随着信息技术的飞速发展 ， 信息技术与学科课程 的整合研究已经从理论探讨向整合实践发展。 现代教 育要培养能够创造性地解决问题的自主学习者。 为了 实现这一目标 ， 应该大力提倡信息技术下探究性的学 习方式的研究。我们利用几何画板的功能 ， 设计了能 够让学生进行自主探究的环境 ， 让学生在直观的学习 情境中进行探究性学习。 数学探究性学习是一种积极 学习的过程 ， 主要指学习者 （ 自己或同合作者一起 ） 针 对具体数学问题或规律进行主动地探索和研究的学 习活动。 本案例强调的是一种主动参与的操作性学习 活动 ， 取得了比较理想的教学效果。 一、 教学设计背景 创新教育要求教师构建一种适合学生主动探索 学习的环境 ， 还要求教师有全新的教育思想、 全新的 教学设计和全新的教学方法。我们以“ 几何画板” 为 工具 ， 对《 导数的概念》 进行了改进和分析。“ 几何画 板” 提供的动画、 测量、 计算和交互等功能 ， 给学生提 供了一个探究式学习的平台和一个培养创新能力的 实践园地。 １． 教学目标 （１）知识与技能 用运动的观点理解导数的定义 ， 掌握极限方法 的应用。学习几何画板的操作技能。 （２）过程与方法 经历探索曲线的切线方程的过程 ， 体会到抽象 的数学问题转化为形象化数学问题的方法。掌握运 用几何画板进行数学探究活动的基本方法 ， 培养用 运动的眼光去理解数学问题的能力。 （３）情感态度和价值观 感受从实际问题的探索中 ， 发现极限和导数等概 念的应用价值。培养学生对数学活动的兴趣。 ２． 教学重点 理解曲线在一点处的切线斜率， 学会利用极限
∆Á → Á
lim
∆y f ( x) − f ( xÁ ) f ( xÁ + ∆x ) − f ( xÁ ) 。 = lim = lim ∆ → ∆ → Á Á Á Á ∆x ∆x ∆x
这是反映函数变化率的一般问题。函数的变化 率成为函数的导数。 在自然科学和工程技术领域内 ， 还有很多与变化率有关的概念。请同学们课余时间 选择电流强度、 角速度、 加速度、 线密度等概念 ， 利用 几何画板对这些概念的极限形式进行探索。下面给 出导数的定义。 师 ： 如果函数 y = f ( x)在开区间 Ｉ 内的每一点处 可导 ， 就称函数 y = f ( x) 在开区间 Ｉ 内可导。这时 ， 对 于 任 意 x ∈ I 都 对 应 着 y = f ( x) 的 一 个 确 定 的 导 数 值。 这样就构成了一个新的函数 ， 这个函数 y = f ( x)
一边， 所以用我们以前学的切线的定义就不适合了。 师 ： （ 几 何 画 板 演 示 ， 图 ２） 请 看 这 个 图 像 ， 已 知 曲线 Ｃ 是函数 ｙ＝ ｇ（ ｘ） 的图像 ， Ｐ 是曲 线 上 一 点 ， 坐 在 Ｐ 的附近取一点 Ｑ ， 坐标为 （ ｘ０＋ △ｘ， 标为 （ ｘ０， ｙ０） 。 ｙ０＋ △ｙ） ， 过 Ｐ 作 ＭＰ∥ｘ 轴 ， ＭＱ ∥ｙ 轴。设割线 ＰＱ 的倾斜角为 β ， 那么 ＭＰ、 ＭＱ 倾斜角的正切值之间 有什么关系 ？ 用△ｘ、 △ｙ 表示。
∆t →0
∆t → 0
s (t0 + ∆t ) − s (t0 ) 。 ∆t
s (t 0 + ∆t ) − s (t ) 。 ∆t
师 ： 所以当 △ｔ→０ 时 ， 平均速度的极限就是瞬时 速度。即 v = lim v 。
