4．平面的基本性质陈丽萍 学习目标1．了解平面的定义，理解平面的基本性质．2．理解三条公理和三条推论，并能运用它找出两个平面的交线，解决“三线共点”和“三点共线”的问题． 一、夯实基础 基础梳理公理1：如果一条直线上的___________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

符号表示：A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂，，，．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条___________的直线。

符号表示：P α∈，且P l βαβ∈⇒=，且P l ∈。

公理3：经过______________三点，有且只有一个平面。

符号表示：点A 、B 、C 不共线，⇒存在唯一平面α，使A b C ααα∈∈∈，， 基础达标1．两个平面的公共点可能是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0或无数个 2．点P 在直线l 上，而直线l 在平面α内，用符号表示为（ ） A ．p l l α⊂⊂， B ．p l l α∈∈， C ．p l l α⊂∈， D ．p l l α∈⊂， 3．下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②两个平面有三个公共点，它们必然重合； ③三条直线两两相交，它们必在同一平面内；④一条直线与两条平行直线都相交，这三条直线必在同一平面内； ⑤一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑥三角形是平面图形； ⑦四边表是平面图形；⑧平行四边形、梯形都是平面图形； ⑨两组对边相等的四边形是平行四边形。

其中正确的命题是_______（填序号）4．下面是四个命题的叙述语（其中A 、B 表示点，a 表示直线，α表示平面） ①A B AB ααα⊂⊂∴⊂，；②A B AB ααα∈∈∴∈，；③A a a A αα∉⊂∴∉，；④A a a A a α∉⊂∴∉，。

其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_____________。

5．求证：三角形是平面图形。

二、学习指引 自主探究1．请谈谈三个公理的作用公理1作用：_______________________________________． 公理2作用：_______________________________________．公理3作用：_____________________________________________。

2．（1）一个平面把空间分成_________两部分，两个平面把空间最多分成________部分，三个平面把空间最多分成__________部分。

（2）用一个平面去截一个正方体得到的截面是多边形，其中边数最多的是____边形。

3．如图，在正方体ABCD A B C D 1111-中，P 、Q 分别是棱AA 1，CC 1中点。

研究： （1）直线DP 与在直线A B 11是否相交？如果相交，请画出交点。

（2）平面DPQ 与平面A C 11是否有公共直线？如果有，请说明理由，作出这条直线并判断该直线是否经过点B 1．（3）画出平面DPQ 截这个正方体所得的截面并判断该截面的形状．案例分析1．经过空间中3个点的平面（ ）． A ．有且只有1个 B ．有且只有3个 C ．1个或无数个 D ．有0个 【答案】C ．2．直线上有一个点不在平面内，这条直线与这个平面的公共点有___________个． 【解析】考虑直线与平面平行或相交，答案为0或1个． 3．如图，在正方体ABCD A B C D 1111-中。

（1）在图l 中作出平面ACD 1与平面BDC 1的交线；（2）P Q R ，，分别是相应棱的中点，试在图2中过这三点作截面。

【解析】（1）如图，MN 即为所作．（2）如图，向两边延长线段PQ ，交上底面的棱所在直线于点E ，F ，依此方法作图，最终可得一个六边形。

说明：作几何体的截面，根据直线与平面特征，遵循“能连则连，能延则延”的原则． 4．求证：两两平行的三直线如果都与另一条直线相交，那么这四条直线共面． 【解析】已知：////.a b c a d A b d B c d C ===，，， 求证：a 、b 、c 、d 共面。

证明：因为//a b ，由推论3可知直线a b ，可确定一个平面，设为α。

a d A b d B A a B b ==∴∈∈，，，。

由公理1可知：d a ⊂。

//b c ，由推论有可知直线b c ，可确定一个平面，设为β。

同理可知：d β⊂。

平面α和平面β都包含直线b 和d ，且b d B =，所以由推论2可知：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

∴平面α和平面β重合。

所以a 、b 、c 、d 共面。

5．点A ∉平面BCD E F G H ，，，，分别是AB BC CD DA ，，，上的点，若EH 与FG 交于P ，求证：P 在直线BD 上。

【解析】证明：EH FG P =， P EH P FG ∴∈∈，，E H ，分别属于直线AB AD ，，EH ∴⊂平面ABD P ∴∈，平面ABD ， 同理：P ∈平面CBD ，又平面ABD 平面CBD BD =， P ∴在直线BD 上。

三、能力提升1．空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ） A ．一个 B ．四个 C ．六个 D ．八个2．平行六面体ABCD A B C D 1111-中既与AB 共面又与CC 1共面的棱的条数为___________。

