作用力方程： MX KX P(t) 固有振动方程： MX KX 0
X Rn M、K Rnn
P(t) Rn
在考虑系统的固有振动时，首先考察系统的同步振动，即系
统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，随时间变化的规律
都相同的运动。
假设系统的运动为： X φ f (t)
X Rn φ Rn
常数列向量 运动规律的时间函数 f (t) R1
f
(t)
at
b,
0
（1）正定系统
主振动
只可能出现形如 X φa sin( t ) 的同步运动
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动
（2）半正定系统
可能出现形如 X φa sin( t ) 的同步运动
也可能出现形如 X φ(at b) 的同步运动（不发生弹性变形 ）
MX KX 0
k2a2 k1a1 k1a12 k2a22
xD
D
PD
M
D
m
0
0 IC
xC
C
k1 k2a2
k2 k1a1
k2a2 k1a1 xC
k1a12
k2a22
C
PC M C
令： X D
xD
D
,
FD
PD
M
D
令： XC
xC
C
,
FC
PC
M
C
即：
m11
0
0 m22
x1 x2
k11
0
0 k22
x1 x2
P1 P2
若能够，则有：
m11x1 k11x1 P1
m22x2 k22x2 P2
方程解耦，变成了两个单自由度问题
使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
D点和C点的坐标之间的关系：
xC xD eD
C D
写成矩阵形式： X D TXC
1 e
T 0
1
FD和FC 的关系
坐标变换矩阵
在C点加一对大小相等、方向相反的力 PD
得： PC PD M C ePD M D
C
D
C
D
xD xC
e
M D PD PD D C PD
写成矩阵形式： FC T T FD T 非奇异，因此： FD (T T )1 FC
FD (T T )1 FC
将 X D TXC 代入D点的方程，并左乘 T T ： T T MDTXC T T K DTXC T T FD FC
得： T T MDT MC
T T KDT KC
验证：
m MD me
me
IC
me2
m 0
MC
0
I
C
1 0 m me 1 e m 0
M C PC
DC
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
MD XD KD X D FD MC XC KC XC FC
X D [xD , D ]T XC [xC , C ]T
FD [PD , M D ]T FC [PC , MC ]T
X D TXC
T
1 0
e
1
FC T T FD
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
矩阵形式：
m me
IC
me me2
xD
D
k1 k2 k2a2 k1a1
k2a2 k1a1 xD
k1a12
k2a22
D
PD M D
存在惯性耦合
存在弹性耦合
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出 现惯性耦合，也不出现弹性耦合？
X φf (t)
正定系统 0 半正定系统 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
正定系统： MX KX 0
X Rn M 正定，K 正定
主振动： X φa sin( t ) 0 φ [1 2 n ]T
MD XD KD X D FD MC XC KC XC FC
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
MD XD KD X D FD MC XC KC XC FC
X D [xD , D ]T XC [xC , C ]T
FD [PD , M D ]T FC [PC , MC ]T
如果恰巧Y 是主坐标：
T T MT T T KT
对角阵
这样的T 是否存在？如何寻找？
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的自由振动
• 固有频率 • 模态 • 模态的正交性 • 主质量和主刚度 • 模态叠加法 • 模态截断法
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的固有频率
k2 k1a1
k2a2 k1a1 k1a12 k2a22
xC
C
PC
M
C
讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的 运动微分方程之间有着怎样的联系？
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
m me
IC
me me2
xD
D
k1 k2 k2a2 k1a1
X [x1 x2 xn ]T φ [1 2 n ]T
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
MX KX 0
X φf (t)
X Rn φ Rn
代入，并左乘 φT ： φT Mφf(t) φT Kφf (t) 0
：常数
f(t) f (t)
φT Kφ φT Mφ
2
M 正定，K 正定或半正定
l
选取D点的垂直位移及 角位移作为坐标
l1
A
DC
l2 B
选取质心C点的垂直位 移及角位移作为坐标
k1
a1
e
a2
k2
m me
IC
me me2
xD
D
k1 k2 k2a2 k1a1
k2a2 k1a1 xD
k1a12
k2a22
D
PD M D
m
0
0 IC
xC
C
k
k1 2a2
对于非零列向量 φ： φT Mφ 0 φT Kφ 0
令： 2 0
对于正定系统必有 0
对于半正定系统，有 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
f(t) f (t)
φT φT
Kφ Mφ
2
f(t) 2 f (t) 0
Байду номын сангаас
a、b、 为常数
f (t) a sin(t ), 0
e 1me IC me2 0
1
0
I
C
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
结论：
假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X 和Y 有如下的变
换关系：
X TY
其中T 是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为
：
MX KX P
那么在坐标Y 下的运动微分方程为：
T T MTY T T KTY T T P