∆t → 0
４． 讨论分析 ， 得出导数的定义
师 ： 通过讨论切线的斜率和瞬时速度的极限过 程 ， 可以归结为如下的极限形式 ： 如 果 ｘ－ ｘ０ 和 f ( x) − f ( xÁ ) 分 别 是 y = f ( x) 函 数 的 自变量的增量△ｘ 和函数的增量△ｙ， 那么
师 ： 根据对瞬时速度的直观描述 ， 当位移足够 小 ， 位移由时间 ｔ 来表示 ， 也就是说 时 间 足 够 短 时 ， 平均速度就等于瞬时速度。怎么来刻画时间足够短 呢 ？ 现在是从 ｔ０ 到 ｔ０＋ △ｔ ， 这段时间是△ｔ 。 生 ： 时间△ｔ 足够短 ， 就是△ｔ 无限趋近于 ０。 师 ： 当 △ｔ→０ 时 ， 平均速度就越接近于瞬时速 度 ， 用极限如何表示瞬时速度呢 ？ 生 ： v = lim v ＝ lim
何 芸
（ 山西省电化教育馆 ， 山西 太原
０３００２７）
摘要 ： 本文是信息技术与小学语文教学整合的一个教学设计。 在一节略读课中 ， 笔者尝试利用多媒体手段 ， 给学 生创设一个互动性强 ， 眼、 耳、 口、 脑多种感官积极参与的教学平台 ， 并使之有机结合起来 ， 使学生 仿 佛 身 临 其 境 ， 产 生了阅读兴趣 ， 更好地把握了阅读材料 ， 从而达到预期的教学效果。 关键词 ： 教学设计 ； 自主 ； 探讨 ； 创新 中图分类号 ： Ｇ ４３４ 文献标识码 ： Ｂ
教
学
设
计
总第 ２４４ 期 中国电化教育 ２００７．５
文章编号 ： １００６— ９８６０（ ２００７） ０５— ００８６— ０３
教学设计 《导数的概念》
罗敏娜（ 沈ຫໍສະໝຸດ 师范大学 计算中心 ， 辽宁 沈阳
１０００３４）
摘要 ： 本文以《导数的概念》为例 ， 研究了利用信息技术对导数概念进行探究性学习的方法。实验结果表明 ， 这 种学习方式为学生学习营造了良好的氛围 ， 能够实现学生对问题的主动探索 ， 有利于培养学生的创新意识。 关键词 ： 信息技术 ； 数学教学 ； 探究性学习 中图分类号 ： Ｇ ４３４ 文献标识码 ： Ｂ
图１
切线的动态显示
师 ： 在这个观察中 ， 图像中的动直线始终是曲线 的切线。 我们观察曲线的切线与曲线有时只有一个公 共点 ， 但有时会有两个公共点 ， 而且也不总在曲线的
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２００７．５ 中国电化教育 总第 ２４４ 期
教 学 设 计
师 ： 同学们 ， 速度是我们较常见且熟悉的概念 ， 大 家是否知道瞬时速度和平均速度之间也具有类似的 极限关系呢 ？ （ 用几何画板出示一个表示时间和路程 之间关系的函数图像 Ｓ＝２ ｔ２＋ｔ－ ３） 。请大家讨论一下。 生 ： （ 讨论后 ） 要确定物体在某一点 Ａ 处的瞬时速 度 ， 从 Ａ 点起取一小段位移 ＡＡ１， 求出物体在这段位 移上的平均速度。当这段位移不断减小时 ， 平均速度 可以近似地表示物体经过 Ａ 点的瞬时速度。 师 ： 通过学生讨论知道 ， 物体的运动规律用函数 表示为 Ｓ＝Ｓ（ ｔ） ， 也叫做物体的运动方程或位移公式。 现在有两个时刻 ｔ０， ｔ０＋ △ｔ， 问从 ｔ０ 到 ｔ０＋ △ｔ 这段时间 内， 物体的位移和平均速度各是多少 ？ 生 ： 位移为 Ｓ（ ｔ０＋ △ｔ ） － Ｓ（ ｔ ） ， 平均速度为
