黑龙江省牡丹江市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理一、选择题（每题5分）1、若点M 到两定点F 1（0，-1），F 2（0，1）的距离之和为2，则点M 的轨迹是（ ）A .椭圆B .直线21F FC .线段21F FD .线段21F F 的中垂线.2、以下四组向量中，互相平行的有（ ）组．（1）()1,2,1a = ， ()1,2,3b =- ．（2）()8,4,6a =- ， ()4,2,3b =- ． （3）()0,1,1a =- ， ()0,3,3b =- ．（4）()3,2,0a =- ， ()4,3,3b =- ．A. 一B. 二C. 三D. 四3、直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠BCA ，M,N 分别是1111,C A B A 的中点，BC=CA=1CC ， 则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A101 B 1030 C 52 D 224、若()()7,4,3,0,1,2-=-=b a 且()a b a ⊥+λ，则λ的值是（ ）A. 0B. 1C. -2D. 2 5、“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6、下列极坐标方程表示圆的是（ ）． A. π2θ=B. sin 1ρθ=C. ()sin cos 1ρθθ+=D. 1ρ=72，则双曲线C 的渐近线方程为A ．y x =±B ．3y x =±C ．y =D ．2y x =±8、已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．2 C9、已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ∙<，则0y 的取值范围是( )A （-3，3 B （-6，6） C （3-，3） D （）10、抛物线x y 42=的焦点到双曲线1322=-y x 的渐近线的距离为（ ） A21 B 23 C 1 D 3 11、已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ,P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4=，则|QF|=（ ）12、已知F 1,F 2是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且122F PF π∠=记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( )A ．2-B ．3C ．4-1- 二、填空题（每题5分）13、抛物线x y 42=的准线方程为___________．14、已知点1F 为椭圆15922=+y x 的左焦点，点)1,1(A ，动点P 在椭圆上，则||||1PF PA +的最小值为15、过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为16、已知双曲线的方程为()012222>>=-a b b y a x，O 是坐标原点，2=e 。

点M ()3,5在双曲线上。

直线l 与双曲线交于P,Q 两点，且满足0=∙OQ OP ,则的最小值是________________________三、解答题（10+12+12+12+12+12） 17、在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求MNC 2∆的面积.18、椭圆13422=+y x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过点F 1与椭圆交于A ，B 两点．（1）求△ABF 2的周长； （2）若l 的倾斜角为4π，求弦长|AB|． 19、如图，已知点P 在正方体ABCD -A B C D ''''的对角线BD '上，60PDA ∠=︒.（Ⅰ）求DP 与CC '所成角的大小；（Ⅱ）求DP 与平面AA D D ''所成角的大小.20、如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形， PA⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、PC 的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD ；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF 上是否存在点Q ，使得二面角 Q ﹣AP ﹣D 的余弦值为错误！未找到引用源。

？若存在，确定点 Q 的位置；若不存在，请说明理由．21、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其离心率e =椭圆上的点到两个焦点的距离之和为()1求椭圆C 的方程；()2过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B , O 为坐标原点，若AOB ∠为锐角，求直线l 斜率k 的取值范围.22、已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ， 证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆， 必与直线GB 相切．17、答案：（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）218、【答案】（1）8（2）247 试题解析：（1）椭圆22143x y +=，a=2，c=1， 由椭圆的定义，得丨AF 1丨+丨AF 2丨=2a=4，丨BF 1丨+丨BF 2丨=2a=4， 又丨AF 1丨+丨BF 1丨=丨AB 丨，∴△ABF 2的周长为121248AF AF BF BF a +++== ∴故△ABF 2点周长为8；（2）由（1）可知，得F 1（﹣1，0）， ∵AB 的倾斜角为4π，则AB 斜率为1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），故直线AB 的方程为y=x+1.221{ 143y x x y =++= ，整理得：7y 2﹣6y ﹣9=0， 由韦达定理可知：y 1+y 2=67，y 1•y 2=﹣97， 则由弦长公式丨AB 丨247==， 弦长|AB|=247． 19、.解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -．则(100)DA = ，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ．设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知由︒=>=<60||||,cos DA DH，可得2m2m =所以1DH ⎫=⎪⎪⎝⎭．（Ⅰ）因为0011cos DH CC ++⨯'<>== ， 所以45DH CC '<>=，．即DP 与CC '所成的角为45 ． （Ⅱ）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos 2DH DC ++⨯<>== ，， 所以60DH DC <>= ，． 可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30．20、A 'B 'C 'D'（Ⅱ）结论：满足条件的Q 存在，是EF 中点．理由如下： 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则)1,21,21(),0,21,0(),0,1,1(),0,1,0(),2,0,0(F E C B P ， 由题易知平面PAD 的法向量为(0,1,0)n = ，假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ=，1(,0,1)2EF = ，∴1(,,)22Q λλ=，1(,,)22AQ λλ= ，]1,0[∈λ，设平面PAQ 的法向量为(,,)n x y z = ，由10220x y z z λλ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，可得(1,,0)n λ=- ，∴cos ,||||m n m n m n ⋅<>==5=，解得：12λ=， 所以满足条件的Q 存在，是EF 中点．21、()1 2213x y += ()2设直线l 的方程为2y kx =+， ()()1122,,,A x y B x y联立222{ 13y kx x y =++=，得()22311290,k x kx +++=则121222129,,3131k x x x x k k +=-=++ 2=36360k ∆->，解得21k > ()()1122,,,OA x y OB x y ==()()()212121212222124912=12403131OA OB x x y y k x x k x x k k k k k ∴⋅=+=++++⎛⎫+⋅+-+> ⎪++⎝⎭解得213.3k < 21313k ∴<<，即1.k ⎛⎫⎛∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭22、【解析】（I ）由抛物线的定义得F 22pA =+． 因为F 3A =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （II ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(2,A ．由(2,A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=， 解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，所以G k A ==G k B ==， 所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．。