“＝”当且仅当a b时成立，此时d min
a 2 1 2b2 a 1 a 1 或 r 2 b 1 b 1 a b 2 2 所求圆方程： x 1 y 1 2或( x 1)2 ( y 1)2 2
一、到圆心距离的最值问题; 二、到圆上一点距离的最值问题;
三、与圆上一点的坐标有关的最值问题; 四、与圆半径有关的最值问题.
一、到圆心距离的最值问题：
例1：已知P是直线3x 4 y 8 0上的动点，PA, PB
2 2
是圆x y 2 x 2 y 1 0的两条切线,A, B是切点， C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
2 2
9 12 2 2 易求得P , 时,x y 最小为20 5 5 21 28 2 2 求得P , 时,x y 最大为100 5 5
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y
法二：x 2 y 2 ( x 2 y 2 )2 可看作圆 x ( y 1) 1上的点到坐标原点距离
2 2
y
1
的平方的最值，亦可求解
o
x
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y （2）x y
2 2
解：（3）法一：由（）知 1 : 3 sin k , 得 sin k cos k 3 1 cos
点评：在线性规划中，求形如 x a y b 的
2 2
最值问题，总是转化为求圆 x a y b r
2 2
2
半径平方的最值问题。
练习2：已知圆C：x y 2 x 4 y 3 0
2 2
1 .若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，
1 1 2 2 a b 3 .SAOB ab 2 2 1 a b a 2 b 2 3
3 2
a 2 b 2 3 2
2
SAOB的最小值为3 2 2
练习3：已知ABC三个顶点坐标A 0, 0 , 求以PA, PB, PC为直径的三个圆面积之和 的最大值和最小值。
3 x 2y 2
3 PM PO x y 2 y y 2 2
2 2 2
9 5y 6y 4
2
6 3 当y 时， PM 最小， 10 5 3 3 3 3 3 x 2 P , 5 2 10 10 5
1 1 a 1或a 3
切线方程为x y 1 0或x y 3 0 总之，所求切线方程为y 2 6 x,


x y 1 0或x y 3 0
2 .连结MC, 则 PM
2
2
PC MC
2 2
2
2
PM PO PC MC PO 2 2 2 2 即k x 1 y 2 2 x y
5 5
由解法二同样可得
sin 2 令 k cos 0 k可看成单位圆x 2 y 2 1上动点P(cos ,sin )
与定点Q(0, 2)连线的斜率 3 或 时,PQ与单位圆相切， | k | 取到最小
4
5 sin 2 d 5 cos
O
X 4x+3y=12
由图观察知，当圆与直线4 x 3 y 12 0 相切是，半径r最小，即r 2最小。
由圆心到直线的距离等于半径，得： 4 3 1 2 r 25 1 2 2 x 1 y 3 的最小值 25
2 2
d
4 9 12
1 r 5
2
2 .设AB中点为M x, y
则由中点坐标公式得
a x 2 a 2 x y b b 2 y 2
代入 1的结论: 2 x 2 2 y 2 2 1 x 1 y 解：圆心C 0, 0 ,半径r 1, 作 CH l 与H
求圆上一点P到Q的距离可以转化为 圆心C到Q的距离 CQ ，而 CQ 的最小 值就是圆心到直线的距离 CH .
PQ CQ 1 CH 1 005 1 2
2 2
1 5 1
PQ 的最小值为 5-1
例5：已知与曲线C：x y 2 x 2 y 1 0
2 2
相切的直线l交x轴,y轴于A, B两点，O为原点, OA a, OB b a 2, b 2 .
1 .求证曲线C与直线l相切的条件是 a 2 b 2 2； 2 .求线段AB中点的轨迹方程； 3 .求AOB的面积的最小值。
解：已知圆可化为： x 1 y 1 1
2 2
圆心C 1,1 , 半径r 1
SPACB 2SPAC PA AC PC r r
2 2
PC 1
2
求S PACB的最小值就是求 PC 的最小值， 而 PC 的最小值就是圆心到直线的距离.
求切线的方程；
2 .从圆C外一点P x, y 向圆引切线PM ，
求使 PM 最小的点P的坐标。
M 为切点，O为坐标原点，且 PM PO ，
解： 1 .圆C可化为： x 1 y 2 2
2 2
圆心C 1, 2 , 半径r 2 设圆C的切线在x轴和y轴上的截距分别为a、b 当a b 0时，切线方程可设为y kx
d
3 48
2 2
3 4 所求面积的最小值为 S 9 1 2 2
3
点评：求切线长时总是转化为 到圆心的距离和半径来求解。
二、到圆上一点距离的最值问题：
例2：已知P是圆x y 1上一点，Q是直线
2 2
l : x 2 y 5 0上一点，求 PQ 的最小值。
练习4：设圆满足： (1)截y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两圆弧，其弧长比为3 :1。 在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到 直线l : x 2 y 0的距离最小的圆的方程。
5d | a 2b | a 4ab 4b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a 4b 2(a b ) 2b a 1
即kx y 0 由点到直线的距离公式得：
2 k 2 k 1
2 2
k 2 6
切线方程为y 2 6 x


x y 当a b 0时，切线方程可设为 1 a b 即x y a 0 由点到直线的距离公式得：
2
1 2 a
2 2
y
1
o
P ( 1,2 )
x
四、与圆半径有关的最值问题：
x0 2 2 例4：设x，y满足 y x 求 x 1 y 3 的最小值。 Y 4 x 3 y 12 Y=X
解：设 x 1 y 3 r
2 2 2
则圆心C 1,3 ,半径为r.
2 2
S 4 2
2 2 2 2 2 2 x y x 4 y x y 3

PA 4
PB PC


0 x 2

11 x 当x 0时，S
max
11 9 ；当x 2时，S min 2 2
练习4：设圆满足： (1)截y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两圆弧，其弧长比为3 :1。 在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到 直线l : x 2 y 0的距离最小的圆的方程。
x y 1 .证明：直线l的方程为 1 a b 即bx ay ab 0 曲线C的方程为 x 1 y 1 1
2 2
圆心 1,1 到直线的距离等于1的 a b a 2 b 2 2
2
充要条件是1
a b ab
2 2 2 2 2 2
2
2
2 x y 1
2 2
上式中x y 相当于在 x 3 y 4 4
2 2 2 2
上的点P到原点O的距离的平方。
作图不难知道，当O 0,0 , P x, y , 3, 4 共线时, x y 有最值。
d min
所求圆方程： x 1 y 1 2或( x 1)2 ( y 1)2 2
由已知应有圆C 截x轴所得劣弧的圆心角为 2 2 故 | b | r即2b 2 r 2 2
解法一：设圆心C(a, b),半径r, 则C到x轴,y轴距离分别为 | b |,| a | .

截y轴所得弦长为2 得a 1 r 得a 1 2b
2 2
2
2
| a 2b | 圆心C到直线l : x 2 y 0的距离 d 5
y2 （3） x 1
即 1 k 2 sin( ) k 3 k 3 k 3 4 sin( ) ,则 1, k 3 1 k 2 1 k 2 y2 4 有最小值为 ，无最大值 x 1 3
y 2 y (2) 法二： 可看作圆 x 1 x (1) x 2 ( y 1) 2 1上的点与P(1, 2)两点的 连线的斜率最值，结合图形可求解
练习1：求实数x, y满足x ( y 1) 1,
2 2
求下列各式的最值： （） 1 3x 4 y （2）x y
2 2
解：（2）法一：由（）知 1 :
2 2