湖南省邵阳市邵东县第一中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}14A x x =-<<，集合{}5B x x =<，则（ ）A ．AB ∈ B ．A B ⊆C ．B A ∈D ．B A ⊆ 2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3M =，{}3,4,5N =，则()()U U M N ⋂=（ ） A ．{}2,3,4,5 B ．{}1,2,4,5,6 C ．{}1,2,6 D ．{}6 3．下列命题中，p 是q 的充分条件的是（ ）A ．0:P ab ≠，0:q a ≠B ．220:a P b +≥，0:q a ≥且0b ≥C ．2:1P x >，:1q x >D ．:P a b >，q >4．已知,x y R ∈，则“220x y +=”是“0xy =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．命题:0p x ∀>，总有11x +>，则p ⌝为（ ）A ．0x ∃≤，使得11x +≤B ．0x ∃>，使得11x +≤C ．0x ∀>，总有11x +≤D ．0x ∀≤，总有11x +≤ 6．若01a <<，01b <<，且a b ，则下列代数式中最大的是（ ）A ．22a b +B ．+a bC ．2abD ．7．若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为（ ） A ．(3,0)- B ．[3,0]- C ．(3,0]- D ．[3,0)-8．定义集合运算：{|()(),A B z z x y x y ⊗==+⨯-,}x A y B ∈∈，设A =，{B =，则集合A B ⊗的真子集个数为（ ）A ．8B ．7C ．16D ．15二、多选题9．（多选）下面四个说法中错误的是（ ）A ．10以内的质数组成的集合是{}2,3,5,7B ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,1,2C ．方程2210x x -+=的所有解组成的集合是{}11，D ．0与{}0表示同一个集合10．（多选）设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的为（）A ．AB A ⋃=B ．()U A B =∅C ．()()U U A B ⊆D ．()U A B U =11．已知a Z ∈，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．912．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．228a b +≥B ．114ab ≥C 2≥D ．111a b +≤三、填空题13．已知0x >，则函数423y x x=--的最大值是__________． 14．若不等式()()120mx x -->的解集为12xx m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则m 的取值范围是________. 15．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是________．16．设正实数满足,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当z xy取最小值时，2x y z +-的最大值为 ．四、解答题17．已知{}2320A x x x =-+=，(){}222150B x x a x a =+-+-=. （1）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.18．已知:p x R ∃∈，使2420mx x -+=为假命题．（1）求实数m 的取值集合B ；（2）设{}32A x a x a =<<+为非空集合，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．已知2210ax ax ++≥恒成立，解关于x 的不等式220x x a a --+<.20．已知0x > ， 0y > ，280x y xy +-= .（1）求xy 的最小值；（2）求x y + 的最小值.21．某厂家拟在2004年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（()0m ≥满足31x k m =-+）（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2004年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；（2）该厂家2004年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22．已知一元二次函数()2f x ax bx c =++. （1）若()0f x >的解集为{}34x x -<<，解关于x 的不等式()2230bx ax c b +-+<； （2）若对任意x ∈R ，不等式()2f x ax b ≥+恒成立，求222b ac +的最大值.参考答案1．B【分析】根据集合的包含关系定义直接得答案.【详解】 解：集合{}14A x x =-<<，集合{}5B x x =<，则A B ⊆.故选：B【点睛】本题考查集合的包含关系，注意属于是表示元素与集合之间的关系，是基础题.2．D【分析】由集合的补集运算可得{}4,5,6U M =，{}1,2,6U N =，再由交集运算即可得解. 【详解】因为集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3M =，{}3,4,5N =，所以{}4,5,6U M =，{}1,2,6U N =， 所以()(){}6UU M N ⋂=. 故选：D.【点睛】本题考查了集合的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.3．A【分析】利用充分性的概念逐一判断即可.【详解】解：A ：0000a ab a b ≠⎧≠⇔⇒≠⎨≠⎩，故p 是q 的充分条件； B ：220a R a b b R∈⎧+≥⇔⇒⎨∈⎩0a ≥且0b ≥，故p 不是q 的充分条件；C ：211x x >⇔>或11x x <-⇒>，故p 不是q 的充分条件；D ：当a b >时，若0b a <<，则不能推出:q >p 不是q 的充分条件.故选：A.【点睛】本题考查充分性的判断，是基础题.4．A【分析】根据两个条件之间的推出关系可判断两者之间条件关系.【详解】若220x y +=，则0x y ==，则0xy =， 若0xy =，取0,1x y ==，此时2210x y +=≠，故“220x y +=”是“0xy =”的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本题考查充分不必要条件，此类问题可通过两者之间的推出关系来判断之间的条件关系，本题属于基础题．