△ｙ
△ｘ
图 ２ 割线与切线的趋近过程
生 ： ＭＰ＝ △ｘ， ＭＱ＝ △ｙ， tan β =
MQ ∆y = 。 MP ∆x
师 ： 那么割线 ＰＱ 的斜率为多少 ？ ∆y 生 ： 割线 ＰＱ 的斜率是 。 ∆x 师 ： 现在 Ｐ 点不动 ， Ｑ 点沿着曲线运动 ， 并且无 限地向点 Ｐ 靠近 ， 再来观察 Ｑ 点的运动情况。（ 几何 画板演示 ） 用鼠标拖动点 Ｑ ， 沿着曲线向点 Ｐ 无限接 近。 这个过程表示为△ｘ→０。 这时这条割线 ＰＱ 与点 Ｐ 的切线是什么关系 ？ 生 ： 与在点 Ｐ 处的切线重合。 师 ： 我们是通过运动的方式得到切线的 ， 那能不 能根据这种过程来定义切线呢 ？ 同学们利用几何画 板 ， 画出你喜欢的一条曲线 ， 按照老师的做法 ， 看是 否可以得出同样的结果 ？ 学生 ： 利用几何画板进行自主探究。 师 ： 怎么样 ？ 你们的结论是什么 ？ 生 ： 我们可以 这 样 定 义 切 线 ： 当 点 Ｑ 沿 着 曲 线 无限接近 Ｐ 点时 ， 割线 ＰＱ 的极限位置叫做曲线在 点 Ｐ 处的切线。 所以可以用割线 ＰＱ 的斜率的极限 ， 定义曲线在点 Ｐ 处的切线的斜率。 师 ： 我们通过观察点 Ｑ 的运动得到了切线。因 为运动的过程就是取极限的过程 ， 所以可以用极限 来定义切线和切线的斜率。 点评 ： 这个环节通过几何画板演示 Ｑ 点向 Ｐ 点 无限靠近的过程 ， 学生观察到了割线 ＰＱ 的变化过 程。 学生通过所学的极限知识 ， 归纳了切线和切线斜 率的定义。 ３． 拓展训练 ， 培养学生发散思维
一、 教学设计背景
１． 教材分析
阿里山的云雾》 是人民教育出版社小学语文第 《 １０ 册第 ２ 课 ， 写的是祖国宝岛台湾阿里山的景观。 语言生动、 意境深 这是一篇抒情性散文 ， 文章优美、 远 ， 是一堂典型的阅读欣赏课。 阿里山是我国台湾著名的风景区和避暑胜地 ， 森林、 云海、 日出和樱花是阿里山的四大奇观。本篇 描写的是阿里山云雾的美。 全文分三个自然段 ， 课文 开始先简要介绍观雾的时间、 地点、 对象与人物 ， 接 着分两个自然段描写“ 无风时” 与“ 起风了” 阿里山云 概念。 通过探索 ， 学生能够掌握利用几何画板研究导 数概念推导的方法。 ５． 巩固练习 ， 拓展学生解题思路 2 例题 ： 曲线的方程为 y = x + 1 ， 求此曲线在点 Ｐ （ １， ２） 处的切线的斜率 ， 及切线方程。 生 ： 利用几何画板 ， 显示函数的图像和经过点 Ｐ （ １， ２） 的一条割线 ， 计算割线的斜率 ， 拖动割线的另 一点 Ｑ 向 Ｐ 点移动 ， 边拖动边观察斜率的变化。当 Ｑ 与 Ｐ 重合时 ， 斜率值等于 ２。 切线 生 ： 利用数学推导得出切线的斜率为 Ｋ＝ ２。 方程为 ： ｙ＝ ２ｘ。 （ 在几何画板上 ， 画出直线 ｙ＝ ２ｘ， 可以看到直线 2 ｙ＝ ２ｘ 与 y = x + 1 相切 ， 验证了结论的正确性。 ） 点评 ： 本环节利用一定的例题和练习 ， 通过几何 画板计算出结果 ， 然后利用数学推理进行求解。 几何 画板的作用在于对结果的验证和估计。 ６． 归纳总结 ， 培养学生概括能力 在学生自我反思和交流的基础上， 进行总结。（ 略） 三、 教学案例分析 这种教学模式以建构主义理论为依据 ， 强调对