函数最值问题的处理方法摘要函数的最值问题遍及代数，三角，立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。

中学数学的最值知识又是进一步学习高等数学中最值问题的基础。

求函数最值的方法有：配方法，不等式法，换元法，函数单调性法，判别式法，数形结合法，导数法，线性规划问题，利用三角函数的有界性关键词：函数，最值问题，处理方法一、 配方法形如或者可化成y=2ax +bx+c(a ≠0)的函数，可以先利用配方法找出其对称轴，依据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值，解题过程要特别关注自变量的取值范围。

例1：已知f(x)=2x +2x+2,分别求出f(x)在闭区间：(1) [-4,-2], (2)[2,3], (3)[-2,3]上的最大值M 和最小值m解：f(x)的图像开口向上，对称轴x=-1（1）对称轴x= -1在区间[-4,-2]的右侧，f （x ）在[-4，-2]上是减函数，所以M=f （-4）=10，m=f （-2）=2（2）对称轴x= -1在区间[2,3]的左侧，f （x ）在[2,3]上是增函数，所以M=f （3）=17，m=f （2）=10（3）对称轴x= -1在区间[-2,3]内，对称轴在区间中点的左侧，所以M=f （3）=17，m=f （-1）=1用配方法求最值的方法步骤：（1）求二次函数在开区间上的最值，看开口方向，确定为最大值或最小值 。

（2）求二次函数在闭区间上的最值，一看开口方向，二看对称轴在闭区间的相对位置，分四种情况：（1）对称轴在闭区间的左侧；（2）对称轴在闭区间的右侧；（3）对称轴在闭区间中点的左侧；（4）对称轴在闭区间中点的右侧。

二、不等式法通过式的变形，将函数解析式化为具有“基本不等式”或“均值不等式”的结构特征，从而利用基本不等式或均值不等式求最值，利用基本不等式求最值时，一定要关注等号成立的条件，而利用均值不等式求最值，则必须关注三个条件，即“一正，二定，三相等”。

例2：设x ，y ，a ，b ∈（0，+∞），且a ，b 为常数，若1=+yb x a ，试求x+y 的最小值。

错解： 1=,2xyab y b x a ≥+ 则ab xy 2≥ 故ab xy y x 42≥≥+ ，即x+y 的最小值为4ab分析： 不等式,2xyab y b x a ≥+ 当且仅当 y b x a =时“=”成立，而不等式 x+y ≥xy 2中，当且仅当x=y 时“=”成立。

当b a ≠时，以上两个不等式的等号不能同时成立，故当ba ≠时，ab y x 4≥+不能取“=”，所以yb x a +的最小值4ab 是不正确的 正解： ()()ab b a y bx x ay b a y bx x ay b a y x y b x a y x y x 221++=∙++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∙=+故x+y 的最小值是ab b a 2++。

三、换元法主要有三角换元和代数换元。

用换元法时，要特别关注中间变量的取值范围。

例3：求函数()()x x y sin 1cos 1++=的最大值M 和最小值m解：()()x x y sin 1cos 1++==1+（sinx+cosx ）+sinx+cosx令()t x x =+cos sin ，则t ∈[2,2-]，21cos sin 2-=t x x ； 故()221212121+=++=t t t y 当2=t 时，M=（223+）/2当1-=t 时，m 0=例4：求函数y ＝2x分析：先观察结构特点，可用代数换元去掉根号。

t （t ≥0），则2x ＝－t 2＋1∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54 ∴t ＝12时，y max ＝54，无最小值。

评注：形如y ＝ax ＋b性不易确定时，可采用代数换元。

四、函数单调性法利用函数的单调性是求最值的常用方法，解题时必须先确定函数的单调性，一般适用于抽象函数例5：已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意的R x x ∈21,，都有()()()2121x f x f x x f +=+且x>0时，f(x)<0，f （1）=-2，试判断在区间[]3,3-上，f （x ）是否有最大值或最小值？如果有求出最大值和最小值，如果没有，说明理由解：令,021==x x 则f （0）=f （0）+f （0）故f （0）=0令,,21x x x x -==则f （x ）+f （x -）=f （0）=0，故f （-x ）= -f （x ），则f （x ）是奇函数设R x x ∈21, 且21x x ，则021 x x -故)()(,0)()()()()(12121221x f x f x x f x f x f x f x f -=-+=-因此f （x ）在R 上为减函数又f （1）=2-，则f （3）=f （1+2）=f （1）+f （2）=6)1(3-=f6)3()3(=-=-f f故在[]3,3-上，f （x ）为减函数存在最大值和最小值当6)3()(,3max =-=-=f x f x当6)3()(,3max -===f x f x五、判别式法主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数，当x 的范围是R 时，仅考虑△即可，当x 的范围非R 时，还需结合图像另列不等式组求解.例6：求函数)2(x x x y -+=的最大值和最小值解： )2(x x x y -=-，两边平方整理，得=++-22)1(22y x y x 0x 是实数，则08)1(422≥-+=∆y y ，解得2121+≤≤-y此外，由0)2(≥-x x 得20≤≤x 。

