（i,j=1,2, n）,可得 AA =A A= A E .
注： （1）A 可逆时， A = A A -1 ； （2）有时用伴随矩阵来处理有关代数余子式问题。
1 1 1 例 1 若 A= 0 1 1 ，求 A -1 . 0 0 1
4
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性质 1 A = A T .
T

证明：因 A = a ij A ij = A ji ，则 A = A ji = A ij ，而

T
T
T
A = a A = A ,故 A = A
T T ji ji ij
2 基础知识...................................................................................................4
2.1 伴随矩阵的定义.............................................................................................. 4 2.2 伴随矩阵的基本性质及运算性质.................................................................. 4 2.2.1 伴随矩阵基本性质及证明................................................................... 4 2.2.2 伴随矩阵运算性质及证明................................................................... 5 2.3 某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质........................................................ 11 2.3.1 对称矩阵............................................................................................. 11 2.3.2 上（下）三角矩阵............................................................正定和半正定矩阵............................................................................. 12 2.2.4 正交矩阵............................................................................................. 12
2
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1 绪论
1.1 研究目的
利用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关计算问题及拓宽它在各领域中 的应用。
1.2 研究意义
对伴随矩阵的性质及其应用的探讨，不仅有利于教师的教学，还有利于学生的学 习， 以便于我们更加得心应手的利用伴随矩阵的各种性质解决线性代数中的相关 问题。 且在伴随矩阵在线性代数中是作为求解逆矩阵的身份出现的，伴随矩阵是 非常重要的概念， 在矩阵理论中占有非常重要的地位。前人对伴随矩阵的各种性 质研究很多， 本文将在此基础上总结已有的一些伴随矩阵的性质与结果，并应用 这些方法求解一些例子。 通过本文的写作，本人将对伴随矩阵若干性质有深入的 把握，对伴随矩阵在各种解题中的应用有深入了解。
1 1 1 1 -1 0 解：因为 A= 0 1 1 ，所以 A = 0 1 -1 . A =1 ，由性质得 0 0 1 0 0 1 1 -1 0 A* = 0 1 -1 . A = |A| 0 0 1
1 1 3 |2(A) 1 3A || A 1 3 | A | A 1 || A 1 A 1 | 2 2 4 1 1 1 1 1 | A 1 | | A 1 | . 4 16 4 4 |A|
3 3
2.2.2 伴随矩阵运算性质及证明
谢 辞.......................................................................................................... 14 参考文献....................................................................................................15
Abstract: As a special matrix, adjoint matrix has many special properties in linear algebra. In a sense, it is like a positive definite matrix and orthogonal matrix, and not only has great research value in theory but also has wide application in practice. In this article we focus on various properties of adjoint matrices, including the properties of adjoint matrices of some special matrices (the upper triangular matrices, symmetric matrices, etc.), and use these properties to calculate the adjoint matrices of some matrices. As we shall see, this simplifies the calculation and avoid a large amount of complicated calculations. Keywords: adjoint matrix; Jordan standard form; invertible matrix
T
T
.
性质 2：A 可逆，则 （A* ) 1 (A 1 )* =
1 A. A
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南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院
毕 业 论 文（设 计）
（ 一六 届）
题
目：
伴随矩阵的性质及其应用 数学科学与应用学院 数学与应用数学 吉 宗 银
院（系、部） ： 专 姓 学 业： 名： 号
08120412 王 志 华
指导教师：
南京师范大学泰州学院教务处
制
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基本性质： AA =A A= A E ，当 A 可逆时，有 A -1 =
A* ，即 A = A A -1 . |A|
n 0， i j 证明：由行列式按一行（列）展开的公式 aik A jk = k 1 A，i j
, a kj A kj
k 1
n
0， i j = A , i j

A . A
1 1 1 1 6 1 又本题 A =6 ，所以 A -1 = 0 2 2 = 0 6 0 0 3 0
1 6 1 3 0
1 6 1 . 3 1 2
本题是求 A 的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂. 1 例 3 已知 A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为 A ,且 |A | ,求 （2A) 1 3A . 4 解：
1
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目录
1 绪论.......................................................................................................... 3
1.1 研究目的.......................................................................................................... 3 1.2 研究意义.......................................................................................................... 3 1.3 国内外研究现状.............................................................................................. 3
摘要：在高等代数中，伴随矩阵作为一种特殊的矩阵有很多特殊的性质，从某种 意义上来说，它和正定矩阵、正交矩阵一样，不仅在理论很有研究价值而且在实 践上也有广泛的应用 . 本文主要对伴随矩阵以及一些特殊矩阵 ( 比如上三角矩 阵、对称矩阵等）的伴随矩阵所具备的若干性质进行了系统的研究，利用这些性 质简化了一些伴随矩阵的计算. 关键词：伴随矩阵； 若当标准型； 可逆矩阵
1.3 国内外研究现状
现如今对于伴随矩阵的研究主要围绕的是伴随矩阵的基本性质， 主要有伴随矩阵 的运算性质﹑伴随矩阵的继承性质以及 m 重伴随矩阵的性质等。 杨闻起探讨了伴 随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质；王 航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上，探讨了伴随矩阵的运算性质，特 别研究了乘积矩阵的伴随矩阵的性质，并提出了自伴随矩阵的定义及其性质，归 纳了伴随矩阵较强的继承性； 郑茂玉也提出了伴随矩阵与原矩阵之间的联系，探 讨了伴随矩阵的性质，并且将伴随矩阵的性质推广到了 m 重；徐淳宁也探究了 m 重伴随矩阵的定义及其性质， 得出了一些有意义的结果，使伴随矩阵的内涵更加 丰富。 上述结论都是在 A 为方阵的前提下提出来的，对于 A 不为方阵的情况也有 一些结果。本文将在这些研究基础上，总结伴随矩阵的一些性质，并应用这些结 果求解一些具体例子。