aN N a
这个不变子群
C
叫做 G 的中心．
例３ 一个交换群 G 的每一个子群 H 都是不变子群．因
为 G 的每一个元 a 可以和任意一元 x 交换，xa a x ， 所以对于一个子群 H 来说，
H a aH
例４ G S ．那么
3
，(1 2 3) ，(1 3 2 )} 是一个不变子群．
我们看一个群 G 的一个不变子群 N 的所有 陪集作成一个集合
G / N { a N , b N , cN } { a N a G }
(1) (2) (3)
相对 G / N :是一个元素, 个子集.
aN
aN
G
aN
相对 G :是一
有不同的表示方式.
xN
的子集的乘积,计算两个陪集 成绩 ( xN )( yN ) ( xy ) N
，A ( B C ) ( A B ) ( A C )
(A
1
B
1
A ,
1
)
1
A
由于结合律成立, 来表示．
S1S 2 S m
S S 1 ，S 2，…， m
的乘积用符号
定理１ 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是：
aN a
1
N
对于 G 的任意一个元 a 都对．
10.2 例子
例１ 一个任意群 G 的子群 G 和 e 总是不变子群，因 为对于任意 G 的元 a 来说，
G a aG G
ea a e a
例２ C 刚好包含群 G 的所有有以下性质的元 不管 a 是 G 的哪一个元 证明: C 是 G 的一个不变子群．
n
n ，a a n ，
证明:
N
注9. a
na N
等价于‥‥‥？？
小结:
群 G 的一个子群 N , 1. a N N a 2. a N a N 3. a n a N 4. a N a N
1
1
aG
n ， N .下面条件等价:
1
注意: 不变子群不具有传递性.
10.4 商群
不变子群所以重要，是因为这种子群的陪 集，对于某种与原来的群有密切关系的代数 运算来说，也作成一个群．
证明 注5. …………证完
aN a
1
N
可以换成
a
1
Na N
?
定理２ 一个群 G 的一个子群 N 是一个不变子 群的充分而且必要条件是： n a G ， N ana N
1
证明 这个条件的必要性是显然的，是定理１ 的直接结果．我们证明它也是充分的． 条件 a n a
1
1
§10.不变子群、商群
• • • • 10.1 定义 10.2 例子 10.3 等价条件 10.4 商群
10.1 定义
这一节里要讲到一种重要的子群，就是不变子群．
给了一个群 G ，一个子群 H ，那么 H 的一个右陪 集 H a 未必等于 H 的左陪集 a H ，这一点我们在上一节 的例２里已经看到．
定义 一个群 G 的一个子群 N 叫做一个不变子 群,假如对于 G 的每一个元 a 来说,都有
aN N a
注1. 一个不变子群 N 的一个左(或右)陪集叫做 N 的一个陪集. 注2. a N N a 意味着: a n n a 吗? 反过来呢? 注3. a N N a 在元素间意味着什么? 注4. 不变子群又称为正规子群
和 yN 的
定理３ 一个不变子群的陪集对于上边 规定的乘法来说作成一个群．
证明
我们证明群定义的条件Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ，Ⅴ 能被满足． Ⅰ．显然． Ⅱ． ( xN yN ) zN
[( xy ) N ] zN ( xyz ) N
x N ( y N zN ) x N [( y z ) N ] ( x y z ) N
N
意味着
1
aN a
N
（＊）
1
因为 a 也是 …………证完
G
的元，在（＊）中以 a
代a ,
注6. 要测验一个子群是不是不变子群，用 定理２的条件一般比较方便． 注7. 用定理２的条件可以改写成 a G ， N a na N n
1
注8.
ana
1
1
N
等价于 a N a
1
(1)
C
是子群.因为 e N ，所以 N 是非空的．
n1 a a n 1
又
，n
2
a a n 2 n1 n 2 a a n1 n 2
1 1
nan nan
1
1
an
1
这就是说，N 是一个子群． (2) . G 的每一个元 a 可以同 N 的每一个元 n 交换，所以 N a a N，即 N 是不变子群．
Ⅳ． e N 是单位元,因为
eN xN ( ex ) N xN
Ⅴ
xN
有逆元 x
x
1
1
N
,因为
1
N xN ( x
x ) N eN
证完
定义 一个群 G 的一个不变子群 N 的陪集所 作成的群叫做一个商群．这个群我们用符号 G N 来表示． 因为 N 的指数就是 N 的陪集的个数，我们显 然有，商群 G N 的元的个数等于 N 的指数．当 G 是有限群的时候，
G的 阶 N的 阶 G N 的阶
从商群的角度重新认识剩余类加群 Z n
第一，回忆剩余类加群。
第二，重新认识 Z n 。设
G Z (整 数 加 群 )
N ( n ) { kn k Z } (由 n 生 成 的 循 环 群 )
• 作业: • P74: 2,3,4
N { (1)
注5. 从这个例子可以总结出一般性结论吗?
10.3 等价条件
现在复习一下群 G 的子集的乘积: 设A，B是群 G 的两个非空子集,规定
A B {a b a A , b B }
，
A
1
{a
1
a A}
容易证明:
( A B )C A ( B C )
( AB)
1