第6章 计算机辅助工程分析
学习目标： 了解工程分析在设计/制造中的重要性；学习和理解有限元法的基本概念和步骤；学习
优化设计的概念和常用优化设计方法；学习仿真的概念，了解计算机仿真的一般过程。为 使用计算机辅助工程分析（CAE）软件进行工程分析奠定基础。 学习重点：有限元法。
学习难点：优化设计方法。 学习建议： 复习前序课程学过的力学知识，掌握有限元分析的理论基础； 创造条件，通过练习商品化CAE软件（例如：Ideas）、优化设计以及仿真等功能，进一 步理解相关知识点，掌握几种工程分析方法解决问题的思路和步骤。
按性能要求进行设计和综合评价，以便从多个方案中选择最佳方案。 计算机辅助工程分析通常包括:
有限元法
优化设计
仿真技术
6-1有限元法
有限元法不仅是结构分析中必不可少的工具，而且广泛应用于磁场强度，热传导，非线性 材料的塑性蠕变分析等领域。
有限元方法的基本思想 弹性力学基本知识 简例及基本解法与步骤归纳 有限元的前置处理和后置处理
有限元法的前置处理 用有限元法进行结构分析时,要输入大量的数据，如单元数、单元的几何特性、节点数、
节点编号、节点位置坐标等。故有限元计算程序要进行前置处理。 有限元法的后置处理
当结构经过有限元分析后，会输出大量的数据，如静态受力分析后节点的位移量、固 有频率计算后的振型等。故有限元计算程序要进行后置处理。
外力 作用于物体的外力可分为体力和面力两种。体力是指分布在整个体积内的外力，如重力
和惯性力。面力是指作用于物体表面上的外力，例如流体压力和接触力。
应力 从物体内取出一个边长分别为dx，dy，dz的微分体（如下图）。每个面上的应力可分
为一个正应力和两个剪应力。正应力记为σx,σy,σz。剪应力记为τxy，τyx，τxz，τzx，τyz， τzy，前一个脚标表明τ的作用面所垂直的坐标轴；后一个表明τ的作用方向。根据剪应力互 等定律有τxy=τyx，τxz=τzx，τyz=τzy。
有限元法的基本思想 概念 先把一个原来是连续的物体剖分成有限个单元，且它们相互连接在有限个节点上，承受
等效的节点载荷，并根据平衡条件来进行分析，然后根据变形协调条件把这些单元重新组 合起来，成为一个组合体，再综合求解。由于单元的个数有限，节点的数目也有限，所以 这种方法称为有限元法。
有限元法解决问题的途径 力学分析方法可分为解析法和数值法，前者只能应用于求解简单问题，复杂的结构问题
后置处理任务 将有限元计算分析结果进行加工处理并形象化为变形图、应力等值线图、应力应变彩
色浓淡图、应力应变曲线以及振型图等。
6-2优化设计
优化设计是在计算机广泛应用的基础上发展起来的一项设计技术，以求在给定技术条 件下获得最优设计方案，保证产品具有优良性能。
原则 其原则是寻求最优设计；其手段是计算机和应用软件；其理论依据是数学规划法。
有限元法基本解法与步骤
有限元法基本求解过程
有限元法求解过程示意图
位移法的具体解题步骤
例题之中所用的方法是有限元法中的位移法，该方法以位移作为基本未知量，进而求出
其它相关的未知量。 具体解题步骤如下：
1．单元剖分 把连续弹性体分割成许多个有限大小的单元，并为单元和节点编号。 2．单元特征分析 以节点位移{△}e 为基本未知量，设选一个单元位移函数，之后： （1）用节点位移表示单元位移，{f}=〔N〕{△}e。 （2）通过几何方程用节点位移表示单元应变，{ε}=〔B〕{△}e。 （3）通过物理方程用节点位移表示单元应力，{σ}=〔G〕{△}e。 （4）通过虚功方程用节点位移表示节点力，{F}e=〔K〕e{△}e，得出单元刚度矩阵。 3．总体结构合成 （1）分析整理各单元刚度矩阵，通过节点的平衡方程形成节点载荷列阵、合成总体刚 度矩阵，建立以节点位移为未知量的、以总体刚度矩阵为系数的线性代数方程：〔K〕{△} ={F}。 （2）对线性代数方程组进行边界条件处理，求解节点位移。进而由{σ}=〔G〕{△}e可 求得单元应力。
只能应用数值法求出问题的近似解。 有限元法解决问题是物理模型的近似，而数学上不做近似处理。其概念清晰，通用性与
灵活性兼备，能灵活妥善处理各种复杂情况。 单元类型 采用有限元法对结构进行分析计算时，依据分析对象不同，采用的单元类型也不同。
弹性力学的基本知识(一) 弹性力学中常用物理量 弹性力学基本方程 虚功方程 常用物理量
弹性力学的基本知识(二) 弹性力学中常用物理量 弹性力学基本方程 基本方程
应变和位移的关系（几何方程）
虚功方程
物体受力后变形，其内部任一点的位移与应变的关系如下：
虚功方程 虚功原理
假设一个弹性体在虚位移发生之前处于平衡状态，当弹性体பைடு நூலகம்生约束允许的微小位移并
同时在弹性体内产生虚应变时，体力与面力在虚位移上所作的虚功等于整个弹性体内各点 的应力在虚应变上所作的虚功的总和，即外力虚功等于内力虚功。
计算机辅助工程分析 概述 近三十年来，由于计算机的应用及测试手段的不断完善，机械设计已由静态、线性分析
向动态非线性过渡；由经验类比向最优设计过渡；由人工计算向自动计算，由近似计算向 精确计算过渡。正是在这种情况下，将计算机引入工程分析领域，是机械设计中的一场巨 大变革。
计算机辅助工程分析的关键 是在三维实体建模的基础上，从产品的设计阶段开始，按实际条件进行仿真和结构分析；
微分体的应力状态图 应变
线段的每单位长度的伸缩称为正应变，记为εx，εy，εz。 线段之间夹角的改变量称为剪应变，记为γxy，γxz，γyz。 微分体的应变示意图
位移 在载荷（或温度变化等其它因素作用下），物体内各点之间的距离改变称为位移，它反
映了物体的变形大小。记为u,v,w，分别为X，Y，Z三个方向的位移分量。
虚功方程 若用δu、δv、δw分别表示受力点的虚位移分量；用δεx、δεy、δεx、δγxy、δγyz、
δγzx表示虚应变分量；用A表示面力作用的表面积，根据虚功原理，可得虚功方程：
有限元法的简单引例 例题 设有一只受其自重作用的等截面直杆，上端固定，下端自由。设杆的截面积为A；杆
长为L；单位杆长重力为q， 试用有限无法求直杆各点的位移。 解题思路 解题过程