Sunday, August 11, 2013
有限元分析的原理与步骤
二、平面问题有限元分析的步骤 3、整体分析
“积零为整”，由单元方程建立整体方程的集合过程。如下所示：
P K
整体位移矩阵 整体等效节点力矩阵 整体刚度矩阵
1）整体分析的基本思路
由单元方程建立整体方程的集合过程，应遵循的原则： 根据节点的平衡条件，相应的刚度和载荷必须相加。这个过程有各个单 元刚度矩阵[k]集合成整体的刚度矩阵[K]，以及有各个单元节点力向量{P}e 集合成总的载荷向量{P}。 直接刚度法原理：各单元在公共节点处相互连接，因而要求在公共节点 处连接的单元在该节点上的位移相同。集合而成的代数方程组反映了整体 平衡关系：
结构离散化举例：
有限元分析的原理与步骤
二、平面问题有限元分析的步骤
有限元分析的原理与步骤
二、平面问题有限元分析的步骤 2、单元分析
所示：
单元分析的基本任务是：选择单元位移模式，建立单元位移方程式。如下
p k
e e
e
单元等效节点力矩阵 单元刚度矩阵
单元位移矩阵
1）、单元位移函数 如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分 量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变 化情况很难用一个简单函数来描绘。 有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小 网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简 单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示 该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型 、位移场。 对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，
aj bj cj
am ui bm u j cm um
1
xi
yi yj ym
2A 1 xj 1 xm
ai 4 1 5 bi 2 A c 6 i
aj bj cj
am vi bm v j cm vm
用的单元类型、数量以及对单元的插值函数。 有限元法是近30年来工程计算方法领域中的一项重大 的成就。它不仅广泛的应用在机械设计的力学分析中，而 且也成功应用在求解复杂的非线性工程中。有限元软件则 是有限元法及其应用的集中和完善的体现，它是CAD/CAM 系统中的重要组成部分。 利用有限元这一先进的技术，我们在设计阶段就可以 预测产品的性能，减少许多原型制造及测试实验工作，这 样即可以缩短产品设计周期节省实验费用，又可以优化产 品的设计，避免了产品的大储备设计及不足设计。
P
力学模型
(平面应力问题)
P
有限元模型
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有限元分析的原理与步骤
二、平面问题有限元分析的步骤
有限元平面问题中常用的单元形式有三角形三节点单元，矩形四节点单元， 三角形六节点单元，等参四边形八节点单元等(见下图)；三角形三节点单元在平 面问题中是最简单、最常用的单元形式．
（下标i，j，m轮换）
ui v i 0 u j Nm v j um vm
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
简写为
N
e
INi
IN j
i IN m j m
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
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bi 1 0 2S ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
ui v 0 i u j cm [ Bi ] [ B j ] [ Bm ] e B e vj bm u m vm
D D B e S e Si
S j
Sm e
[S]-----应力矩阵，反映了单元内任一点的应力与节点位移间的关系
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4）虚功方程
有限元分析的原理与步骤
二、平面问题有限元分析的步骤 离散化注意事项：
1）利用对称性，简化模型。
2）任意三角形单元的顶点，必须是相邻单元的顶点，而不能是相邻单元 的内点。 3）在应力集中或应力变化较大的区域，单元应分得细一点，厚度成材料发 生突变的地方，应规定为单元的边界线。 4）每个单元所受的载荷均应按静力等效原则移置到节点上。
第6章
计算机辅助工程分析
计算机辅助工程(CAE)作为一项跨学科的数值模拟分析 技术，它是有限元、有限条、有限体积以及有限差分等方 法与计算机技术结合的产物。随着计算机技术的高速发展， CAE技术越来越受到科技界和工程界的重视。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第6章
计算机辅助工程分析
有限元法简介
有限元法(或称有限单元法、有限元素法)是求解复杂 工程问题的一种近似数值分析方法。它的基本概念是将一 个形状复杂的连续体的求解区域分解成有限个单元组成的 等效组合体,通过将连续体离散化，把求解连续体的场变 量(应力、位移、压力和温度等)问题简化为求解有限个单 元结点上的场变量值。此时求解的基本方程将是一个代数 方程组，而不是原来的描述真实连续体场变量的微分方程 组。从而大大降低求解的难度。其解的精度取决于所采
有限元分析的原理与步骤
二、平面问题有限元分析的步骤 1、 离散化
由无限个质点的连续体简化为有限个单元在节点处连接而成的集合体，称为 离散化．这一离散化的总目标是：将物体分解成充分小的单元，使得简化的位移 模型能够在单元内足够近似地来表示精确解，从而在整体上获得满意的计算结 果．另一方面，又必须注意到，单元不能分得太细，以免计算工作量过大。充分 小而有限小，这是离散化的基本原则。有限元分析的结果是在物体的这些离散点 处计算出位移和应力的近似值．对于工程问题，这些近似结果往往是满意的解 答．
形函数矩阵[N]反映了 单元内任一点的位移 与节点位移间的关系
2) 几何方程 据弹性力学几何方程得 单元的应 变分量
x x x u y y 0 v xy x y y 0 N i y 0 x ui v i 0 u j Nm v j um vm
a1 a 2 0 a3 a y 4 a5 a6

u 1 v 0
x 0
y 0
0 1
0 x
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最终确定六个待定系数
ai 1 1 2 bi 2 A c 3 i
应力的概念
PA=dx,PB=dy,PC=dz
Z
Y X
每一个面上的应力分 解为一个正应力和两 个剪应力，分别与三 个坐标轴平行
正应力
剪应力

图 2-4
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有限元分析的原理与步骤
一、弹性力学平面问题的类型 2）平面应变问题
如图圆柱体，其长度z方向比直径大很多，载荷平行于横截面 OXY，且沿Z轴均匀分布。这时，可以将体内各点上沿Z轴方向的三 个应变分量近似地处理为零，而各点上其它的三个应变分量都平行 于OXY面，故而称为平面应变问题．
单元内部的应力已知，由应力推算节点力。有虚功原理： 外力在虚位移上所作的虚功等于应力在虚应变上作的虚应变功。即：
AP A 0
由平衡微分方程得：
反映了单元节点力与节点位移间的关系
δ P K
e e
e
K
e
K
e
----e单元的刚度矩阵
K ii K ij K im K ji K jj K jm K mi K mj K mm
[B]-------应变矩阵，反映了单元内任一点的应变与节点位移间的关系 由于三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则单元的应变分量均为常量， 故这类三角形单元称为常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化， 应变为常量）
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3）弹性方程
由平面问题物理方程得：
ai xi ym xk y j bi y j yk ci xk x j i,j,m轮换
为2A第1行各个元素的 1 u [(ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y )u j (am bm x cm y )um ] 代数余子式， 2A
有限元分析的原理与步骤
一、弹性力学平面问题的类型 1）平面应力问题
如图板的厚度z方向的相对尺寸很小，板边上受有平行于oxy平面并沿z轴均 匀分布的载荷．这时，可以将板内各点上沿z轴方向的应力分量近似地处理为零， 而各点上其它的三个应力分量，都平行于oxy平面， 故称为平面应力问题。 许多机械零件，如某些类型的齿轮、板带精轧 等，可以简化为平面应力问题来处理．
1 v [(ai bi x ci y)vi (a j b j x c j y )v j (am bm x cm y )vm ] 2A
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令
1 Ni (ai bi x ci y ) 2A
u N i 0 v
它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移 时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数， 而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。