1018.0
6650
0
110
9100
55
385
42350
表3.1的左边以 来进行自变量 的取值，求得 ， ， 。表3.1的右边以0，1，2，…，10对自变量 进行取值，并求得 ， ， 。
3) 确定待定系数，建立预测模型。
1按表3.1左边的编号方法，有
= =604.5, = .
直线方程为
=604.5+82.7 (3.1.8)
(3.1.6)
(3.1.7)
3．拟合直线方程法的预测步骤
例3.1某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料如（表3.1）所示，试预测当时间变量的编号分别为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5和0，1，2，3，4，5，6，7，8，9时，2004、2005年企业的利润各为多少万元？
(3.1.2)
(3.1.3)
将式(3.1.2)和式(3.1.3)联立求解，得：
(3.1.4)
(3.1.5)
式中 ，
此处我们要注意到，自变量 的取值为1到 ,也就是说，自变量 的取值等于其下标 ，如 ， 。而实际上，从直线趋势法的原理来讲，时间变量 的取值代表的是时间变量的编号，而这种编号并不一定要从1开始。还可以从任一个自然数开始顺序编号，如 ， 。所以，我们可以利用这样的便利减少我们的工作量，这种方法称之为正、负对称编号法。即当时间序列的数据长度 为奇数时，取中数 的编号为0，那么 就构成了以0号为中心的正、负数对称的顺序编号，也就是令 ，使得 。如 ， ，那么 的取值为 ，此时显然有 ，从而达到简化计算的目的。使用正、负对称编号法时，式（3.1.4）、(3.1.5)可以简化为：
即该家用电器在2004、2005年的利润分别为1105.6、1189.26万元。
4． 结论分析
比较例3.1与例3.2的预测结果，可以发现，由于时间序列数据的线性趋势比较明显，又由于加权拟合直线法的加权系数取值比较大（ =0.8），使得加权与不加权两种拟合直线法的预测结果很接近。但就一般而言，由于加权拟合直线法按重近轻远的赋权原则，使其预测结果更接近于实际观察值。而且随着 取值越小，对近期数据所赋权数就越大，因此近期预测值就越接近实际观察值。但是，要选择一个比较合适的 值也是一个比较困难的事，一般要经过若干次试探，使得加权离差平方和 达到最小为好。
解：
1) 绘制时间序列数据散点图。观察各散点的变化趋势是否可用直线方程来拟合。
2) 列表计算求待定系数所需的数据资料。
=191.0+82.7 (3.1.9)
表 3.1某家用电器厂1993～2003年年利润及拟合直线方程法计算表（单位：万元）
年份
利润额y
1993
200
-5
25
-1000
191.0
0
0
0
1999
700
1
1
700
687.2
6
36
4200
687.2
2000
750
2
4
1500
769.9
7
49
5250
769.9
2001
850
3
9
2550
852.6
8
64
6800
852.6
2002
950
4
16
3800
935.3
9
81
8550
935.3
200310205来自2551001018.0
10
100
10200
191.0
1994
300
-4
16
-1200
273.7
1
1
300
273.7
1995
350
-3
9
-1050
356.4
2
4
700
356.4
1996
400
-2
4
-800
439.1
3
9
1200
439.1
1997
500
-1
1
-500
521.8
4
16
2000
521.8
1998
630
0
0
0
604.5
5
25
3150
604.5
191+82.7×12=1183.4(万元)
可见，由于两种时序列编号方法不同，两条直线方程式（3.1.8）与（3.1.9）的截距不同。但斜率相同，两个拟合直线方程所求得的预测结果完全一样。请读者自己将数据的散点图及拟合曲线画在同一坐标系中，观察其中的异同。
4．拟合直线方程法的特点
拟合直线方程的一阶差分为一常数。直线方程为： ,其一阶差分为
1) 列表计算有关数据。按式（3.11）与式（3.12）的要求，分别计算各年的 , , ， ， ， ，并加总求和，然后代入上式，有：
联立求解得 ， ，故预测模型为
(3.1.13)
2）预测值。
当 时， =101.68＋83.66×12=1105.6(万元)
当 时， =101.68＋83.66×13=1189.26(万元)
3.1.1
时间序列的变化趋势从图形上看，就是序列呈现某种增长或衰减的趋势，这种趋势是长期趋势。尽管时间序列的项值是各方面因素综合作用的结果，但序列呈现的线性趋势，说明其中有的因素是长期起决定作用而致。必须把这个长期趋势研究清楚，才能进行外推预测。
