础1 三大基本方程连续性方程连续性方程也称质量守恒方程，任何流动问题都必须满足质量守恒定律，该定律可表示为：单位时间内流体微元中质量的增加等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量，其形式如下：()()()0u v w t x y zρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ 可以写成：()0div u tρρ∂+=∂ 其中ρ密度，t 为时间，u 为速度矢量，u ，v 和w 为速度矢量在x ，y 和z 方向上的分量。
若流体不可压缩，密度为常数，于是：0u v w x y z∂∂∂++=∂∂∂ 若流体处于稳态，则密度不随时间变化，可得出：()()()0u v w x y zρρρ∂∂∂++=∂∂∂ 动量守恒定律该定律可以表述为：微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和，该定律实际是牛顿第二定律，按照这一定律，可导出x ，y 和z 三个方向上的动量守恒方程：()()()()()()yx xx zx x xy yy zy y yz xz zz z u p div uu F t x x y z u p div uv F t y x y z u p div uw F t z x y z τττρρτττρρτττρρ∂⎧∂∂∂∂+=-++++⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪+=-++++⎨∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂+=-++++⎪∂∂∂∂∂⎪⎩式中，p 为微元体上的压力，xx τ，xy τ和xz τ等是因分子粘性作用而产生的作用在微元体表面上的粘性应力τ的分量。
x F ，y F 和z F 是微元体上的体力，若体力只有重力，且z 轴竖直向上，则：0,0x y F F ==，z F g ρ=-。
对于牛顿流体，粘性应力τ与流体的变形率成比率，有：x yy x 2();==()2();==()2();==()xx xy y xz z zz yz zy u u v div u x y x v u w div u x z x w v w div u x z y τμλττμτμλττμτμλττμ∂∂∂⎧=++⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪=++⎨∂∂∂⎪∂∂∂⎪=++⎪∂∂∂⎩其中，μ为动力粘度，λ为第二粘度，一般可取23λ=-，将上式代入前式中为： ()()()()()()()()()u v w u p div uu div gradu S t x v p div uv div gradv S ty w p div uw div gradw S tz ρρμρρμρρμ⎧∂∂+=-+⎪∂∂⎪∂∂⎪+=-+⎨∂∂⎪⎪∂∂+=-+⎪∂∂⎩ 其中：()()/()/()/grad x y z =∂∂+∂∂+∂∂μ为动力粘度(dynamic viscosity)，λ为第二粘度(second viscosity),一般可取：23λ=-(参考文献：,Boundary Layer Theory,8th ed,McGraw Hill, New York,1979)。
u S ,v S 和w S 为动量守恒方程中的广义源项，u x x S F S =+，v y y S F S =+，w z z S F S =+，而其中x S ，y S 和z S 表达式为：()()()(())()()()(())()()()(())x y z u v w S div u x x y x x x x u v w S div u x x y y x y y u v w S div u x z y z x z z μμμλμμμλμμμλ⎧∂∂∂∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂=+++⎨∂∂∂∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂∂∂∂⎩一般来讲，x F ，y F 和z F 是体积力在x ，y ，z 方向上的分量。
x S ，y S 和z S 是小量，对于粘性为常数的不可压缩流体，0x y z S S S ===，动量守恒，简称动量方程，也称N-S 方程。
关于牛顿体与非牛顿体的定义如下：流体的内摩擦剪切力τ由牛顿内摩擦定律决定：0lim u u u n nτμμ∆→∆∂==∆∂ 其中，n ∆为沿法线方向的距离增量，u ∆对应于n ∆的流体速度的增量，u n ∆∆为法向距离上的速度变化率，所以，牛顿内摩擦定律表示：流体的内摩擦应力和单位距离上的两层流体间的相对速度成比例，比例系数μ称为流体的动力粘度，常称为粘度，单位为：2/N s m ⋅ 若μ为常数，则该类流体为牛顿流体，否则为非牛顿体，空气，水等均为牛顿体；聚合物溶液，含有悬浮粒杂质或纤维的流体为非牛顿体。
对于牛顿流体，通常用μ和[质量]密度ρ的比值ν代替动力粘度μμνρ= ν称为运动粘度，单位2/m s 。
能量守恒方程该方程可以描述为：微元体中能量的增加率等于进入微元体的净热流量加上体力与面力对微元体所做的功，实际为热力学第一定律。
()()()T p T k div uT div gradT s t c ρρ∂+=+∂k 为流体传热系数，p c 为比热容，T 为温度，T S 为流体内热源及由于粘性作用流体机械能转换为热能的部分，有时简称T S 为粘性耗散项。
