第二章 光纤光学的基本方程
麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程 程函方程与射线方程 波导场方程 模式及其基本性质
波动光学理论
❖ 用几何光学方法虽然可简单直观地得到光线在光 纤中传输的物理图象，但由于忽略了光的波动性 质，不能了解光场在纤芯、包层中的结构分布及 其它许多特性。
❖ 采用波动光学的方法，把光作为电磁波来处理， 研究电磁波在光纤中的传输规律，可得到光纤中 的传播模式、场结构、传输常数及截止条件。
▪ 在均匀介质中，光波传输方向不变； ▪ 在非均匀介质中，光波传输方向随折射率变； ▪ 若已知折射率分布，则可求出程函方程，从而根据等
相面确定光线轨迹。
2、射线方程
r ：光线传播路径S上某点的矢径
dr/ds:传播路径切线方向上单位矢量,
根据相位梯度的定义，矢量dr/ds方向与相位梯度方向
一致，大小等于： dr ds
2．电磁波的波动现象
❖ 电场和磁场之间就这样互相激发，互相支持。 ❖ 光在光导纤维中的传播，正是电磁波的一种
传播现象。 ❖ 在光纤中传播的电磁场满足边界条件：磁场
与谐时变场的波动方程—— 亥姆霍兹方程
➢ 分离电磁矢量得到只与E或H有关的矢量波动方程
➢ 利用光纤介电常数变化极为缓慢的条件简化方程 为标量波动方程
2.1 麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程
1．电磁场的基本方程式 2．电磁波的波动现象 3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹方程
1．电磁场的基本方程式
❖ 麦克斯韦方程式的微分形式
H
D t
J
•时变磁场可以产生时变电场
E B t
B 0
•时变电场可以产生时变磁场 •磁场是无源的
D
•电场是有源的
光纤中不存在电流和自由电荷，则有：
❖ 其中k＝k0n为折射率为n的介质中的传播常数 （也叫波数）。k0为真空中的波数。
❖ 亥姆霍兹方程+边界条件可求出波导中光波场的 场分布。
❖ 用波动理论研究光纤中的电磁波行为，通常有两 种解法：
▪ 矢量解法
▪ 标量解法。
❖ 矢量解法是一种严格的传统解法，求满足边界条 件的波动方程的解。
❖ 标量解法是将光纤中传输的电磁波近似看成是与 光纤轴线平行的，在此基础上推导出光纤中的场 方程、特征方程并在此基础上分析标量模的特性。
例2：光线在折射率具有球对称分布媒质中的传播
n(r)
S
r
S r 2
n(r)
n(r)2
n(r)
n(r)
故对
S
求导式为： d ds
n(r)
dr ds
n(r) （2.4)
切线方向上的单位 光程沿路径变化率
射线方程
折射率梯度
射线方程是矢量方程，表示光线向折射率大的方向弯曲。 一旦给出折射率分布n(r)，就可求出光线轨迹r的表达式。
例1：光线在均匀媒质中的传播（如阶跃型光纤的纤心中）
2.2 程函方程与射线方程
❖ 光线理论：当光线在传播过程中可以不考虑波长的有限大 小（即衍射现象），则能量可以看作沿一定曲线传播，电 磁波的传播可以近似为平面波。
❖ 方法：确定光线路径，计算相关联的强度和偏振： ▪ 程函方程 ▪ 射线方程
▪ 目的：得到任意光波导中的光线轨迹
1、 程函方程
光程：波面走过的几何路径与折射率的乘积。
d 射线方程：ds
n(r)
dr ds
n(r)
a
s
因 n = 常数
改写成：
d 2r n ds 2 0
b r
r 其解为矢量直线方程： sa b
a和b是常矢量，在均匀介质中光线路经沿矢量a前进，并通
过物理r=意b点义。：dds
dr ds
表示光线路径的曲率变化量。
d ds
dr ds
0
表示光线路径为直线。
平面波在任意方向传输的波函数：
Er,t E0(r )exp it k • r
相位因子 k • r nk0 • r
▪ 波函数略去时间因子
k
0
0 0，n
0
Er,t E0(r )exp it k0S(r )
同理：
H r,t H 0(r )exp it k0S(r )
（2.2c）
r • H0 0
❖ 三个矢量正交，相位梯度与 ❖ 波面法线方向一致。
（2.2d）
E 相位梯度
H
❖ 利用光线理论的几何光学近似条件：
0,k0
❖ 将（2.2a）代入（2.2b） ❖ 得到
S r {S r E0} n2E0 0
利用矢量恒等式
A B C A C B A B C
0
k0
ik0S r
e E0 r i[t k0S r ]
k0S r E0 r 0H0 r
Q r E0 r
0 k0
H0 r
0 00
H0 r
H0 r
❖ 由麦克斯韦方程其他三个方程同样处理，得到：
r E0 H0
r H0
n2
E0
（2.2a） （2.2b）
r • E0 0
➢ 设光纤中传播的电磁场随时间作简谐变化，分离 时空坐标，得到的波动方程就称为亥姆霍兹 （Helmholtz
➢ 推导这个方程的条件是：无源空间，介质是理想、 均匀、各向同性而且电磁场是简谐的。
3．简谐时变场的波动方程—— 亥姆霍兹方程
❖ 光在光波导中传播应满足的亥姆霍兹方程式：
书P3（1.2-8）式
❖ 得到
{S r • S r }E0 n2E0 0
即
S r • S r n2 程函方程
或 S 2 n 2， S(r ) nr
或
S r
x
2
S r
y
2
S r
z
2
n 2 x,y ,z
相位梯度 S r 方向与光波传播方向一致，其模等于介 质折射率； 程函方程给出波面变化规律：
由麦克斯韦方程推导程函方程:
▪ 由： E i0H
▪ 等式左边：
E {E0 e r i[t k0S r ]}
[e ik0S r E0 r E0 r e ik0S r ]e it
[ik0e ik0S r S r E0 r E0 r e ik0S r ]e it
S r S r
由程函方程 S(r ) nr
dr
ds
因此
S r n(nr()rd)r
ds
（2.3)
S(r)
相位梯度等于路径切线方向上的单位光程
上式对路径 S 求导 d
ds
n(r)
dr ds
d ds
S(r)
等式右边：
d ds
S(r)
dSd(sr)
dr ds
S r
式2.3
S r