第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A，则 A = ，=⨯∇A 0 。
2.已知矢量场xz e xy e z y eA z y x ˆ4ˆ)(ˆ2+++=，则在M （1，1，1）处=⋅∇A9 。
3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A），则必须同时给定该场矢量的 旋度 及 散度 。
4. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H、J 所满足的方程（结构方程）： 。
5.电流连续性方程的微分和积分形式分别为 和 。
6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B，则（a ）E 、B皆与A 垂直。
（b ）E 与A 垂直，B与A 平行。
（c ）E 与A 平行，B与A 垂直。
（d ）E 、B皆与A 平行。
答案：b7. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(ˆ0βz ωt E e E y -=，其中0E 、ω、β为常数。
则空间位移电流密度d J（A/m 2）为：（a ） )cos(ˆ0βz ωt E ey - （b ） )cos(ˆ0βz ωt ωE e y - （c ） )cos(ˆ00βz ωt E ωey -ε （d ） )cos(ˆ0βz ωt βE e y -- 答案：c8.已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度)(ˆ)(ˆ)(ˆy x e z x e z y e z y x +++++A ⋅∇A ⨯∇E J H B E D σ=μ=ε= , ,tqS d J S∂∂-=⋅⎰ t J ∂ρ∂-=⋅∇(V/m) 2cos ˆ0dxe E x πρ= ，其中0ρ、d 为常数。
则d x =处电荷体密度ρ为： （a ）d 04πρ-（b ）d 004ρπε- （c ）d 02πρ- （d ）d02ρπε- 答案：d9.已知半径为R 0球面内外为真空，电场强度分布为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>θ+θ<θ+θ-=θθ )R ( )sin ˆcos 2ˆ()R ( )sin ˆcos ˆ(20300r e e r B r e e R E r r 求（1）常数B ；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。
Sol. (1) 球面上由边界条件 t t E E 21=得：sin sin 2300θ=θR BR 202R B =→（2）由边界条件s n n D D ρ=-21得：θε=-ε=-ε=ρcos 6)()(0210210R E E E E r r n n s （3）由ρ=⋅∇D得：⎩⎨⎧><=θ∂θ∂θε+∂∂ε=⋅∇ε=ρθ )R ( 0)R (0)sin (sin 1)(10002200r r E r r E r r E r即空间电荷只分布在球面上。
10. 已知半径为R 0、磁导率为的球体，其内外磁场强度分布为⎪⎩⎪⎨⎧>θ+θ<θ-θ=θθ )R ( )sin ˆcos 2ˆ(A)R ( )sin ˆcos ˆ(2030r e e rr e e H r r 且球外为真空。
求（1）常数A ；（2）球面上的面电流密度J S 大小。
Sol. 球面上（r =R 0）：r H 为法向分量；θH 为法向分量 （1）球面上由边界条件n n B B 21=得：r r H H 201μ=μ300R A μμ=→ （2）球面上由边界条件s t t J H H =-21得θμμ+-=-==θθsin )2(|)(0210R r s H H J第3章 静电场及其边值问题的解法1. 静电场中电位与电场强度E 的关系为 ；在两种不同的电介质（介电常数分别为1ε和2ε）的分界面上，电位满足的边界条件为 。
2. 设无限大真空区域自由电荷体密度为ρ，则静电场：=⨯∇E0 ，E⋅∇=。
3. 电位 和电场强度E 满足的泊松方程分别为 、 。
4. 介电常数为的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 。
5. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是连续的。
6. 如图，1E 、2E分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，，30°，则60°，=||||21E E。
7. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度s ρ与电位沿其法向的方向导数n∂φ∂的关系为 。
8. 如图，两块位于x = 0 和 x = d 处无限大导体平板的电位分别为0、U 0，其内部充满体密度1θ2θ1E 2E 1ε2εφ-∇=En n 221121∂φ∂ε=∂φ∂εφ=φ； 2ερ-=φ∇E 2ερ∇=∇ 2E 21ε=m w 3s n ρ-=∂φ∂ε01=φ02U =φe xd) 的电荷（设内部介电常数为）。
（1）利用直接积分法计算0 < x < d 区域的电位及电场强度E；（2）x = 0处导体平板的表面电荷密度。
Sol. 为一维边值问题：)(x φ=φ )1(d d 00222d xe x--ερ-=φ⇒ερ-=φ∇边界条件：0)0(==φx ， 0)(U d x ==φ（1）直接积分得：x e d dd Ue x e x d d d x )]1([)2()(2000200---+-ερ-++-ερ=φ)]1()([ˆˆ)(200000d d x x x e d dd U xe e dx d e x E --+-ερ-+-ερ-=φ-=φ-∇= （2）由s nρ-=∂φ∂ε得：00000)(==ε=∂φ∂ε-=∂φ∂ε-=ρx x s x E x n)]11(1[20000de d d d U d -+--ρερ-=-9. 如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。
已知侧壁和底面的电位为零，而顶盖的电位为V 0 。
写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。