5．B【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得出答案.【详解】解：命题:0p x ∀>，总有11x +>，则p ⌝为0x ∃>，使得11x +≤.故选：B【点睛】本题考查全称命题的否定，是基础题.6．B【分析】利用基本不等式和差比较法，确定代数式中最大的选项.【详解】由01a <<，01b <<，且a b知222,a b ab a b +>+>所以最大值为A 、B 中的一个. ()()()222211a b a b a a b b a a b b +-+=-+-=-+-，由于10,1001,01,b a b a <<<<-<-<，所以()()110a a b b -+-<，所以22a b a b +<+，所以+a b 为四个代数式中最大的.故选：B【点睛】本小题主要考查基本不等式和差比较法比较大小，属于基础题.7．A【分析】由一元二次不等式，可知0k ≠，所以00k <⎧⎨∆<⎩，得到k 的范围. 【详解】 因为一元二次不等式23208kx kx +-<，对一切实数x 都成立， 所以00k <⎧⎨∆<⎩，即2034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得030k k <⎧⎨-<<⎩ 所以k 的取值范围为30k -<<故选A 项.【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.8．B【解析】由题意A =，{B =，则A B ⊗有)))111,0,112,⨯=⨯==1= 四种结果，由集合中元素的互异性，则集合A B ⊗由3个元素，故集合A B ⊗的真子集个数为3217-=个，故选B9．CD【分析】根据集合中元素的特性以及集合与元素的区别逐项判断.【详解】10以内的质数组成的集合是{}2,3,5,7，故A 正确；由集合中元素的无序性知{}1,2,3和{}3,1,2表示同一集合，故B 正确；方程2210x x -+=的所有解组成的集合是{}1，故C 错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D 错误.故选CD.【点睛】本题考查集合中元素的特性以及元素与集合的区别，难度较易.集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.10．ABCD【分析】根据venn 图，可直接得出结果.【详解】由venn 图可知，ABCD 都是充要条件．故选ABCD【点睛】本题主要考查充要条件，熟记充要条件的概念，以及集合的图示法即可，属于常考题型. 11．ABC【分析】首先设26y x x a =-+，根据题意得到2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩a a ，再解不等式组即可得到答案. 【详解】设26y x x a =-+，其图像为开口向上，对称轴是3x =的抛物线，如图所示.若关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为3x =，则2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩a a 解得58a <≤，.又a Z ∈，故a 可以为6，7，8.故选：ABC【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 12．AB【分析】应用基本不等式进行检验．【详解】222()82a b a b ++≥=，当且仅当2a b ==时取等号，A正确；4a b +=≥4ab ≤，114ab ≥，当且仅当2a b ==时取等号，B 正确，C 错误，1141a b a b ab ab++==≥，D 错误． 故选AB ．【点睛】本题考查基本不等式，注意基本不等式的形式：2a b +≥． 13．2-【分析】由函数423(0)y x x x =-->变形为42(3)y x x=-+，再由基本不等式求得43t x x =+≥42(3)2y x x=-+≤-，即可得到答案. 【详解】 ∵函数423(0)y x x x =--> ∴42(3)y x x =-+由基本不等式得43t x x =+≥43x x =，即3x =时取等号. ∴函数423(0)y x x x =-->的最大值是2-故答案为2-.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．{}0m m <【分析】 由一元二次不等式的解法可得012m m<⎧⎪⎨<⎪⎩，即可得解. 【详解】因为不等式()()120mx x -->的解集为12x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 所以012m m<⎧⎪⎨<⎪⎩，所以0m <， 所以m 的取值范围是{}0m m <.故答案为：{}0m m <.【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解求参数，考查了运算求解能力，属于基础题.15．(0,1)【分析】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可.【详解】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可，实数m 满足不等式组()()1010f f ⎧-<⎪⎨<⎪⎩解得0<m<1. 故答案为(0,1)【点睛】这个题目考查了二次函数根的分布的问题，结合二次函数的图像的性质即可得到结果,题型较为基础.16．2【解析】试题分析：上式变形为2234z x xy y =-+，得22344331z x xy y x y xy xy y x -+==+-≥=，当且仅当2x y =时取等号．2222222[(2)64]24x y z y y y y y y y +-=+--+=-+，当1y =时取得最大值为2．考点：基本不等式、函数的最值17．（1）5a =-或1a =；（2）{}3a a >.【分析】（1）由交集的结果可得2B ∈，进而可得5a =-或1a =，代入验证即可得解； （2）转化条件为B A ⊆，按照B =∅、B 为单元素集及{}1,2B =讨论，即可得解.【详解】（1）由题意{}{}23201,2A x x x =-+==，{}2A B =，2B ∴∈，()244150a a +-+-=∴，解得5a =-或1a =，当5a =-时，{}{}2122002,10B x x x =-+==，{}2A B ⋂=，符合题意； 当1a =时，{}{}2402,2B x x =-==-，{}2A B ⋂=，符合题意； 5a ∴=-或1a =.（2）由A B A ⋃=可得B A ⊆，①当B =∅时，()()2241452480a a a ∆=---=-<，解得3a >； ②当B 为单元素集时，2480a ∆=-=，解得3a =， 所以{}{}24402B x x x =++==-，不合题意； ③当{}1,2B =时，可得()201221125a a ∆>⎧⎪+=--⎨⎪⨯=-⎩，无解，不合题意；∴实数a 的取值范围为{}3a a >.