)是群 (1)“∘”满足结合律； (2)G关于“∘”有一个单位元e；
G关于乘 法“∘”封
闭
(3) 对于G的每个元素，关于“∘”有一个逆元.
(I)“∘”满足结合律； (II)G关于“∘”有一个左单位元e； (III) 对于G的每个元素，关于“∘”有一个左逆元.
证明二者等价：
性质1 设(G,∘)为群，则a∈G，a的左逆元也是a的
8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，
则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。 13/30
近世 代数
群的实例
例1 (Z, +)、(R, +)、(Zn, )、 (P(A), )是群. n阶(n≥2)实可逆矩阵集合Mn关于矩阵乘法构成群.
例2 设G={ e, a, b, c }，G上的运算由下表给出，称 为Klein四元群.
运算，称为乘法。如果下列两个条件成立，则称
G关于乘法“∘”作成一个群. I 乘法“∘”满足结合律，即a, b, c∈G (a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)； IV a, b∈G，方程a ∘ x=b和y ∘ a=b在G中有解.
7/30
近世 代数
群的三个等价定义
代数系统(G,∘)是群 (1)“∘”满足结合律； (2)G关于“∘”有一个单位元e；
右逆元. 性质2 设(G,∘)为群，则G的左单位元e也是右单位元9/3.0
近世 代数
群的性质
讨论定义3中解的惟一性：
性质3 设(G,∘)为群，则a, b∈G，方程a ∘ x=b和 y ∘ a=b在G中的解惟一.
性质4 群(G,∘)中的乘法满足消去律，即a,b,c∈G 有 (1) 若 a ∘ b = a ∘ c，则 b = c.(左消去律) (2) 若 b ∘ a = c ∘ a，则 b = c.(右消去律)
eabc
e eabc a aecb b bcea c cbae
特征：
1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运 算结果都等于剩下的第三个 元素
近世 代数
群论
主要内容:
群的定义与性质 有限群、子群 变换群 置换群 循环群 子群的陪集、正规子群与商群 群的同态基本定理
1/30
近世 代数
第3节 群的定义与性质
主要内容:
群的定义 群的基本性质 群的实例 群中的术语
2/30
近世 代数
群的三个等价定义
定义0 (1) 设(S, ∘)是一个代数系统，如果运算∘满足结合 律，则称(S, ∘)为一个半群. (2) 设(S, ∘)是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元， 则称(S, ∘)是一个幺半群，也叫做独异点.
3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，
元素0称为V的零元.
4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为
α的负元素，记为-α.
5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).
6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
G关于乘法“∘”作成一个群.
I G关于乘法“∘”封闭，即a,b∈G，a ∘ b∈G；
II 乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G
(a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)；
III G关于乘法“∘”有一个左单位元e，即
a∈G ，存在元e∈G，使得e ∘ a=a；
IV 对于G的每个元素，关于乘法“∘”有一个左
有时也将独异点(S, ∘) 记作 (S,∘,e).
定义1 设(G,∘,e)是幺半群，若G中的每个元素都有逆 元，则称(G,∘,e)是群. 记作(G,∘)，有时简记为 G.
3/30
近世 代数
群的三个等价定义
定义2 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代数
运算，称为乘法。如果下列四个条件成立，则称
G关于乘 法“∘”封
闭
(3) 对于G的每个元素，关于“∘”有一个逆元.
(I)“∘”满足结合律； (II)G关于“∘”有一个左单位元e； (III) 对于G的每个元素，关于“∘”有一个左逆元.
(I)“∘”满足结合律； (IV)a, b∈G，方程a ∘ x=b和y ∘ a=b在G中有解.
8/30
近世 代数
I G关于乘法“∘”封闭，即a, b∈G，a ∘ b∈G； II 乘法“∘”满足结合律，即a, b, c∈G
(a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)； V a, b∈G，方程a ∘ x=b和y ∘ a=b在G中有解.
6/30
近世 代数
群的三个等价定义
定义3’ 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代 数
10/30
近世 代数
群的性质
讨论群中特异元素的性质：
性质5 设(G,∘)为群，则 (1) a∈G，(a1)1=a； (2) a, b∈G，(a ∘ b)1=b1 ∘ a1.
思考： 一般群G中零元问题：是否存在？为什么？
11/30
近世 代数
线性空间的定义
设V是一个非空集合，P是一个域。若：
1. 在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意 两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一 个元素α+β，称为α与β的和。
II G关于乘法“∘”有一个左单位元e，即
a∈G ，存在元e∈G，使得e ∘ a=a；
III 对于G的每个元素，关于乘法“∘”有一个左
逆元，即a∈G ，存在元b∈G，使得b ∘ a=e，其中
e是II中的左单位元.
5/30
近世 代数
群的三个等价定义
定义3 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代数 运算，称为乘法。如果下列三个条件成立，则称 G关于乘法“∘”作成一个群.
2. 在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法 (亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素 k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα， 称为k与α的积。
12/30
近世 代数
线性空间的定义
3. 加法与纯量乘法满足以下条件：
1) α+β=β+α，对任意α，β∈V.
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.
逆元，即a∈G ，存在元b∈G，使得b ∘ a=e，其中
e是III中的左单位元.
4/30
近世 代数
群的三个等价定义
定义2’ 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代 数
运算，称为乘法。如果下列三个条件成立，则称
G关于乘法“∘”作成一个群.
I 乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G
(a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)；