（底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体）3．如图所示，正方体ABCD A B C D 1111-中，A C 1与截面DBC 交于O 点，AC BD ，交于M 点，求证：C O M 1，，三点共线。

拓展迁移4．在三棱锥A BCD -中，作截面PQR ，若PQ CB ，的延长线交于M RQ DB ，，的延长线交于点N RP DC ，，的延长线交于点K 。

求证：M N K ，，三点共线。

5．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足:::AE EB CF FB ==21，::CG GD =31，过E 、F 、G 的平面交AD 于H 。

连接EH 。

（1）求:AH HD ；（2）求证：EH 、FG 、BD 三条直线交于同一点。

挑战极限6．在棱长为a 的正方体ABCD A B C D 1111-中，P ，Q ，R 分别是棱CC A D A B 11111，，的中点，画出过这三点的截面，并求这个截面的周长。

课程小结利用平面基本性质证明“线共点”或“点共线”问题：1．证明共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上． 2．要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．3．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余线（或点）均在这个平面内：②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合。

４．平面的基本性质 一、夯实基础 基础梳理１．２．公理１：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．符号表示：A l ∈，B l ∈，且A α∈，B l αα∈⇒⊂．公理２：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条经过这个公共点的直线．符号表示：P α∈，且P l βαβ∈⇒=，且P l ∈．公理３：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．符号表示：点A 、B 、C 不共线，⇒存在唯一平面α，使A α∈，B α∈，C α∈ 基础达标１．Ｄ． ２．Ｄ． ３．⑥． ４．④． ５．已知：三角形ABC ，求证：三角形ABC 是平面图形．证明：∵三角形ABC 的顶点A 、B 、C 不共线 ∴由公理３知，存在平面α使得A 、B 、C α∈ 再由公理１知，AB 、BC 、CA α⊂∴三角形ABC 上的每一个点都在同一个平面内 ∴三角形ABC 是平面图形． 二、学习指引 １．（１）公理１的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．（２）公理２的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线． （３）公理３的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件． ２．（１）２,４,８．（２）六． ３．（１）不相交．实际上，延长DP ，它与直线11D A 相交．（２）延长DP 、DQ ，分别与11D A 、11D C 相交于两点，连接这两点，可证直线过点1B ． （３）由（２），改截面经过1B ，于是连接D ，P ，1B ，Q 四点，得到截面，它是一个平行四边形． 三、能力提升 １.Ｃ．２.５.如图，与AB 和1CC 都相交的棱有BC ； 与AB 相交且与1CC 平行的棱有1AA ，1BB ；与AB 平行且与1CC 相交的棱有CD ，11C D ，故符合条件的棱共有５条． ３．易知截面1BDC 与平面11A ACC 有公共点1C 、M ∴截面1BDC 与平面11A ACC 有公共直线1C M ． ∵O 为1A C 与截面1DBC 的交点， ∴O ∈平面11A ACC ，O ∈平面1DBC ， 即O 也是两平面的公共点，∴O ∈直线1C M ，即1C ，O ，M 三点共线．４．证明：∵PQ BC M =，BC 在平面DBC 内， ∴M ∈面DBC ，M ∈面PQR ，∴M 点在平面DBC 与平面PQR 的交线上，同理可证：N 、K 也在平面DBC 与平面PQR 的交线上， ∴M 、N 、K 三点共线．５．（１）∵2AE CFEB FB==．∴//EF AC ． ∴//EF 平面ACD ．而EF ⊂平面EFGH ，且平面EFGH 平面ACD GH =，∴//EF GH ． 而//EF AC ，∴//AC GH ．∴3AH CGHD GD==，即:3:1AH HD =． （２）证明∵//EF GH ，且13EF AC =，14GH AC =， ∴EF GH ≠，∴四边形EFGH 为梯形．令EH FG P =，则P EH ∈，而EH ⊂平面ABD ，P FG ∈，FG ⊂平面BCD ， 平面ABD 平面BCD BD =，∴P BD ∈．∴EH 、FG 、BD 三线共点．６．如图所示，连接QR 并延长，分别与11C B ，11C D 的延长线交于E ，F 两点． 连接EP 交1BB 于M 点，连接FP 交1DD 于N 点．再连接RM ，QN ，则五边形PMRQN 为过三点P ，Q ，R 的截面． 由Q ，R 分别是边11A D ，11A B 的中点，知1QRA △≌1ERB △，∴1112B E QA a ==，由1EB M △∽1EC P △，知11::1:3EM EP EB EC ==，（９分）23PM EP ==，同理PN PM ==，，易求RM QN ==，2QR =，∴五边形PMRQN 的周长⎫⎪⎪⎭。