线l1，l2 , l1交圆C与E、F两点，l2交圆C与G、H两点，
(1)EF GH的最大值
y
(2)求四边形EGFH面积的最大值。 E
H
M
C
O
x
A
N
F
G
解：（1）令圆心C到弦EF的距离为 d1,到弦GH的距离为 d2
则EF+GH 2( 4 d12 4 d22 ) 又d12 d22 CA2 1
PA AC 2

PA
1
P
CB

SPAC
SPAB

2SPAB

2
PA 2
AC

PA
A
由变式2可知， PAmin 7
O
BC
x
故四边形PACB面积的最小值为 7
方法小 结
总结：求圆上动点到定 直线的距离的最值可转 化为
求圆心到定直线的距离
若直线与圆相离，则圆 上点与直线的 最大距离 dmax d / r 最小距离 dmin d / r
与圆有关的最值问题
一：圆上一点到直线距离的最值问题 二：抓住所求式的几何意义求最值 三：向函数问题转化 四：向基本不等式转化
类型一：圆上一点到直线距离的最值问题
例1：已知P为直线y x 1上任一点，Q为圆C：(x 3)2 y2 1上任一点，
则| PQ |的最小值为
最大值为
PQ PC r 2 2 1
例2：若实数x, y满足x2 y2 2x 4 y 0,
求下列各式的最值：
(2) y 1
y
x2
C
A
·
O
x
k [2, ) (, 1] 2
例2：若实数 x, y满足x2 y2 2x 4 y 0,
求下列各式的最值：
(3)( x 2)2 ( y 1)2
PA2 PC2 r2 PC2 1
PCmin 2 2 PAmin 7
y
P A
O
C
x
变式3：已知P点为直线y x 1上一动点，过P作圆 C：(x 3)2 y2 1的切线PA, PB, A、B为切点，
则当PC为何值时，APB最大。
y
APB APC
sin APC 1 PC
P A
PCmin 2 2
O
BC
x
PC 2 2时，APB最大。
变式4：
已知P为直线y x 1上一动点，过 P作圆C：(x 3)2 y2 1
的切线PA, PB，A、B为切点，则四边形 PACB面积的最小
值为
y
1
S四边形PACB

SPAC
SPBC

2SPAC
2
A、B为两切点，则 PA PB的最小值为
A
O
P
B
解：令APB 2 ( (0, ))
2
PA PB PA PB cos 2
PA PB 1
tan
， PPAPAAPPBPBBctctaoaocntsnaso22n2s222ccoocsso2s2ssi2insni2cn2co2ocsso2s22(1(1(1ssiinsni2n2s2si)ins)(n1i(2)1n2(12 22s2siinsni2n22 )) )
y
15 2 50 ,15 2 50
C
A
·
O
x
例2：若实数x, y满足x2 y2 2x 4 y 3 0, 求下列各式的最值：
(4) | x y 1|
y
x y 1 [4 10, 4 10]
C
O
x
方法小 结
①形如 y b 形式的最值问题，可转化为动直线
（其中d /表示圆心到定直线的距 离）
类型二：抓住所求式的几何意义求最值
例2：若实数x, y满足x2 y2 2x 4 y 3 0, 求下列各式的最值：
(1)x 2 y (3)(x 2)2 ( y 1)2
(2) y 1 x2
(4) | x y 1|
例2：若实数x, y满足x2 y2 2x 4 y 0,
由 4 d12 4 d22 8 (d12 d22 ) 8 1 14
2
2
22
（当且仅当
d1 d2 ，
2 2
时取等号）
则EF+GH
2
81 2
14
（2）∵ EF GH
∴
S四边形EFGH

1 2
EF GH

2
4 d12
4 d22
2 8 (d12 d22 ) 7 2
，
令sin2 t(t 0) 则则PPAAPPBB((11tt))((1122tt)) 22tt113322 2233
，
tt
tt
（当且仅当 t
2 2
，即 sin2
2 2
时取等号）
类型四：向基本不等式转化
例4：
已知圆C：(x 2)2 y2 4,过点A(1,0)做两条相互垂直的直
y
PQ PC r 2 2 1
P
M
Q
O
C
x
N
变式1：已知A(0，1)，B(2，3),Q为圆C：(x 3)2 y2 1上任一点， 则SQAB的最小值为
y
B
A
Q
O
C
x
SVQAB

1 2
AB
hQ

2hQ
2(2 2 1) 4
2
变式2：由直线y x 1上一点向圆C：(x 3)2 y2 1引切线， 则切线长x 2 y
解：令 x 2 y z则 y 1 x 1 z
22
由题意，当直线的纵截距最小时，
C
O
x
z最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离
5 z
d
5
故z 0或 10
5
由题意， zmax 0 即x-2y的最大值为0．
zmin 10 即x-2y的最大值为-10．
（当且仅当
d1 d2 ，
2 2
时取等号）
小结
圆的最值问题常见的解法有两种:几何法和代数法.
xa
斜率的最值问题；
②形如 t ax by 形式的最值问题，可转化为动直线
截距的最值问题； ③形如 m (x a)2 (y b)2 形式的最值问题，可转化为圆心
动点到定点距离平方的最值问题；
x2 y2 1
类型三：向函数问题转化
例3（ 2010全国理科）
已知圆O： x2 y2 1 ，PA、PB为该圆的两条切线，