结论：存在所寻找的变换矩阵
§4.2固有频率与振型
解决变换矩阵 具体内容问题
途径：解固有振动
特征值问题
频率方程
解得n个固有频率
式不
回代特征方程解得 n个对应向量
固有频率 固有振型
所谓固有，就是与外界激励无关 完全决定于质量和刚度矩阵。 与单自由度固有频率类比。
振型的正规化
正规化就是归一化 在新坐标下归一
1
k m
φ(1)
1 2 1
x
第二阶固有振型: x1 1
x2 0
2
x3 1
3k m
第三阶固有振型:
1 φ(2) 0 1 1 φ(3) 1 1
x
x1 1
节点
x3 1
与脉冲响应函数互为变换对
传递函数频响函数与模态参数的关系
隔振与减振措施
4、动力吸振器
•受简谐激励的振动系统当激励 频率接近系统的固有频率时会产 生共振。 •为减少振动，要改变系统的固 有频率，或者增加系统的阻尼。 •如果受实际条件的限制，系统 的固有频率不能改变，而增加阻 尼后仍嫌响应过大，则可考虑采 用动力吸振器。
超低频,频率密集,振型耦合强
分析了前12阶模态，包括对称和反对称的竖弯、侧弯、扭转等
实例6
中旅大厦
西宁北川河桥
井架
运行中的机车
§4.3 动力响应分析
多自由度系统的强迫振动
阻尼耦合与解耦
已经解决：质量矩阵和刚度矩阵对角化问题：找振型矩阵 还需解决：阻尼矩阵的对角化问题：人为近似处理。
振型叠加法求解步骤
列
例4.1 定义刚度矩阵
从定义出发列出三矩阵； 意义明确但比较麻烦
每一步得到刚度矩阵一个列
用能量法求三个矩阵
用能量法求三矩阵简单易行 能量法是最普遍的方法
三矩阵的对称性
矩阵的正定性
用能量法求例4.1的矩阵
用线性变换法求解方程
求解的关键是解耦 解耦的关键是矩阵对角化 对角化的关键是找变换矩阵
激励力不可测
桥梁、楼房、井架等 运行中的机车
实例1(火箭发动机,卫星,雷达)
实例2(汽车,工程机械)
实例3(龙洗、编钟、模型、集中质量梁)
实例4(大型结构,锤击)
航天员超重训练机
铁路桥
飞船发射平台(750T)
实例5(桥梁)
上海卢浦大桥
目前世界上最大跨径钢拱、梁组合体系 中承式系杆拱桥
解决变换矩阵的存在问题
线性变换把耦合的旧坐标 变换到解耦的新坐标
新旧坐标系的能量 量不变、形式改变
由能量形式改变导出 新旧坐标系三矩阵与 变换矩阵的关系
新坐标代入老坐标方程 利用新旧坐标三矩阵 新坐标运动微分方程 注意：新坐标下激励
由老坐标初始条件导出 新坐标初始条件
实现了新老坐标定解问题的变换
第四章 多自由度系统
主讲：王林鸿教授、博士 机械与汽车学院
引言
从数学上完整叙述多自由度系统振动理论；
固有频率与振型理论； 求解系统响应的振型叠加方法和变换方法阵
解耦是关键
刚度矩阵各元素的意义
i是维持力的自由度的序号 J是假设位移自由度的序号
展开定理的矩阵形式
至此为了方程解耦而苦苦寻找的： 线性变换 变换矩阵=振型矩阵 新坐标=振型坐标 全部水落石出。
振型坐标下的运动微分方程
用寻找到的结论重新书写解耦运动方程： 线性变换 变换矩阵=振型矩阵 新坐标=振型坐标
模态质量归一法
最大振型归一法
n个单自由度定解问题的组合
通过线性变换解耦
质量矩阵对角化
刚度矩阵对角化
实现质量、刚度矩阵的对角化
最大振型正交归一法度矩阵对角化！ 踏遍千山万水，历尽千辛万苦，
总算找到它了！
全体振型向量组的线性无关性
全体振型向量组线性无关
基、线性表出、振型坐标
展开定理
能够解耦的新坐标就是振型坐标
