矩阵的伴随矩阵的性质数学计算机学院数学与应用数学（师范）2011届方娜摘要:本文首先回顾了伴随矩阵的定义，讨论了伴随矩阵的秩、可逆性、特征值及一些特殊矩阵的伴随矩阵，并加以证明.最后给出了某些性质的简单应用.关键词:伴随矩阵;矩阵的秩; 矩阵的逆; 性质中图分类号：O151.21The properties of Adjoint MatrixAbstract:The concept of the adjoint matrix was firstly reviewed, then the rank, the reversibility, the eigenvalue of the adjoint matrix and adjoint matrices of some special matrices were discussed, with proofs of the properties being given out. Lastly, the simple applications of the properties about adjoint matrix were given out.Key words:adjoint matrix；the rank of the matrix；inverse matrix；property目录1 前言 (1)2 伴随矩阵的定义 (2)3 伴随矩阵的性质 (2)3.1 伴随矩阵的基本性质 (2)3.2 伴随矩阵秩的性质 (3)3.3 伴随矩阵特征值的性质 (4)3.4 特殊矩阵的伴随矩阵的性质 (4)4 伴随矩阵的性质的简单应用 (7)结束语 (8)参考文献 (9)致谢 (9)矩阵的伴随矩阵的性质1 前言矩阵是高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具.伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类，其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行深入的研究.本文分类研究了伴随矩阵的性质，并给予证明，得到一系列有意义的结果.从而使高等代数中的概念—伴随矩阵比较完整地呈现在我们面前.2 伴随矩阵的定义设n 阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a 1111,),2,1,(n j i A ij =是A 中元素ij a 的代数余子式，称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn nn A A A A A 1111*为A 的伴随矩阵.3 伴随矩阵的性质3.1 伴随矩阵的基本性质定理 3.1[1] n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是0≠A ;当A 可逆时,*11A AA =-,其中*A 为A 的伴随矩阵.性质1 设*A 为A 的伴随矩阵,则E A A A AA ==**.证明［2］ 由行列式按一行（列）展开的公式⎩⎨⎧=≠=∑=;,,,01j i A j i A a jk ik nk ⎩⎨⎧=≠∑=.,,,01j i A j i A a nk kj ki ()n j i ,2,1,= 可得 E A A A AA ==**.注：（1）A 可逆时，1*-=A A A ;（2）有时用伴随矩阵来处理有关代数余子式问题.推论3.1 *A 与A 同时可逆或同时不可逆，且A 为n 阶可逆矩阵，则()()AAA A ==--1**1. 性质2 ()11*>=-n AA n .证明 若A 可逆,则0≠A ，由性质1得E A AA =*.两边取行列式，得nnA E A E A AA ===*，也就是nA A A =*. 又0≠A ，则1*-=n AA .若A 不可逆,则()1-≤n A R ［3］,于是A 或0.所以，0*==A A .性质3 设A 为()1>n n 阶方阵，k 为任意非零常数,则()*1*A k kA n -=. 证明 设()ij a A =，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n ka ka ka ka kA1111， ().*111111111*A k A k A k A k A k kA n nn n n n n n n -----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 性质4 ()()TTA A **=证明（法一）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a A 1111，则 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n TA An A A A1111*, 其中()n j i A ij ,2,1,=是A 中元素ij a 的代数余子式.又设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n T B B B B A 1111*，其中()n j i B ij ,,2,1, =是A 中元素ij a 在T A 中的代数余子式.由于ij a 在A 中的代数余子式与ij a 在T A 中的代数余子式互为转置行列式，故ij ij B A =.从而()()TT A A **=.（法二） 由性质2注（1），()()()()()*111*T T T TTTA A A A A A A A ====---.性质 5 ()***A B AB =证明 由性质1注（1），()()**11111*A B A A B B A B B A AB AB AB =⋅===-----.