椭圆的简单几何性质试题
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
课时作业(八)
[学业水平层次]
一、选择题
1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为3
5的椭圆的标准方程是( )
A.x 2100＋y 2
36＝1 B.x 2100＋y 2
64＝1 C.x 225＋y 2
16＝1
D.x 225＋y 2
9＝1
【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得 b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝3
5，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2
16＝1，故选C.
【答案】 C
2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A.12
B.13
C.14
D.22
【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝1
2. 【答案】 A
3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2
25－k
＝1(0<k <9)的关系是( )
A ．有相等的焦距，相同的焦点
B ．有相等的焦距，不同的焦点
C ．有不等的焦距，不同的焦点
D ．以上都不对
【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 2
25－k ＝
1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.
【答案】 B
4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2
3＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( )
A.5
13 B ．－513 C.21313
D ．－21313
【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝
a 2－
b 2＝
4－3＝1.
不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2
3＝1，
解得y 0＝±3
2，
所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＝13
2. 由余弦定理知
cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2
2|OM ||ON |
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1322＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1322－322×132×132＝－513.
【答案】 B 二、填空题
5．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．
【解析】 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝1
2.
【答案】 1
2
6．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝________.
【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点M ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22，得k AB ＝y 2－y 1
x 2－x 1
，
k OM ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，k AB ·k OM ＝y 2
2－y 21
x 22－x 21，
b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2
，
得b 2(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 2
1)＝0，即y 22－y 21x 22－x 2
1
＝－b 2a 2. 【答案】 －b 2
a 2
7．(2014·天津高二检测)已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y
22＝1上的一个
动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．
【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y
2
2＝1上的一个动点，所以m 2＋n
22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所
以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.
【答案】 [1,2] 三、解答题
8．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为5
5的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，
∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∵e ＝
c a ＝5
5，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 2
20＝1. (2)因椭圆的焦点在x 轴上，
设它的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∵2
c ＝8，∴c ＝4， 又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的方程为x 236＋y 2
20＝1.
9．(2014·菏泽高二检测)设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率．
【解】 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限，由题意，点P 的横
坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22
a 2＋y 2
b 2＝1，y 2＝3
4b 2，即
P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2，32
b ，又∠OP A ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝3
2b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝
a 2－
b 2a ＝(3b )2－b 23b
＝22
3. [能力提升层次]
1．(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A.2
2 B.2－1 C ．2－ 2 D.2－1
2
【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)， 由题得|PF 2|＝b 2
a ＝2c ， 即a 2－c 2
a ＝2c ，
得离心率e ＝2－1，故选B. 【答案】 B
2．(2014·清远高二期末)“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2
m ＝1的离心率为1
2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 椭圆x 24＋y 2m ＝1离心率为1
2， 当0<m <4时，
4－m 2＝1
2，得m ＝3，
当m >4时，
m －4m
＝12，得m ＝16
3， 即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为1
2”的充分不必要条件．
【答案】 A
3．(2015·济南历城高二期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →
，则椭圆的离心率是________．
【解析】 由AP →＝2PB →
，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ，
则离心率e ＝1
2. 【答案】 1
2
4．(2014·青海省西宁)已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 2
20＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .
(1)求点P 的坐标；
(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．
【解】 (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，
则AP →＝(x ＋6，y )，FP →
＝(x －4，y )．
由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 236＋y 220＝1，
(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，
则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝3
2或x ＝－6.
由于y >0，只能取x ＝32，于是y ＝5
2 3.
所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，523.
(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，
则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|
2，又B (6,0)， 于是|m ＋6|
2＝|m －6|， 又－6≤m ≤6，解得m ＝2，
设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2
＝(x －2)2
＋y 2
＝x 2
－4x ＋4＋20－59x 2
＝49⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －922
＋15， 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝9
2时，d 取最小值15.。