Sol. （略）见教材第82页例3.6.110. 如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d 处有一个点电荷q 0 。
利用镜像法求z 轴上z > a 各点的电位分布。
Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于：无限大接地导体平面 + 接地导体球 边界条件：0=φ=φ球面平面使0=φ平面，引入镜像电荷：0,q q d z -='-='使0=φ球面，引入镜像电荷：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=''-=-='-=-==022220121||,||,q d a q z a q d a z a z q d a q d a z z 轴上z > a 各点的电位：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+'+-+-+-πε=φd z q z z q z z q d z q 221100||41⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----πε=d z ad z a d z q12||144223011. 已知接地导体球半径为R 0 ，在x 轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷+q 、-q ，位置如图所示。
利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3）x 轴上x >2R 0各点的电场强度。
Sol. (1) 引入两个镜像电荷：22001q q R R q -=-=，2200201R R R x ==zd xq lρo az 'q '2z 1z 1q 2q o q+q-xR 0R 0R 1q 1x 2x 2q2)(2002qq R R q =--=，2200202R R R x -=-=（2）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-++πε=φR q R q R q R q z y x 2211041),,(（略）2220)2(z y R x R ++-=， 22201)2/(z y R x R ++-=22202)2/(z y R x R +++=，2220)2(z y R x R +++='（3）x 轴上x >2R 0各点的电场强度：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++--+-=20202020)2()2/(2/)2/(2/)2(ˆR x qR x q R x q R x q e E x 12. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q ，求（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。
Sol. （1）01q q -=，)0 ,0 ,(a - 02q q +=，)0 , ,0(a -03q q -=，)0 ,0 ,(a（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++πε=φ33221100041),,(R q R q R q R q z y x（略）其中： 2220)(z a y x R +-+=，2221)(z y a x R +++=2222)(z a y x R +++=，2223)(z y a x R ++-=yx0q 45 ()0,,0P a451q 2q 3q )0 ,,0(a -)0 ,0 ,(a -)0 ,0 ,(a1θ2θ1H 2H 1μ2μ第4章 恒定电场与恒定磁场1.线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于0 ，净余电荷只能分布在该导电媒质的 表面 上。
2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中，=⋅∇J 0 ；=⋅∇D0 。
3. 在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度E和电流密度J 的边界条件为： 、 。
4.在电导率为的导电媒质中，功率损耗密度p c 与电场强度大小E 的关系为 。
5. 恒定磁场的矢量磁位A 与磁感应强度B 的关系为 ；A所满足的泊松方程为 。
6.如图，1H 、2H 分别为两种理想介质内在交界面上的磁场强度，213μμ=，130θ=，则2θ、12B B 分别为： 答案：B （A ）︒60、3。
（B ）︒60、33。
（C ）︒45、3。
（D ）︒45、33。
7.对线性和各项同性磁介质（磁导率设为），恒定磁场（磁场强度大小为H ）的磁能密度=m w ，V 空间磁能W m = 。
8. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：Cxyz e x y e y x eA z y x ˆˆˆ22++=，C t t E E 21=nn J J 21=2E p c σ=A B⨯∇=JμA -=∇2221H μdV H V ⎰μ221为常数，且A满足库仑规范。
求（1）常数C ；（2）电流密度J；（3）磁感应强度B。
（直角坐标系中：)(ˆ)(ˆ)(ˆya x a e x a z a e z a y a e a x y z z x y y z x ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇） Sol. (1) 库仑规范：0=⋅∇A 4022-=⇒=++=∂∂+∂∂+∂∂⇒C Cxy xy xy zA y A x Az y x (2) 由J μA-=∇2，xyz e x y e y x eA z y x 4ˆˆˆ22-+= 得：()x e y e z A y A x A A J y x 2ˆ2ˆ112222222+μ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂μ-=μ∇-=(3) A B⨯∇=)(ˆ4ˆ4ˆ22x y e yz e xz ez y x -++-= 9.(P.136. 习题4.2) 在平板电容器的两个极板间填充两种不同的导电媒质（11,εσ和22,εσ），其厚度分别为1d 和2d 。