于是)2(x x x y -+=0≥ 即210+≤≤y ，故21,0max min +==y y评注：在解得过程中历经平方变形，从而扩大了y 的取值范围，故利用判别式法求出y 的范围后应综合函数的定义域将扩大失误部分予以剔除。

六、数形结合法主要适用于具有几何图形的函数，通过几何模型，以形助数，便于探求问题的简洁解法，又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误，还有利于沟通数学各个分支，深化我们的思维。

例7：求函数f(x)分析函数结构复杂，无法用常规方法解，设法将其具体化，由根式我们会联想到距离，问题的关键是两个根式内的被开方式能否化成平方和的形式，通过拆凑，发现可以，即：f(x)对其作适当的语义解释，问题就转化为：求点 P(x ，x 2)到点A(3，2)与B(0，1)距离之差的最大值。

进一步将其直观具体化如下图1，由A 、B 的位置知直线AB必交抛物线y ＝x 2于第二象限的一点C ，由三角形两边之差小于第三边知，P 位于C时，f(x)才能取到最大值，且最大值就是AB ，故f(x)max ＝|AB|上述分析过程的关键是将问题通过几何直观， 转化具体的形，“形”使我们把握住了f(x)的变化情况。

图1 七、导数法设函数f(x)在[a ，b]上连续，在(a ，b)可导，则f(x)在[a ，b]上的最大和最小值应为f(x)在(a ，b)内的各极值与f(a)、f(b)中最大值与最小值。

例8：求f(x)＝x ＋(x ∈[0，4])的最大值与最小值。

x分析 ∵f /(x)＝1当x ∈(0，4)时，0，且f(x)在[0，4]上连续， 所以函数f(x)＝x ＋[0，4]上为单调增函数，因此，函数f(x)在[0，4]上的最大值为f(4)＝8，最小值为f(0)＝0评注：①若函数f /(x)在[a ，b]上均不为零，那么f(x)必是[a ，b]上的单调函数，若f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数最小值，f(b)为函数最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数最大值，f(b)为函数最小值；②也可令t0≤t ≤2换元求解。

八、线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题，称为线性规划题。

一般求解步骤有：⑴根据题意，建立数学模型，作出不等式组区域的图形即可行域；⑵设所求的目标函数f(x ，y)的值为m ；⑶将各顶点坐标代入目标函数，即可得m 的最大值与最小值，或求直线f(x ，y)＝m在y 轴上截距的最大值(最小值)，从而得m 的最大与最小值。

例9：某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产千元为单位）解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则x y x f 234++=其中x ，y ，z 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥=++=++60,0,0120413121360z y x z y x z y x 联立，得x z x y 2,3360=-=则由⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥602033600x x x得12030≤≤x 。

故x z x z y x f -=-+++=1080)(3当x=30时，1050301080max =-=f从而，60,270==z y即每周生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值产值为1050千元九、利用三角函数的有界性求最值在三角函数中，正弦与余弦函数具有一个最基本也最重要的特征——有界、利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值问题的最基本的。

例10：:求函数y ＝cos 2cos 1x x --的最小值。

分析 ： 由于在本题的函数表达式中只含有余函数，故可直接利用余弦函数的有界性求解(如果在函数表达式只含有正弦函数则同样如此)解：y ＝1－1cos 1x -， ∵－1≤x cos ＜1，∴－2≤x cos －1＜0 ∴1cos 1x -≤－12∴y ≥32，即函数y 的最小值为32，此时x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z参考文献：[1] 薛金星，怎样解题[M] 北京，北京教育出版社2003[2] 费振鹏，活动课例《简单的线性规划问题》的教学尝试设计说明[J]. 数学通报2002，（3）：18-22[3]《数学思想方法与中学数学》——钱珮玲 邵光华编著 北京师范大学出版社。