2 z 2

2 z 2
柱坐标系：
2 1 ( ) 1
2 2
2 2 z2
球坐标系：
2
1 r2
r
(r2
r
)

r2
1
sin


(sin


)

r2
1 sin2

2
2
球坐标系下拉普拉斯方程的分离变量：
球坐标系下拉普拉斯方程的形式为：
d
d
d 2
得到两个常微分方程：
d 2
d 2



0
sin d (sin d) [l(l 1)sin2 ] 0
d
d
解常微分方程：
d 2
d 2



0
自然周期边界条件： ( 2 ) ()
得其通解为： () Am cos m Bm sin m
1
sin


(s in
Y

)

s
1 in 2

2Y
2
l(l 1)Y
0
球函数方程的分离变量： 再令 Y ( ,) ( )()
d (sin d ) d 2 l(l 1) 0
sin d
d sin 2 d 2
sin d (sin d) l(l 1) sin2 1 d 2
一、 曲线坐标系中的分离变量： 以球坐标系下的拉普拉斯方程为例
z
r

x
(x, y, z)
z
y
z
r

(x, y, z)
z
y
x
球极坐标
边界：r, ,
z
r
h
(x, y, z)
z
柱坐标： , z,
y xΒιβλιοθήκη 拉普拉斯方程： 2u 0
拉普拉斯算子: 2
直角坐标系：
2

2 x 2
u(r, ,)
l 0
m0
(Cl r l

Dl r l 1
)(
Am
cos
m

Bm
sin
m
)Plm (cos
)
l 0,1,2,...; m 0, 1, 2,..., l
轴对称情形下球坐标系中拉普拉斯方程的通解：
如果所研究的问题具有轴对称性（即u 是轴对称的，对φ的转动
不改变 u ），则 m 0
于是轴对称情形下球坐标系中拉普拉斯方程的通解为：
u(r, )
l
(Cl r l

Dl r l 1
)
Pl
(cos )
Pl (cos ) 是l-阶勒让德多项式，它是l-阶勒让德方程在区间[-1,1] 内的有界解。
l-阶勒让德方程（特殊函数方程） ：
(1
x2
m2 m 0,1,2,
再解常微分方程：
sin d (sin d) [l(l 1)sin2 m2] 0 d d
令： x cos,
sin sin x sin2 (1 x2 )

x
x
x
方程的形式变为：
在球坐标系或柱坐标系中利用分离变量法求解偏微分方程时， 经常会遇到二阶齐次、线性、变系数的常微分方程，如勒让德 方程、贝塞尔方程（特殊函数的常微分方程），等等。
变系数常微分方程的求解一般都是比较复杂的, 需要一些特殊的 方法才能对它们进行求解。 一个比较普遍的方法就是级数解法, 本章将对二阶齐次、线性、变系数常微分方程的级数解法作一 简要的介绍。
r 2 sin 2 2
1 R
r
(r 2
R ) r
1
Y sin


(sin
Y

)

Y
s
1 in
2

2Y
2
l(l 1)
d (r2 dR) l(l 1)R 0 dr dr
欧拉形方程
1 (sin Y ) 1 2Y l(l 1)Y 0
1 r2
r
(r 2
u ) r
1 r 2 sin

(s in
u )
1 r 2 sin2
2u 2
0
分离变量： u(r, ,) R(r)Y ( ,)
Y (r 2 R ) R (sin Y ) R 2Y 0
r 2 r r r 2 sin
第九章 二阶线性常微分方程的级数解法 斯特姆 — 刘维本征值问题
（教材第七章)
• 曲线坐标系中的分离变量：以球坐标系下拉普拉斯方 程为例
• 二阶线性常微分方程常点邻域内的幂级数解法：以勒
让德方程为例子
• 斯特姆 — 刘维本征值问题
应用分离变量法解数学物理偏微分方程时, 不可能总是采用直角 坐标系, 在很多情况下需要根据边界的形状选择适当的曲线坐标 系。如所研究的物理系统的边界为球面或柱面, 就需要采用球坐 标系或柱坐标系（统称曲线坐标系）。
d dx
[(1

x2
)
d dx
]

[l
(l

1)

1
m2 x2
]

0
l-阶缔合勒让德方程（特殊函数方程） ：
d dx
[(1

x
2
)
d dx
]

[l (l

1)

1
m2 x
2
]

0
l-阶缔合勒让德方程在区间[-1，1]内的有界解为缔合勒让德函 数，记为 Plm ( x)
结论：在球坐标系下拉普拉斯方程（ 2u 0 ）的通解为：
sin
sin2 2
球函数方程
径向函数所满足的方程为欧拉形方程：
d (r2 dR ) l(l 1)R 0, dr dr
r2
d 2R dr2

2r
dR dr

l(l
1) R

0
其解为：
R(r)

Cr l

D r l1
【求解过程：先作坐标变换 r et , t ln r,
)
d 2 dx2

2x
d dx

l (l
1)

0
二、二阶齐次、线性、变系数常微分方程常点邻域内的级数解 法（以勒让德方程为例）
二阶齐次线性变系数常微分方程的标准形式为：
y（'' x) p(x) y '(x) q(x) y(x) 0
对于复变函数：
w''(z) p(z)w'(z) q(z)w(z) 0
dR dR dt 1 dR , d 2R 1 d 2R 1 dR dr dt dr r dt dr2 r2 dt2 r2 dt
原方程变为：
d 2R dt 2

dR dt

l(l

1)R

0
其解为：
R(t) Celt De(l1)t Crl Dr (l1) 】
球函数方程：