以上三大基本方程参考：《计算流体动力学分析：CFD 软件原理与应用》_王福军2 通用控制方程上面的基本方程可以写成下面的通用形式：()()(grad )div u div S t ρφρφφ∂+=Γ+∂ 展开为：()()()()()()()u v w t x y z S x x y y z zρφρφρφρφφφφ∂∂∂∂+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=Γ+Γ+Γ+∂∂∂∂∂∂ 其中φ为通用变量，可以代表u ，v 和w 以及T 等求解变量，Γ为广义扩散系数，S 为广义源项。
2 几种数值求解方法有限差分法主要的思路是用差商代替微商,来近似的表示微分方程.其形式简单,对任意复杂的偏微分方程都可以写成其对应的差分方程,但是微分方程中各项的物理意义和微分方程所反映的物理定律(如守恒定律)在差分方程中所表现的特点,在差分方程中没有得到体现.只是微分方程的数学近似,没有反映物理特性,计算结果可能表现出某些不合理现象.有限元法20世纪60年代出现,离散方程获得的方法主要有:直接刚度法,虚功原理推导,泛函原理推导或加权余量法推导.有限元法的优点是解题能力强,可以较精确的模拟各种复杂的曲线或曲面边界,网格划分比较随意,可以统一处理多种边界条件,离散方程形式规范,便于编写通用程序,但在应用流体流动和传热原理中却遇到了一些困难,其原因可归结为按加权余量法推导出的有限元离散方程也只是对原微分方程的数学近似,当处理流动和传热问题的守恒性,强对流,不可压缩条件等方面的要求时,有限元离散方程中的各项还无法给出合理的物理解释,对计算中出现的一些误差也难以进行改进,因此有限元法在流体力学和传热学中的应用还存在一些问题.有限体积法FVM(或控制体积法CVM)将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解微分方程对每一个控制体积积分，从而得到一组离散方程，其中的未知数是网格上的因变量φ，为了求出控制体积的积分，必须假定φ值在网格点之间的变化规律，从积分区域的选取方法看，有限体积法属于加权余量法中的子域法，从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法，简而言之，子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。
有限体积法得到的离散方程，要求因变量的积分守恒对于任意的一组控制体积都满足，对于整个计算区域，自然满足，这个是有限体积法吸引人的优点。
有些离散方法，例如有限差分，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒，而有限体积法在粗网格的情况下，也显示出准确的积分守恒。
就离散方法而已，有限体积法可视为有限元法和有限差分法的中间产物，有限元法必须假定φ值在网格节点间的变化规律（即插值函数），并将其作为近似解。
有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑在网格点间如何变化。
有限体积法只寻求φ的节点值，这个和有限差分相似，但是有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定φ在网格点间的分布，这个又与有限元相似。
插值函数只用于计算控制体积的积分，得到离散方程之后，便可忘掉插值函数。
如果需要的话，可对微分方程中不同的项采用不同的插值函数。
插值方式称之为离散格式，有：中心差分，一阶迎风格式，混合格式，指数格式，乘法格式。
二阶迎风格式，QUICK格式，有限体积法有四项基本原则：（1）控制体积界面上的连续性原则（2）正系数原则（3）源项的负斜率线性化原则α等于相邻节点系数之和原则（4）系数p谱方法基本思想是考虑热传导方程的初值问题,当微分方程的解足够光滑时,谱方法给出的近似解将以很高的精度逼近微分方程的精确解,而且该方法得到的近似解应用于整个区域而不是局部区域.这个是区别有限元法的重要特征.边界元法20世纪70年代发展起来,针对有限差分和有限元占计算机内存资源过多而发展起来的求解偏微分方程的数值方法.最大特点是降维,只在求解区域的边界进行离散就能求解整个流场的解.这样三维问题降维二维,二维问题降为一维,可用小机器计算大问题.基本思想是用边界积分方程将求解域的边界条件与域内任意一点的待求变量值联系起来,然后求解边界积分方程即可.但是若流体描述方程本身比较复杂时,如粘性的N-S方程,则对应的权函数算子基本解不一定能找到,因此应用受到很大限制.3 离散控制方程求解概述建立了离散方程之后,所生成的离散方程不能直接用来求解,还必须对离散方程进行某种调整,并且对各未知量(速度，压力，温度等)的求解顺序及方式进行特殊处理，对于这些计算方法有：耦合式解法的基本过程：（1）假定初始压力和速度等变量，确定离散方程的系数及常数项。
（2）联立求解连续方程，动量方程，能量方程（3）求解湍流方程及其它标量方程（4）判断当前时间步上的计算是否收敛，若不收敛，返回到第（2）步，迭代计算，若收敛，重复上述步骤，计算下一时间步的物理量。
若所有变量整场联立求解，称为隐式解法，部分变量整场联立求解称为显隐式解法，在局部地区（如一个单元上）对所有变量联立求解称为显式解法。
对于显式解法，是在一个单元上求解所有变量后，逐一的在其它单元上求解所有的未知量，这种方法在求解某个单元时，要求相邻单元的变量解是已知的。
分离式解法的基本思路是：不直接联立方程组，而是顺序地，逐个的求解各变量代数方程组。
依据是否直接求解原始变量u,v,w和p，分离式解法可分为原始变量法和非原始变量法。
涡量—流函数法不直接求解原始变量u,v,w和p，而是求解旋度ω和流函数ψ。
涡量—速度法不直接求解原始变量p，而是求解旋度ω和u,v,w，此两种方法共同特点是不求解压力项，避免压力项带来的问题。