第十二讲 一次函数中的最值问题
1．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，
且C点的横坐标为1．
（1）如图1，过点A作x轴的垂线，若点P（x，2）为垂线上的一个点，Q是y轴上一动点，若S△CPQ＝5，求此时点Q的坐标；
（2）若P在过A作x轴的垂线上，点Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时P的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（﹣2，0），将直线l1绕点C旋转，使旋转后的直线l3刚好过点E，过点C 作平行于x轴的直线l4，点M、N分别为直线l3、l4上的两个动点，是否存在点M、N，使得△BMN是以M 点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，一次函数y＝﹣x+6的图象分别与y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿射线BA以每秒
1个单位的速度出发，设点P的运动时间为t秒．
（1）点P在运动过程中，若某一时刻，△OPA的面积为6，求此时P的坐标；
（2）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？（只需写出t的值，无需解答过程） （3）若第二象限有一点C（﹣1，4），试问在y轴上是否存在一点M，使BM﹣CM的值最大？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
3．如图，在平面真角坐标系中，点A的坐标是（﹣，0），点B的坐标是（0，1）．点B和点C关于原点对称．点P是直线AB位于y轴右侧部分图象上一点，连接CP，已知S△BPC＝S△ABC，
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，△AOC沿着直线AC平移得△A′O′C′，平移后的点A′与点C重合点F为直线AC上的一动点，
当PF+FC′的值最小时，请求出PF+FC′的最小值及此时点F的坐标；
（3）如图3，将△PBC沿直线PA翻折得△PBG，点N为平面内任意一动点，在直线PA上是否存在点M，使得以点M、N、P、G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝kx﹣6（k≠0）交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，点C在线段OA上，将△ABC沿直线BC翻折，点A与y轴上的点D（0，4）恰好重合．
（1）求直线AB的表达式；
（2）已知点E（0，3），点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B重合），连接PD，PE，当△PDE的周长取得最小值时，求点P的坐标；
（3）在坐标轴上是否存在一点H，使得△HAB和△ABC的面积相等？若存在，求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，AD与y轴交于点E，连接BE，已知点A（﹣3，0）、B（3，0）、C（7，4），点G为对角线BD上一点，过点G作y轴的平行线交BE于点F，点
M、N是线段BE上的两个动点（点M在点N的上方），且MN＝，连接GN、DM．
（1）求△BDE的面积；
（2）若GF＝，求DM+MN+NG的最小值，此时在y轴上有一动点R，当|GR﹣NR|最大时，求点R的坐标；
（3）在（2）的条件下，把△GFB绕点B逆时针旋转一个角a（0°＜α＜180°），在旋转过程中，直线GF与直线BE、x轴分别交于点P、点Q，当△BPQ是以B为顶点的等腰三角形时，求出PQ的长以及相应的旋转角α的度数．
6．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣与x轴相交于B，与y轴相交于点A．直线l2：
y＝经过原点，并且与直线l1相交于C点．
（1）求△OBC的面积；
（2）如图2，在x轴上有一动点E，连接CE．问CE是否有最小值，如果有，求出相应的点E的
坐标及CE的最小值；如果没有，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，以CE为一边作等边△CDE，D点正好落在x轴上．将△DCE绕点D顺时针旋转，旋转角度为α（0°≤α≤360°），记旋转后的三角形为△DC′E′，点C，E的对称点分别为C′，E′．在旋转过程中，设C′E′所在的直线与直线l2相交于点M，与x轴正半轴相交于点N．当△OMN为等腰三角形时，求线段ON的长？
课后作业：
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（4，0），C（0，3），直线y＝﹣x+交OA于点D，
交BC于点E，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿OA﹣AB运动，到点B停止，设△PDE的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．
（1）求点D和点E的坐标；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）当点P在边AB上运动，且PD+PE的值最小时，直接写出直线EP的表达式．
8．如图，A，B是直线y＝x+4与坐标轴的交点，直线y＝﹣2x+b过点B，与x轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标；
（2）点D是折线A﹣B﹣C上一动点．
①当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，用直尺和圆规画出点E的位置（保留
作图痕迹，不要求写作法和证明），并求E点的坐标．
②是否存在点D，使△ACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在y轴上运动．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）动点M在y轴上运动，使MA+MB的值最小，求点M的坐标；
（3）在y轴的负半轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
10．已知，A（0，8），B（4，0），直线y＝﹣x沿x轴作平移运动，平移时交OA于D，交OB于C． （1）当直线y＝﹣x从点O出发以1单位长度/s的速度匀速沿x轴正方向平移，平移到达点B时结束运动，过点D作DE⊥y轴交AB于点E，连接CE，设运动时间为t（s）．
①是否存在t值，使得△CDE是以CD为腰的等腰三角形？如果能，请直接写出相应的t值；如果不能，
请说明理由．
②将△CDE沿DE翻折后得到△FDE，设△EDF与△ADE重叠部分的面积为y（单位长度的平方）．求y关
于t的函数关系式及相应的t的取值范围；
（2）若点M是AB的中点，将MC绕点M顺时针旋转90°得到MN，连接AN，请直接写出AN+MN的最小值．。