推广 设n A A A ,,21均为n 阶方阵()1>m ，则()*1*2**21A A A A A A m m =，特别地，()()mm A A **=，m 为正整数.3.2 伴随矩阵秩的性质矩阵的秩是矩阵的重要特性，若以()A R 表示矩阵A 的秩，则有以下结论:定理2［3］设A 是n 阶矩阵，则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1,0;1,1;,*n A R n A R n A R n A R证明 （1）当()n A R =时，0≠A ，由性质2，01*≠=-n AA ,所以()n A R =*.（2）当()1-=n A R 时，有0=A .于是，由0*==E A AA 知*A 的列向量都是方程组0=AX 的解.由于()1-=n A R ，则齐次线性方程组0=AX 的解向量组的秩为1)1(=--n n ，知*A 的列向量组的秩为1，即列秩为1，故()1*=A R .(3) 当()1-<n A R 时，*A 的每一个元素),2,1,(n j i A ij =都是0，因为A 没有不为0的1-n 阶子式，故()0*=A R . 性质6 ()A AA n 2**-=，特别，当2=n 时，()A A =**.证明 当A 可逆，即0≠A 时，由性质1得()()E A A A ****=. 所以，()()A A A AAA A A n n 211****1---=⋅⋅==. 当A 不可逆，即0=A 时，()()0**=A R ,所以()O =**A .因此()A AA n 2**-=.性质7 设n 阶矩阵A 的秩是()2≥n n ，那么存在数k 使得()*2*kA A =.证明 由定理2得，()1*=A R ，于是必存在*A 的一个列向量()Tn a a a 21使得()n n b b b a a a A 2121*⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 因此，()()()n n n n b b b a a a b b b a a a A 212121212*⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=()*21121kA b b b a b a a a n n i i i n =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑= ，这里 ∑==ni i i a b k 1.3.3 伴随矩阵特征值的性质性质8 设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值，则λA为*A 的特征值.证明 因为1*-=A A A ，又λ1为1-A 的特征值，故存在非零向量a ，使得a a A λ11=-，即a Aa A A λ=-1，从而a Aa A λ=*，故λA为*A 的特征值.性质9 设n 阶可逆矩阵A 的特征根为n 个非零实数n λλλ ,,21，则*A 的特征根A A A n 11211,,---λλλ .证明 在()n i a Aa i i i ,2,1==λ两边左乘，利用E A A A =*得到i i i a A Aa A **λ=，所以i i i a A a A 1*-=λ故()n i A i ,2,1=λ为*A 的特征值.3.4 特殊矩阵的伴随矩阵的性质性质10 A 可逆的充分必要条件是*A 可逆.证明 必要性 由性质1知，E A A A AA ==**.若A 可逆，则0≠A .所以，E A A A A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**.由可逆矩阵的定义可知*A 可逆.充分性 欲证命题成立，只需证其逆否命题成立.即需证若A 不可逆则*A 也不可逆.即证若0=A 则0*=A .用反证法.假设0*≠A ，则*A 可逆.由0*==E A AA 得，()()O =⇒O =⇒O =--A A A AA 1*1**由伴随矩阵*A 的定义可知O =*A 与0*≠A 矛盾.故假设不成立，原命题成立. 综上所述，A 可逆⇔*A 可逆.性质11 若A 对称，则*A 也对称.证明 设()ij a A =,因为A 是对称的，所以T A A =.因此ji ij a a =且ji ij A A =. 从而，()TA A **=,即*A 是对称的.性质12 设A 可逆，若*A 是对称矩阵，则A 为对称矩阵. 证明 ()()()()()[]T TTT A A A A A A AA AA ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===----------111*11*11*111所以，A 为对称矩阵.性质13 若A 为n 阶反对称矩阵，则当n 为偶数时，*A 仍为反对称矩阵；当n 为奇数时，*A 为对称矩阵.证明 由性质3知，()(),1*1*A A n --=-又A A T -=,由性质4得，()()()()*1***1A A A A n T T--=-==. 所以，当n 为奇数时，()**A A T=,此时*A 是对称方阵; 当n 为偶数时，()**A A T-=，此时*A 是反对称方阵.性质14 上（下）三角矩阵的伴随矩阵仍为上（下）三角矩阵.证明 设()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯nn n n n n nn ij a a a a a a a a a a A 212222111211,当j i >时，0=ij a .直接计算得，()0=ij A ,j i <.即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n A A A A A A A 00022212111*,则*A 亦为上三角矩阵.同理可证，若A 为下三角矩阵，则*A 也为下三角矩阵. 推论2.2 对角矩阵的伴随矩阵仍为对角矩阵. 性质15 若A 为*A 正交矩阵，则*A 也为正交矩阵. 证明 *A 为正交矩阵⇔E AA T =,而()()()E E A A A A A A TTT====******.所以，*A 也为正交矩阵.性质16 若矩阵A 与B 相似，则*A 与*B 也相似.