第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1. 已知半径为R 0球面内外为真空，电场强度分布为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>θ+θ<θ+θ-=θθ )R ( )sin ˆcos 2ˆ()R ( )sin ˆcos ˆ(20300r e e rB r e e RE r r 求（1）常数B ；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。

Sol. (1) 球面上由边界条件 t t E E 21=得：sin sin 2300θ=θR BR 202R B =→（2）由边界条件s n n D D ρ=-21得：θε=-ε=-ε=ρcos 6)()(0210210R E E E E r r n n s （3）由ρ=⋅∇D得：⎩⎨⎧><=θ∂θ∂θε+∂∂ε=⋅∇ε=ρθ )R ( 0)R (0)sin (sin 1)(10002200r r E r r E r r E r即空间电荷只分布在球面上。

2. 已知半径为R 0、磁导率为μ 的球体，其内外磁场强度分布为⎪⎩⎪⎨⎧>θ+θ<θ-θ=θθ )R ( )sin ˆcos 2ˆ(A)R ( )sin ˆcos ˆ(2030r e e r r e e H r r 且球外为真空。

求（1）常数A ；（2）球面上的面电流密度J S 大小。

Sol. 球面上（r =R 0）：r H 为法向分量；θH 为法向分量 （1）球面上由边界条件n n B B 21=得：r r H H 201μ=μ300R A μμ=→（2）球面上由边界条件s t t J H H =-21得θμμ+-=-==θθsin )2(|)(0210R r s H H J第3章 静电场及其边值问题的解法1. 如图，两块位于x = 0 和 x = d 处无限大导体平板的电位分别为0、U 0，其内部充满体密度ρ = ρ0 (1- e x -d ) 的电荷（设内部介电常数为ε0）。

（1）利用直接积分法计算0 < x < d区域的电位φ 及电场强度E ；（2）x = 0处导体平板的表面电荷密度。

Sol. 为一维边值问题：)(x φ=φ )1(d d 00222d xe x--ερ-=φ⇒ερ-=φ∇边界条件：0)0(==φx ， 0)(U d x ==φ（1）直接积分得：x e d d d U e x e x d d d x )]1([)2()(2000200---+-ερ-++-ερ=φ)]1()([ˆˆ)(200000d d x x x e d dd U xe e dx d e x E --+-ερ-+-ερ-=φ-=φ-∇= （2）由s nρ-=∂φ∂ε得：00000)(==ε=∂φ∂ε-=∂φ∂ε-=ρx x s x E x n)]11(1[20000de d d d U d -+--ρερ-=-2. 如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。

已知侧壁和底面的电位为零，而顶盖的电位为V 0 。

写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。

Sol. （略）见教材第82页例3.6.13. 如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d 处有一个点电荷q 0 。

利用镜像法求z 轴上z > a 各点的电位分布。

Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于： 无限大接地导体平面 + 接地导体球边界条件：0=φ=φ球面平面使0=φ平面，引入镜像电荷：0,q q d z -='-='使0=φ球面，引入镜像电荷：x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=''-=-='-=-==022220121||,||,q d a q z a q d a z a z q d a q d a z z 轴上z > a 各点的电位：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+'+-+-+-πε=φd z q z z q z z q d z q 221100||41⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----πε=d z a d z a d z q 12||14422300 4. 已知接地导体球半径为R 0 ，在x 轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷+q 、-q ，位置如图所示。

利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3）x 轴上x >2R 0各点的电场强度。

Sol. (1) 引入两个镜像电荷： 22001q q R R q -=-=，2200201R R R x ==2)(2002q q R R q =--=，2200201R R R x -=-=（2）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-++πε=φR q R q R q R q z y x 2211041),,(（略）2220)2(z y R x R ++-=， 22201)2/(z y R x R ++-=22202)2/(z y R x R +++=，2220)2(z y R x R +++='（3）x 轴上x >2R 0各点的电场强度：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++--+-=20202020)2()2/(2/)2/(2/)2(ˆR x qR x q R x q R x q e E x 5. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q ，求（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。

Sol. （1）01q q -=，)0 ,0 ,(a -45 45,(a02q q +=，)0 , ,0(a -03q q -=，)0 ,0 ,(a（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++πε=φ33221100041),,(R q R q R q R q z y x=（略）其中：2220)(z a y x R +-+=2221)(z y a x R +++= 2222)(z a y x R +++=2223)(z y a x R ++-=第4章 恒定电场与恒定磁场1. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：Cxyz e x y e y x eA z y x ˆˆˆ22++= ，C 为常数，且A满足库仑规范。