【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于基础题. 18．（1）{}2B m m =>；（2）213aa ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ 【分析】（1）根据一元二次方程根的个数进行转化求解即可．（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．【详解】（1）p 等价于2420mx x -+=无实根，当0m =时，012x =，有实根，不合题意； 当0m ≠时，由已知得16420m ∆=-⨯<，2m ∴>.{}2B m m ∴=>.（2）{}23A x a x a =+>>为非空集合，故23a a +>，1a ∴<若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则A B ≠⊂成立，32a ∴≥， 此时213a ≤<时，故a 的取值范围为213a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系进行转化是解决本题的关键． 19．当102a ≤<时，原不等式的解集为{}1x a x a <<-；当12a =时，原不等式的解集为∅；当112a <≤时，原不等式的解集为{}x a x a -<<. 【分析】先根据恒成立分析出a 的范围，然后根据a 的范围分类讨论求解不等式解集.【详解】当0a =时，10≥，不等式恒成立；当0a ≠时，则20,440,a a a >⎧⎨∆=-≤⎩解得01a <≤. 综上，01a ≤≤.由220x x a a --+<得，()()10x a x a ---<⎡⎤⎣⎦.01a ≤≤，∴①当1a a ->，即102a ≤<时，1a x a <<-； ②当1a a -=，即12a =时，2102x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，不等式无解； ③当1a a -<，即112a <≤时，1a x a -<<. 综上，当102a ≤<时，原不等式的解集为{}1x a x a <<-；当12a =时，原不等式的解集为∅；当112a <≤时，原不等式的解集为{}x a x a -<<. 【点睛】本题考查根据分类讨论的方法求解不等式解集，难度一般.对于所解不等式中含有字母的情况，首先要思考是否需要对字母分类讨论，然后再考虑求不等式解集.20．(1) 64 ,(2) x+y 的最小值为18.【解析】试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；（2）由28x y xy +=，变形得821x y+=，利用“乘1法”和基本不等式即可得出． 试题解析：(1)由280x y xy +-= ，得821x y += ,又0x > ，0y >，故821x y =+≥=故64xy ≥，当且仅当821,82x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即164x y =⎧⎨=⎩时等号成立，∴()min 64xy = (2)由2280x y xy +-=,得821x y +=,则()82x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭28=101018x y y x ++≥+=.当且仅当821,28x y x y yx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即126x y =⎧⎨=⎩时等号成立.∴()min 18x y +=【点睛】本题考查了基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．21．（1）16[(1)]29(0)1y m m m =-+++≥+；（2）21万元. 【分析】（1）由0m =时，1x =，解得2k =，得到每件产品的销售价格为8161.5x x +⨯元，进而列出函数的解析式；（2）由0m ≥时，结合基本不等式，求得16(1)81m m ++≥+，即可求解. 【详解】（1）由题意，当0m =时，1x =（万件），可得13k =-，解得2k =， 所以231x m =-+，每件产品的销售价格为8161.5x x+⨯元，∴2004年的利润()8161.581648x y x x m x m x +⎡⎤=⋅⨯-++=+-⎢⎥⎣⎦ 21648(3)[(1)]29,(0)11m m m m m =+--=-+++≥++. （2）因为0m ≥时，16(1)81m m ++≥=+，所以82921y ≤-+=， 当且仅当1611m m =++时，即3m =（万元）时，max 21y =（万元）. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中正确理解题意，列出函数关系式，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.22．(1) ()3,5x ∈-(2) 2-【解析】分析：(1)先根据一元二次不等式解集与对应方程根的关系，求得(),120b a c a a =-=-<，代入并解一元二次不等式得结果，（2）根据二次函数图像得0∆≤，即得()204b a c a ≤≤-，因此()222224a c a b a c a c-≤++，再令1c t a =-化为对勾函数，利用基本不等式求最值. 详解：（1）∵20ax bx c ++>的解集为{}34x x -<<∴0a <，34b b -+=-，()34c a -⨯= ∴(),120b a c a a =-=-<.故()222302150(0)bx ax c b ax ax a +-+<⇔-++<<从而22150x x --<，解得()3,5x ∈-.（2）∵()()2220f x ax b ax b a x c b ≥+⇔+-+-≥恒成立， ∴()()()()22224004400b a a c b a b a ac a ∆=---≤>⇔+-≤>， ∴()204b a c a ≤≤-∴()2222224141c a c a b a a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令1c t a =-，∵()240a c a b -≥≥ ∴1c c a a≥⇒≥，从而0t ≥， ∴()22222442211b t t a c t t t ≤=+++++，令()()24022t g t t t t =≥++.①当0t =时，()00g =；②当0t >时，()4222g t t t=≤=++ ， ∴222b a c+的最大值为2. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.。