电磁波与电磁场期末试题
一、填空题（20分）
1．旋度矢量的散度恒等与零，梯度矢量的旋度恒等与零。
2．在理想导体与介质分界面上，法线矢量n 由理想导体2指向介质1，则磁场满
足的边界条件：01=⋅B n ，s J H n =⨯1 。
3．在静电场中，导体表面的电荷密度σ与导体外的电位函数ϕ满足的关系式
n ∂∂=ϕ
ε
σ-。
4．极化介质体积内的束缚电荷密度σ与极化强度P 之间的关系式为P ⋅-∇=σ。
5．在解析法求解静态场的边值问题中，分离变量法是求解拉普拉斯方程的最基本方法；在某些特定情况下，还可用镜像法求拉普拉斯方程的特解。
6．若密绕的线圈匝数为N ，则产生的磁通为单匝时的N 倍，其自感为单匝的2N 倍。
7．麦克斯韦关于位移电流的假说反映出变化的电场要产生磁场。
8．表征时变场中电磁能量的守恒关系是坡印廷定理。
9．如果将导波装置的两端短路，使电磁波在两端来回反射以产生振荡的装置称为
谐振腔。
10．写出下列两种情况下，介电常数为ε的均匀无界媒质中电场强度的量值随距离r 的变化规律：带电金属球（带电荷量为Q ）E =
2
4r
Q
πε；无限长线电荷（电荷线密度为λ）E =
r
πελ
2。
11．电介质的极性分子在无外电场作用下，所有正、负电荷的作用中心不相重合，而形成电偶极子，但由于电偶极矩方向不规则，电偶极矩的矢量和为零。
在外电场作用下，极性分子的电矩发生转向，使电偶极矩的矢量和不再为零，而产生极化。
12．根据场的唯一性定理在静态场的边值问题中，只要满足给定的边界条件，则泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。
二、判断题（每空2分，共10分）
1．应用分离变量法求解电、磁场问题时，要求整个场域内媒质必须是均匀、线性的。
（×）
2．一个点电荷Q 放在球形高斯面中心处。
如果此电荷被移开原来的球心，但仍在球内，则通过这个球面的电通量将会改变。
（×）
3．在线性磁介质中，由I
L ψ
= 的关系可知，电感系数不仅与导线的几何尺寸、
材料特性有关，还与通过线圈的电流有关。
（×）
4．电磁波垂直入射至两种媒质分界面时，反射系数ρ与透射系数τ之间的关系为1+ρ=τ。
（√）
5．损耗媒质中的平面波，其电场强度和磁场强度在空间上互相垂直、时间上同相位。
（×）
三、计算题（75分）
1．半径为a 的导体球带电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球表面的电流线密度。
（10分）
解：以球心为坐标原点，转轴（一直径）为Z 轴。
设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则p 点的线速度为
θωωφsin a e r v
=⨯= 球面上电荷面密度为
2
4a
Q
πσ=
故
θωπθωπσφ
φ
sin 4sin 42
a Q
e a a Q e v J s ===
2．真空中长直线电流I 的磁场中有一等边三角形，边长为b ，如图所示，求三角
形回路内的磁通。
（10分）
解：根据安培环路定律，得到长直导线的电流I
r
I e B πμφ20 =
穿过三角形回路面积的磁通为
⎰⎰⎰
⎰+
+==
⋅=2
/3002/30)(2
2b d d
z
b d d
dx x
z
I dx dz x I
s d B πμπ
μφ 由图可知
3
)6
tan()(d x d x z -=
-=π
故得到
)]231ln(3
2[302
/30
d b d b I dx x d x I b d d
+-=-=⎰
+πμπ
μφ )6
34102cos(106084π
πππμε+-⨯=⨯=
-z t e E k H y
3．一个点电荷q 与无限大导体平面距离为d ，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？（10分）
解：利用镜像法求解。
当点电荷移动到距离导体平面为x 的P 点处时，其像电荷
q q '=-，与导体平面相距为x x '=-。
像电荷q '在P 点处产生的电场为
2
0()4(2)
x
q
E x e x πε-'= 所以将点电荷q 移到无穷远处时，电场所作的功为
22
2
00()4(2)16e d
d
q q W qE x dr dx x d
πεπε∞∞
-'=⋅==-⎰⎰
外力所作的功为
20016e q W W d
πε=-=
4．在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m 。
当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m 。
设1r μ=，试求理想介质的相对介电常数r ε以及在该介质中的波速。
（10分）
解：在自由空间，波的相速80310/p v c m s ==⨯，故波的频率为
8
90310 1.5100.2
p v f Hz Hz λ⨯===⨯
在理想介质中，波长0.09m λ=，故波的相速为
81.3510/p v f m s λ==⨯
而
p v =
=
故
8228
310()() 4.941.3510
r p c v ε⨯===⨯ 5. 频率为100MHz 的均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿＋Z 方向传播，
介质的特性参数为4=r ε，1=r μ，0=γ。
设电场沿X 方向，即x x E e E
=。
已知，当t ＝0，81=z m 时，电场等于其振幅值10－4V/m 。
试求：（1）波的传播速度、波数和波长。
（2）电场和磁场的瞬时表达式。
（15分）
解：由已知条件可知：频率：MHz f 100=、振幅m V E /1040-= （1）s m v p /1023
1
8⨯==
με ππμεω3
4
103210288=⨯⋅⨯==-k
m k
5.12==π
λ
（2）设)cos(00ϕω+-=kz t E e E x
，由条件可知：
4010-=E ，8102⨯=πω，π3
4
=k ，
即：
)3
4
102cos(10084ϕππ+-⨯=-z t e E x
由已知条件可得：
6
)8134cos(10100044π
ϕϕπ=⇒+⋅-=--
所以
)6
34102cos(1084π
ππ+-⨯=-z t e E x
)6
34102cos(106084ππππμε+-⨯=⨯=
-z t e E k H y 6．一个半径为R 的介质球，介电常数为ε，球内的极化强度/r P e K r =，其中K 为一常数。
（1）计算束缚电荷体密度和面密度；（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球内外的电场和电位分布。
（15分）
解：（1）介质球内的束缚电荷体密度为
2221()p d K K
P r r dr r r
ρ=-∇⋅=-=-
在r R =球面上，束缚电荷面密度为
p r r R r R K
n P e P R
σ===⋅=⋅=
（2）由于0D E P ε=+，所以
2
0()K
D P r εερεεεε=∇⋅=
∇⋅=
--
总的自由电荷量
2
2000
144R s
K RK q ds r dr r επερπεεεε==
=--⎰⎰ （3）介质球内、外的电场强度分别为
100()r
P K
E e r
εεεε=
=-- （r R <） 22
2
0004()r
r
q RK
E e e r r
επεεεε==- （r R >） 介质球内、外的电位分别为
112000ln()()
R r
r
R
K R K
E dl E dr E dr r εϕεεεεε∞∞
=⋅=+=
+--⎰⎰⎰ （r R ≤）
2200()r
RK
E dr r
εϕεεε∞
==
-⎰ （r R ≥）。