证明 因为A 与B 相似，所以存在可逆矩阵P 使得BP P A 1-=, 于是，()()P B P P P B P P P B P BP P A *1*1*1***1*----====,因此，*A 与*B 也相似.推论 可对角化矩阵的伴随矩阵仍为可对角化矩阵. 性质17 若A 是正定的，则*A 也是正定的.证明 因为A 是正定的，所以存在可逆矩阵P 使E AP P T =,则有()E E AP P T ==**. 而()()()E P A P P A P AP P TTT ===*******,因此，*A 也是正定的.性质18 若矩阵A 与B 合同，且A 与B 可逆，则*A 与*B 也合同.证明 因为A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P 使B AP P T =.又A 与B 可逆，则有()()()11111111--------===B P A P P A P APPTTT,即11--=B C CA T .其中1-=P C .又B A P AP P T ==2,则()()11--=⋅⋅B B C P A A C P T,即**B Q A Q T =,其中C P Q =是可逆矩阵.故*A 与*B 也合同.性质19 若A 是对合矩阵，即E A =2,则*A 也是对合矩阵.证明 由E A =2知，1±=A ，所以A 可逆.于是11*--±==A A A A .又由E A =2知，()E A =-21,从而()()()E A A A ==±=--21212*.因此，*A 是对合矩阵.性质20［4］ 设A 是幂等矩阵，即A A =2,若()n A R =或()1-<n A R ，则*A 亦为幂等矩阵.证明 当()1-<n A R 时，O =*A .命题显然成立.当()n A R =时，A 可逆，1=A 且()121--=A A ,即1-A 为幂等矩阵,于是由11*--==A A A A 知*A 为幂等矩阵.性质21［4］设A 是幂幺矩阵，即E A k =，则当1=A 时，*A 为幂幺矩阵；当1-=A 时，*A 为幂负幺矩阵.证明 由于E A k =，所以1±=A ，11*--±==A A A A , 于是()()()E A A A k kk±=±=±=-1*,因此当()E A k=*时，*A 为幂幺矩阵；当()E A k-=*时，*A 为幂负幺矩阵.性质10~21说明的伴随矩阵继承了A 的许多性质，这里所谓的继承是指A 具有某种性质P ，则*A 也具有性质P .这些性质包括矩阵的对称性，正定性，正交性等重要性质，对于这些性质，A 与*A 同时具有或同时不具有，也即*A 具有这些性质的条件是A 也具有这些性质.4 伴随矩阵的性质的简单应用例3.1 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300041003A ，求()12--E A .解 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1000210012E A , 21000210012==-E A , ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2000110022*E A 可得，()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=--=--100021210012212212**1E A E A E A E A .例3.2 已知三阶矩阵()33⨯=ija A 满足条件：（1）)3,2,1,(==j i A a ij ij ，其中ij A 是ij a 的代数余子式； （2）011≠a ，求A .解 由条件（1）知T A A =*,再由性质2得，2*A A A A T ===,所以0=A 或1. 又0212122111112121111≠++=+++=n n n a a a A a A a A a A ，故1=A . 例3.3［3］ 设三阶实可逆矩阵A 的特征值为1,4,1321-=-==λλλ，求： （1）()*2162A A --的特征值；（2）行列式2*32A A +的值.分析 利用*1),(,A A f A -与A 的特征值的关系. 解 设λ为A 的特征值，则λ1为1-A 的特征值，)(λf 为)(A f 的特征值.由性质8，λA 为*A 的特征值.（1） 设λ为A 的特征值，x 是属于λ的特征向量，则x Ax λ=，由此可得()x x A 22122λ=-，x Ax A λ66*=，则 ()()x A x A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--λλ62622*21.又4321==λλλA ，设()λλλ2422-=g ，则()*2162A A --的特征值为()()()26,849,22321==-=λλλg g g . （2）同（1），可求得2*32A A +的特征值为5,46,11-,故()253054611322*-=-⨯⨯=+A A .结束语在学习伴随矩阵时，大家对求伴随矩阵的求法比较熟悉，但往往不会利用伴随矩阵求矩阵的逆，甚至有时候不会求伴随矩阵的秩，特征值并且对一些特殊矩阵的伴随矩阵存在一些疑虑.本文就这些问题进行了讨论，并举例进行了简单的练习，使伴随矩阵这个概念比较完整地呈现在我们面前，为我们以后进一步学习高等代数奠定了理论基础.参考文献［1］张志让，刘启宽.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2008.71.［2］赵建中，叶红萍.伴随矩阵的一些性质［J］.皖西学院学报:2004，20(5):12.［3］郑素文.线性代数与应用［M］.北京：中国水利水电出版社，2005.77-78,232-233.［4］吕兴汉.关于伴随矩阵性质的进一步讨论［J］.中国科技信息:2006（22）:323.致谢本论文是在高艳春老师的悉心指导下完成的.从论文的选题到完成，都倾注了高老师的大量精力和心血.至此论文完成之际，谨向给予我帮助和指导的高老师致以最真挚的感谢！9。