老坐标定解问题
通过齐次方程求固有振动得 振型矩阵，用振型矩阵作线 性变换
矩阵坐标定解问题的形式
阻尼耦合与模态阻尼矩阵对角化问题
模态阻尼矩阵
Rayleigh阻尼的对角化
老坐标下阻尼矩阵
通过振型矩阵对角化
振型矩阵无法对角化的人为强行规定
人为规定新坐标下的 阻尼矩阵为对角矩阵
人为强行规定对角化的三种方法

习题
4.1
4.2 4.3
4.7
谢谢
人为规定一个 比较大小的基准 模态质量归一法
最大振型归一法
振型的正交性
振型正交性的物理意义
振型正交性的物理意义
正交的振型与正交的坐标基相似 正交的振型可以用作正交的坐标基
振型的正规正交化条件
为表达方便 引入记号
单位矩阵
两种正规正交化方法
模态质量正交归一法
最大振型正交归一法
模态质量正交归一法
u(t ) Φq(t )
物理空间 模态空间 解耦 Mi qi (t ) Ki qi (t ) 0
Mu(t ) Ku(t ) 0
耦合
u(t ) Φq(t )
现实社会问题 模态叠加法 “中国梦”
多自由度无阻尼自由振动解的特征
x
第一阶固有振型: x1 1
x2 2
x3 1
二自由度动力吸振器
精心选择字子系统参数
李代桃僵
动力吸振曲线
动力吸振器与阻尼
夹在两座大山之间， 要格外小心
第四章知识点

核心问题是耦合与解耦；主要规律是固有振动。 耦合方程向解耦方程的形式转变；刚度矩阵元素的物理意义；广义特征 值问题；频率方程；振型正规化（归一化）；两种归一化方法；模态质 量、模态刚度；正规正交化条件；n个振型向量构成n维向量空间一个基； n个阵型线性表出；振型坐标（主坐标）；展开定理；振型坐标系下的 运动微分方程形式；阻尼矩阵人为对角化的方法；多自由度系统的单位 脉冲响应；动力吸振器。 基本算法： 1. 解频率方程得n个固有频率； 2. 分别回代n个固有频率至广义特征值问题； 3. 分别解相应的广义特征值问题得n个振型； 4. 由n个振型构成阵型矩阵即是能使方程解耦的变换矩阵； 5. 用振型矩阵进行线性变换， 阻尼矩阵人为对角化，使方程解耦，变 成一组单自由度方程组； 6. 用单自由度系统的方法分别求解解耦方程组得到一组振型坐标系下 的解； 7. 利用展开定理得到原耦合方程的解。
人为规定新坐标下的 阻尼矩阵为对角矩阵
解耦后的定解问题及解法
变成n个单自由度方程
逐个求解后，振型坐标下叠加
激励振型阶数的取舍
响应振型阶数的取舍
前十阶振型足矣！
动力响应举例
第j行不为0的列向量
第j阶振型
新坐标下每个解耦运动方程的解
变成n个单自由度方程
每个方程第j行元素非0
每个方程的单位脉冲响应
3 2
k m
x2 1
振型图反映了各自由度之间的振动规则（章法）
固有振型
固有振型
固有振型
返回
固有振型
1st水平弯曲
1st扭转
1st垂直弯曲
2nd水平弯曲
2nd扭转
2nd垂直弯曲
固有振型
膜的各阶固有振型
典型模态分析实例
激励力可测
汽车、工程机械、发动机、卫星等 变时基法测量大型结构 铁路桥、飞船发射平台、超重训练机等
旧坐标下系统总响应与单个自由度的响应
n个振型的线性组合，是个列向量
取上边列向量的第i行,是个函数
多自由度单位脉冲响应矩阵
传感器位置
锤击位置 系统固有特性：由固有 频率和固有振型构成 振动模态试验
§4.4 动力响应分析中的变换方法
拉普拉斯变换法
变换关系
傅里叶变换法
传递函数矩阵元素的意义
频响函数矩阵元素的意义