求（1）常数C ；（2）电流密度J ；（3）磁感应强度B。

（直角坐标系中：)(ˆ)(ˆ)(ˆya x a e x a z a e z a y a e a x y zz x y y z x ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇） Sol. (1) 库仑规范：0=⋅∇A 4022-=⇒=++=∂∂+∂∂+∂∂⇒C Cxy xy xy z A y A x A zy x (2) 由J μA -=∇2，xyz e x y e y x eA z y x 4ˆˆˆ22-+= 得： ()x e y e z A y A x A A J y x 2ˆ2ˆ112222222+μ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂μ-=μ∇-= (3) A B⨯∇=)(ˆ4ˆ4ˆ22x y e yz e xz ez y x -++-= 2. (P.136. 习题 4.2) 在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（11,εσ和22,εσ），其厚度分别为1d 和2d 。

若在两极板上加上恒定的电压0U 。

试求板间的电位Φ、电场强度E 、电流密度J 以及各分界面上的自由电荷密度。

Sol. 用静电比拟法计算。

用电介质（ε1和ε2）替代导电媒质，静电场场强分别设为E 1、E 2⎩⎨⎧ε=ε→==+22112102211E E D D U d E d E ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<ε+εε-=<<ε+εε-=⇒)( ˆ)(0 ˆ21211201212112021d x d d d U e E d x d d U e E x x电位移：21120211121ˆd d U e E D D x ε+εεε-=ε==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<ε+εε-ε+ε=-+<<ε+εε==φ⇒)( )()()(0 )(2021121121121112112021d x d U d d d x d x E d E d x x d d U x E x 1静电比拟： φ⇔φ⇔⇔⇔，，，ε σD J E E，则导电媒质中的恒定电场： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<σ+σσ-σ+σ=φ<<σ+σσ=φ)( )()(0 2021121121212112021d x d U d d d x d x x d d U 1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<σ+σσ-<<σ+σσ-=)( ˆ)0( ˆ)(22112011211202d x d d d U e d x d d U e x E 1x x2112021ˆd d U e J x σ+σσσ-= 211202111110d d U x n x s σ+σσε-=∂φ∂ε-=∂φ∂ε-=ρ=21120122222)(21d d U x n d d x s σ+σσε=-∂φ∂ε-=∂φ∂ε-=ρ+=21120122122112211)(111d d U x x n n d x d x d x sσ+σσε-σε=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂φ∂ε-∂φ∂ε=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂φ∂ε-∂φ∂ε=ρ===可知：非理想电容器两极上的电荷密度为非等量异号210d d x sx s +==ρ-≠ρ。

只有理想电容器才有电容定义。

第5章电磁波的辐射9、已知真空中某时谐电场瞬时值为)cos()10sin(ˆ),,(z k t x e t z x E z y -=ωπ。

试求电场和磁场复矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。

解：所给瞬时值表示式写成下列形式])10sin(ˆRe[),,(t j z jk y e e x e t z x E z ωπ-=因此电场强度的复矢量表示为z jk y z e x ez x E -=)10sin(ˆ),(~π由麦克斯韦方程组的第二个方程的复数形式可以计算磁场强度的复矢量为z jk z z x y z y x zy x z y x z e x j e x k ex E j e z E j e E E E zy x e e ej E j z x H -⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂∂∂∂∂-=⨯∇-=)10cos(10ˆ)10sin(ˆ ~ˆ~ˆ ~~~ˆˆˆ1)~(1),(~000000πωμππωμωμωμωμωμ 功率流密度矢量的平均值av S等于复坡印廷矢量的实部，即)10(sin 2ˆ )10(sin ˆ)20sin(5ˆRe 21 )~~ˆ~~ˆRe(21 ~~~~~~ˆˆˆRe 21)~~Re(21)~Re(20200******x k e x k e x j k e H E e H E e H H H E E E ee e H E S S z z z z z x x y z z y x zy x zy x z y x av πωμπωμπωμπ=⎪⎭⎫⎝⎛+=-==⨯== 10、已知真空中时变场的矢量磁位为)cos(ˆ),(0kz t A et z A x -=ω求：(1) 电场强度E 和磁场强度H；(2) 坡印廷矢量及其平均值。