郑州大学20XX-20XX 学年第一学期《量子力学》（B ）卷试卷及
参考解答
一、简答题
1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。

答：束缚态：粒子在一定范围内运动，∞→r 时，0→ψ。

能级分立。

非束缚态：粒子的运动范围没有限制，∞→r 时，ψ不趋于0。

能级连续分布。

2. 一质量为μ 的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨
⎧><∞<<=a
x x a x x V 2,0,20,
0)(
中运动，写出其状态波函数和能级表达式。

解： ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤<<=a
x x a x a
x
n a x n 2,0,0,20,2sin 1)(πψ
,3,2,1,
82
2
22==n a n E n μπ
3. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。

解：!
2,)()(2
/22n A x H e
A x n
n n x n n ⋅=
=-πααψα 。

,2,1,0,21=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=n n E n ω
4. 电子自旋假设的两个要点。

解：（1）电子具有自旋角动量s
，它在空间任意方向的投影只有两个取值：2 ±； （2）电子具有自旋磁矩M
，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2倍，即 自旋回转磁比值 ⎪⎭⎫
⎝⎛===
为单位取自旋内禀磁矩mc e mc e g s 22，
轨道回转磁比值 12===mc
e
g l 轨道角动量轨道磁矩。

二、填充题
5. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，则粒子在立体角Ωd 中被测到的几率为
()2
20
,,P d r r dr
ψθϕ∞
=Ω⎰
6. ）（z L L ,2 的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlm Y ，相应的本征值分别是
22(,)(1)(,)lm lm L Y l l Y θϕθϕ=+ 和 (,)(,)z lm lm L Y m Y θϕθϕ= 。

7.
[],,,,2,z x z y
z y x z
y z x
z p i L L i L y L i
x
i L p i p σσσ⎡⎤⎡⎤==-=⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦
8. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=)2/,()2/,(),(
r r s r z ψψψ，则 ()
2
,/2r ψ
()
2
32/,⎰
-
r r d ψ表示电子自旋向下（2 -=z s ）的几率。

三、证明题
9. 一维运动中，哈密顿量 )(22
x V m
p H +=，证明： []2
,i p d x H m m dx ==，[],()d
p H i V x dx
=-。

证： [][]
dx
d m m p i p i m p x m H x 22==2⋅21=21= ,,， [][])()(,,x V dx d
i x V p H p
-==。

10. 在直角坐标系中，证明：0],[2=p L ，其中L 为角动量算符，p
为动量算符。

证： ],[],[],[],[2
22222z x y x z y x x x p L p L p p p L p L +=++= z z x z x z y y x y x y p p L p L p p p L p L p ],[],[],[],[+++=
()()0=+-+=z y y z y z z y p p p p i p p p p i ；
同理，
0],[2=p L y
， 0],[2=p L z
所以
0],[2=p L
四、计算题
11. 设粒子处于一维无限深势阱
()⎩⎨
⎧><∞<<=a
x x a x x V 或0,
0,
中，求处于定态()x n ψ中的粒子位置x 的平均值。

解： ()⎪⎩
⎪
⎨⎧><<<=a x x a x a
x
n a x n 或0,00,sin 2πψ ， 2
sin 202a
xdx a x n a x a
==⎰π 。

12. 一质量为m 的粒子在一维势箱a x <<0中运动，其量子态为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
a x a x a x ππψ3sin 23sin 212)( ① 该量子态是否为能量算符H 的本征态？
② 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ ③ 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？
解：① 在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥0≤0<<02=a
x x a x a
x
n a n 或,,sin πψ
,3,2,1,22
2
22==n a
n E n μπ 对波函数的分析可知
)(2
3
)(21)(31x x x ψψψ+
= 即粒子处在)(1x ψ和)(3x ψ的叠加态，该量子态不是能量算符H 的本征态。

② 由于)(x ψ是能量本征态)(1x ψ和)(3x ψ的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量
的可能值为
2
2
23222129,2a
E a E μπμπ == 其出现的概率分别为
4323,41212
2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ③ 能量测量的平均值为
2
2222231272943414341a a E E E μπμπ
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+=+= 13. 一维无限深势阱)0(a x <<中的粒子，受到微扰
⎩⎨
⎧<<2-122<<02='a
x a a x a x a x H /,
)(/,
/λλ
的作用，求基态能量的一级修正。

0 2a a
解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为
,,,,sin ,)
()(321=2=2=02
2220n a x n a a n E
n
n
πψμπ 基态， a
x a a
E
πψμπsin ,)()
(2=
2=012
2201。

基态能量的一级修正为
dx x H x H E
a )()(0
2
)
0(1
11
)
1(1
⎰'='=ψ
⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⋅+⋅=
a a a dx a x a x a dx a x a x a 2220212sin 22sin 2λπλπ。

作变换： du a
dx au
x a
x
u π
π
π=
==
,,；
dv a
dx av
a x a
x
v π
π
ππ-
=-
=-
=,,。

代入上式完成积分：
()vdv
v udu u E ⋅--
⋅=
⎰⎰
ππ
λ
π
λ
π
π20
2
2
22
2
)1(1sin 4sin 4
λππλ
π⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⋅=
⎰
222
2
221sin 8udu u ，
λπμπ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=+=22
22)1(1
)0(1
12212a E
E
E 。