不 是 它 收 敛 的 _ _ _ _ _ 条 件 。
2 . 部 分 和 数 列 { S n } 有 界 , 是 正 项 级 数 u n 收 敛 的 _ _ _ _ _ 条 件 , n 1
3 . 若 级 数 u n 绝 对 收 敛 , 则 级 数 u n 必 定 _ _ _ _ _ ;
若两个正项级数
u n和
v n 满足 lim u n
a,
n1
n1
v n n
(i) 0a时, u n 和 v n 都收敛或都发散;
n1
n1
(ii) a=0 时, 若 v n 收敛, 则 u n 也收敛;
n1
n1
(iii) a时, 若 v n 发散, 则 u n 也发散.
n1
n1
例 5 判定下列级数的收敛性
定义 每项都是非负数 un 0 的级数 u n 称为正项级数. n1
1) 比较判别法
若两个正项级数 u n 和 v n 从某一项开始满足
n1
n1
条件: uncvn,c0,
则: (1) 当级数 v n 收敛时, u n 也收敛;
n1
n1
(2) 当级数 u n 发散时, v n 也发散;
n1
n 3
;
6
n
n1 n3 3
注: 若un含 n!, nn , an, 通常用比值判别法; 若un为n的有理分式, 无理分式时, 通常用比较法.
3. 了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用 莱布尼茨判别法。 (1) 交错级数 定义 各项正负项相间的级数 (un>0)
1n 1u n u 1 u 2 u 3 u 4 1n 1u n
1
1
;
n1 n n 1
3
n1
ln
1 n
1
;
5
n1
ln
1
1 n
;
2
1
;
n1 3n2 n
4
2 nsin ;
n1
n
6
n1
1
cos
2 n
;
2) 比值判别法 (极限形式)
设 u n 为正项级数, 若
n1
lim
n
un1 un
q
,
则:
(i) 当 q<1 时, 级数 u n 收敛; n1
(ii) 当 q>1 或 时, 级数 u n 发散; n1
(iii) 当 q=1 时, 不能判别级数 u n 的收敛性. n1
例 6 判定下列级数的收敛性
1
n4 ;
n1 n !
3 n1 n tan 2n1 ;
5
n1n1 3n3;2n1n
3 4
n
;
4
n1
n
cos2 2n
1 n1
1
n1
np
3 1nlnn1
n1
n
2n1
sin
2
2
n0
n1
4
cosn
n1
n2
3
1 n2
结论:
1n1 np
n1
绝对收敛, 当p>1时; ： 条件收敛, 当0<p1时;
发散, 当p0时.
结论:
1n1 np
n1
绝对收敛, 当p>1时; ： 条件收敛, 当0<p1时;
定义
若 u n 收敛, 则 u n 收敛, 且称 u n 为绝对收敛;
n1
n1
n1
若 u n 发散, 但 u n 收敛, 则称 u n 为条件收敛.
n1
n1
n1
例: 判别下列级数的收敛性
n1
1n1
1 ;
n n1
1n1n12.
例 7 判别下列级数是否收敛, 如果收敛, 是绝对收敛还是 条件收敛?
n1
结论: 讨论 p 级数
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p=1 时,
称
n1
1 n
为调和级数, 是发散的.
(2) 当 p<1 时,
1 np
n1
发散.
(3) 当 p>1 时,
1 np
n1
收敛.
例: 判定正项级数
1
和
1 的收敛性.
n1 4n3 3
n1 3n2 n
1) 比较判别法 (极限形式)
n 1
称为交错级数.
莱布尼兹定理
若一个交错级数
1 n1un un
0,
满足如下条件:
n1
(1) 从某项开始 un1 un, 即数列{un}从某项开始单调递减;
(2)
lim
n
un
0;
则交错级数 1n1 un 收敛. n1
例:
级数 1n1 1
n1
n
和
n1
1n1
lnn11.
(2) 绝对收敛与条件收敛
4第四讲无穷级数
(1) 数项级数的概念
定义2 若级数第n部分和序列S1, S2, …, Sn, …的极
限存在,
即
lim
n
Sn
S,
则称级数
n
1
u
n
收敛.
且S称为此级数的和. 记作 S u n n1
若
lim
n
Sn
不存在,
则称此级数发散.
例
1 判别级数
ln
n1
n
n
1
的收敛性.
1 n 1
例 2 判断级数
n1
2 n1
的收敛性.
例 3 判断级数 3 n 的收敛性. n1
结论:
讨论等比 (几何) 级数 (公比为 q)
aqn1aaqaq2 aqn1
n1
的收敛性.
(1) 当 q
1
时,
级数收敛,
且
aqn1
n1
a .
1q
(2) 当 q 1 时, 级数发散.
例 4
判断级数
n1
(2) 级数的基本性质
1) 若 u n 和 v n 都收敛, 则对任意常数 k, l,
n1
n1
kun lvn 也收敛.
n1
2) 若 u n 发散, 而 v n 收敛, 则对任意非零常数 k, l,
n1
n1
kun lvn 发散.
n1
例: 判断级数 3ln23ln33ln4 23
和
2 1n
发散, 当p0时.
练 (2007年高数二)
对于幂级数 1n n1
1 np
,
下列说法正确的是(
)
(A) 当p<1时, 发散
(B) 当p<1时, 条件收敛
(C) 当p>1时, 条件收敛 (D) 当p>1时, 绝对收敛
题型一：数项级数性质、敛散性判定.
1 . 对 于 级 数 n 1 u n ,l n i m u n 0 是 它 收 敛 的 _ _ _ _ _ 条 件 ,
n1
2n
的收敛性.
(3) 级数收敛的必要条件
若
u
n
收敛,
则
lim
n
un
0;
n1
若
lim
n
un
0
,
则
n
1
u
n
一定发散.
问:
若
lim
n
un
0,
则 un
n1
收敛吗?
例: 级数
1 调和级数,
n1
ln
.
n1 n
n1
n
例:
级数
n ;
n1100n
n 112n1n.
2. 掌握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比 较判别法。
1 n
的收敛性.
调和级数 1 n1 n
发散.
(2) 级数的基本性质
1) 若 u n 和 v n 都收敛, 则对任意常数 k, l,
n1
n1
kun lvn 也收敛.
n1
2) 若 u n 发散, 而 v n 收敛, 则对任意非零常数 k, l,
n1
n1
kun lvn 发散.
n1
3) 一个级数添加或去掉有限项, 不改变其收敛性.