线性趋势预测的基本思想就是假定影响时间序列的项值的主要因素过去、现在和将来都大体相同，因而只要将其趋势直线加以延伸，便可预测未来的项值。一般而言，这种预测方法只适用于短期或经济平稳发展时期的预测。
趋势外推预测法是研究变量的发展变化相对于时间之间的函数关系。根据函数关系的形态不同，可分为直线趋势外推预测法、曲线趋势外推预测法。
3.1
直线趋势外推预测法是最简单的一种外推法，适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降的情形。此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述，并通过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。
大量事实证明，事物的发展过程，虽然有时可能出现某种跳跃，但主要还是渐进发展的。在这种情况下，趋势外推法就能为某些技术或经济的未来发展趋势与状况做出科学的预测。实际上,趋势外推法已成为科学技术发展渐进过程的一种主要预测方法，尤其是在技术预测领域中,其应用最为广泛。据统计,约有80％的技术预测使用这种方法。这种方法的主要优点是,可以揭示技术发展的未来趋势,并能够定量地估价某些功能特性。利用趋势外推法进行预测,在国外的工业公司和科研机构已经得到了广泛的应用，我国的某些技术和经济部门也已开始应用。
②按表3.1右边的编号法，有
， =82.7
直线方程为
=191.0+82.7 (3.1.9)
4) 用拟合直线方程求预测值。
1按式（3.1.8）进行预测：
604.5+82.7×6=1100.7（万元）
604.5＋82.7×7=1183.4（万元）
2按式（3.1.9）进行预测：
191＋82.7×11=1100.7(万元)
常用的预测方法有拟合直线方程法和加权拟合直线方程法（又称折扣最小平方法）。
3.1.2
拟合直线方程法是根据时间序列数据的长期变动趋势，运用数理统计方法，确定待定参数，建立直线预测模型，并用之进行预测的一种定量预测分析方法。
1．拟合直线方程法的原理
拟合直线方程法的原理就是最小二乘原理。它是依据时间序列数据拟合一条直线形态的趋势线，使该直线上的预测值与实际观察值之间的离差平方和为最小。
假设由近及远的离差平方和的权重分别为 ， ， ,…， ，其中0≤ ＜1， =1，说明对最近期数据赋予最大权重为1，而后由近及远，按 比例递减。各期权重衰减速度取决于 的取值， 取值越大（越接近于1），衰减速度越慢；反之， 的取值越小（越接近于0），则衰减速度越快。如 =1，则就转化为如上述的非加权拟合直线方程法。从该意义上说，加权拟合直线方程法是拟合直线方程法的改进和发展。
由二次曲线外推预测法的模型322与拟合直线外推法相同的原理对式322求方程组323由于表示时间序列的编号如同拟合直线方程法一样当时间序列观察期的项数为奇数时令其中间项的编号为0则?式323可简化为
第
一定的外界随机条件对应系统状态的一定表象，把一系列随机条件和对应的表象联接起来的长链条，既体现了系统运动变化的随机性，又体现了系统运动变化的约束性。因此，可以沿着这一链条，由系统的历史和现实的发展趋势推测其未来的发展趋势，即由已知推测未来。趋势外推法就是在大量历史的和现实的随机现象中，寻求它们的“平静的反映”，从而得到系统运动变化的规律，并据此规律推测出该系统未来的状况。这就是应用趋势外推法可以对事物的未来状况进行预测的理论根据。
直线趋势外推法只适用时间序列数据呈直线趋势的上升（或下降）变化。
直线趋势外推法对时间序列数据，不论其远近如何都一律同等看待。
用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因子的影响，使趋势值都落在拟合直线上，从而消除了不规则变动。
3.1.
1．加权拟合直线方程法的原理
上述拟合直线方程法是估计线性趋势预测模型的参数的常用方法。其基本思想就是要使预测结果与实际数据的误差的平方和达到最小值。从结构上看，误差平方和 是每年的实际值 与该年的预测值 的偏差值的平方和，这意味着式 中的每一项都有同样的重要性，即不论这个误差是近期的或是远期的，都赋予同等的权数。但事实上，对于预测精确度来说，近期的误差比远期误差更为重要。如一个经济现象，在预测期前的几期递增趋势明显且稳定，而远期的数量指标曾有过较大的跳动，按最小平方法，尽管时间序列后几期的误差平方都不大，但由于前面开始几期跳跃较大，也会使 较大。这就使得本来预测误差不大，精度较高的预测值也得承认有较大的误差。这是不合理的。因此，在市场预测的实践中，要按照时间先后本着重近轻远的原则，对离差平方和进行赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达到最小，求出加权拟合直线方程。这种方法称为加权拟合直线方程法。