v b (t )

cv
v 是常向量，b(t)
cv
v 0.
从而
av(t) av(t)
v 0.
“ ” 由条件知
vv b(t) b(t)

0v，故
v b(t
)

v
(t )b (t )，只需内积
v b (t ).
储亚伟
二、三类特殊向量函数
证明：（3）设 av(t) 与某定方向垂直，则存在单位常向量 ev1 使得
定理2.1
(Leibniz法则)
设
av(t),
v b (t ),
cv(t
)
为可微的向量函数，则
（1）
av(t)
v b (t)


av(t )

v b (t)

av(t )
v b(t );
（2）
av(t
)

v b (t )


av(t)

v b (t )

av(t)

v b(t);
球面曲线
v （2）0

av(t
)
定向当且仅当
av(t
)

av(t
)

v 0;
过原点直线
（3）av(t) 二阶可微，若它垂直于定方向，则
av(t), av(t), av(t)
反之，若上式成立，且处处有
0. av(t)

av(t)

0v，则
av(t
)
必定与
某定方向垂直
过原点平面.
储亚伟
（3）
av(t),
v b (t ),
cv(t
)


av(t),
v b (t ),
cv(t)

av(t),
v b(t),
cv(t)

av(t),
v b (t ),
cv(t)
.
储亚伟
二、三类特殊向量函数
定理2.2 设 av(t)为二阶连续可微的向量函数，则
（1）av(t) 定长当且仅当 av(t) av(t) 0;
1）连续性：rv(t) 连续 x(t), y(t), z(t) 连续.
2）可微性：rv(t) 可微 x(t), y(t), z(t) 可微.
C k 性质.
向量函数的求导、积分、可微性、可积性等归结 为其分量函数的求导、积分、可微性和可积性.
储亚伟
一、向量函数的相关概念及运算
(二）、运算法则

av(t)


av(t)

av(t
)

0.
□
储亚伟
课外作业：
1. 证明定理2.1.
2.
设 : E3 E3 为等距变换，在
E3 中取定一个正交标架
O
;
v i,
v j,
kv，令
R
3
uuuv uuuuuuuuuuuv
为 E3中全体向量构成的向量空间. 定义映射 A : R3 R3 : AB a ( A) (B).如果
二、三类特殊向量函数
证明：（1）因 | av(t) |2 av(t)av(t) 2av(t)av(t), 故
av(t) 定长 | av(t) |2 定长 av(t) av(t) 0.
（2）因 av(t)
处处非零，取
av(t) 方向的单位向量
v b (t )
| av(t) |1
(O) O，证明A 是线性映射.
3. 设向量函数 rv(t) 有任意阶导(函)数. 用 rv(k) (t) 表示 rv(t) 的 k 阶导数，
并设 rv(k) (t) rv(k 1) (t) 处处非零. 试求 rv(k) (t), rv(k1)(t), rv(k2)(t) 0 的充要条件.
v 0）

v b (t
)

v b(t
v )=0
？
v 根据已经证明的(2)，b (t)
的方向不变，设为
ev1 ，则
v b (t)
|
v b (t)
|
ev1.内积
av(t)
|
v b(t)
|
由
v b (t )

a0vv(知t) ，ev1av(t
av(t) ) ev1
v b(t 0.
)
储亚伟
微分几何 慕课邀请码
储亚伟
av(t),
则 av(t)
v f (t)b(t),
其中
f (t) | av(t) | 连续可微.于是
av(t)av(t)
v f (t)b(t)
v
v
f (t)b(t) f (t)b(t)
vv f 2(t)b(t) b(t), t.
“ ” 由条件知
v f (x, y, z) { P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) }, (R3 R3).
储亚伟
一、向量函数的相关概念及运算
(一）、相关概念
2. 分析性质
设有定义在区间 [a,b] 上的向量函数 rv(t) (x(t), y(t), z导得 av(t) ev1 0，av(t) ev1 0. 从而 av(t), av(t), av(t) 共面.
反之，设 av(t), av(t), av(t) 0. 令
v b (t )

av(t)

av(t)（需假定
v b (t)
微分几何
第一章 预 备 知 识 §1.2 向量函数
储亚伟 © Copyright
一、向量函数的相关概念及运算
(一）、相关概念
引入：函数 VS 向量函数
1. 向量函数：指从其定义域 D 到 R3 的映射： rv: D R3 : p a rv( p).
例如： rv(t) { x(t) , y(t) , z(t) }, ( R1 R3 ); rv(u, v) { x(u, v) , y(u, v) , z(u,v) }, (R2 R3);