第十七 章量子物理题17.1：天狼星的温度大约是11000℃。

试由维思位移定律计算其辐射峰值的波长。

题17.1解：由维思位移定律可得天狼星单色辐出度的峰值所对应的波长该波长nm 257m 1057.27m =⨯==-Tbλ 属紫外区域，所以天狼星呈紫色题17.2：已知地球跟金星的大小差不多，金星的平均温度约为773 K ，地球的平均温度约为293 K 。

若把它们看作是理想黑体，这两个星体向空间辐射的能量之比为多少？题17.2解：由斯特藩一玻耳兹曼定律4)(T T M σ=可知，这两个星体辐射能量之比为4.484=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=地金地金T T M M 题17.3：太阳可看作是半径为7.0 ⨯ 108 m 的球形黑体，试计算太阳的温度。

设太阳射到地球表面上的辐射能量为1.4 ⨯ 103W ⋅m －2，地球与太阳间的距离为1.5 ⨯ 1011m 。

题17.3解：以太阳为中心，地球与太阳之间的距离d 为半径作一球面，地球处在该球面的某一位置上。

太阳在单位时间对外辐射的总能量将均匀地通过该球面，因此有 2244)(R Ed T M ππ=（1）4)(T T M σ= （2）由式（1）、（2）可得K 58004122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σR E d T题17.4：钨的逸出功是4.52 eV ，钡的选出功是2.50 eV ，分别计算钨和钡的截止频率。

哪一种金属可以用作可见光围的光电管阴极材料？题17.4解：钨的截止频率 Hz 1009.115101⨯==hW ν 钡的截止频率Hz 1063.015202⨯==hW ν 对照可见光的频率围可知，钡的截止频率02ν正好处于该围，而钨的截止频率01ν大于可见光的最大频率，因而钡可以用于可见光围的光电管材料。

题17.5：钾的截止频率为4.62 ⨯ 1014 Hz ，今以波长为435.8 nm 的光照射，求钾放出的光电子的初速度。

题17.5解：根据光电效应的爱因斯坦方程W mv h +=221ν 其中λνν/0c h W ==，可得电子的初速度15210s m 1074.52-⋅⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=νλc m h v由于选出金属的电子的速度v << c ，故式中m 取电子的静止质量。

题17.6：在康普顿效应中，入射光子的波长为 3.0 ⨯ 10－3nm ，反冲电子的速度为光速的60％，求散射光子的波长及散射角。

题17.6解：根据能量守恒，相对论质速关系以及散射公式有2200mc ch c m c h +=+λλ（1） 2/1220)/1(--=c v m m（2）)cos 1(c 0θλλλ-=-（3）由式（1）和式（2）可得散射光子的波长nm 1035.4443000-⨯=-=c m h h λλλ将入值代入式（3），得散射角⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c 01arccos λλλθ 题17.7：一具有l.0 ⨯ 104eV 能量的光子，与一静止的自由电子相碰撞，碰撞后，光子的散射角为60︒。

试问：（1）光子的波长、频率和能量各改变多少？（2）碰撞后，电子的动能、动量和运动方向又如何？题17.7解：（1）入射光子的频率和波长分别为nm 124.0Hz 1041.200180==⨯==νλνch E ，散射前后光子波长、频率和能量的改变量分别为nm 1022.1)cos 1(3c -⨯=-=∆θλλ式中负号表示散射光子的频率要减小，与此同时，光子也将失去部分能量。

（2）由能量守恒可知，反冲电子获得的动能，就是散射光子失去的能量eV 3.950ke =∆=-=E h h E νν由相对论中粒子的能量动量关系式以及动量守恒定律在 Oy 轴上的分量式（图17-7）可得 22e 0e 22e c p E E +=（1） ke e 0e E E E +=（2）0sin sin e =-ϕθνp ch （3）由式（1）和式（2）可得电子动量124kee 0ke 2e s m kg 1027.52--⋅⋅⨯=+=cE E E p将其代入（3）式可得电子运动方向'3259sin )(arcsin sin arcsin 0e 0e =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=θννθνϕc p h c p h题17.8：波长为0.10 nm 的辐射，射在碳上，从而产生康普顿效应。

从实验中测量到散射辐射的方向与入射辐射的方向相垂直。

求：（1）散射辐射的波长；（2）反冲电子的动能和运动方向。

题17.8解：（1）由散射公式得nm 1024.0)cos 1(C 0=-+=∆+=θλλλλλ（2）反冲电子的动能等于光子失去的能量，因此有J 1066.4111700k -⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=λλννhc h h E根据动量守恒的矢量关系，可确定反冲电子的方向 '1844arctg /arctg 000=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλϕh h题17.9：试求波长为下列数值的光子的能量、动量及质量：（1）波长为1500 nm 的红外线；（2）波长为 500 nm 的可见光；（3）波长为 20 nm 的紫外线；（4）波长为 0. 15 nm 的X 射线；（5）波长为 1.0 ⨯ 10-3nm 的γ 射线。

题17.9解：由能量νh E =，动量λhp =以及质能关系式2/c E m =，可得（1）当nm 15001=λ时，J 1033.119111-⨯===λνhch E12811s m kg 1042.4--⋅⋅⨯==λhpkg 1047.1361211-⨯===λc hc E m （2）当nm 5002=λ时，因1231λλ= 故有 J 1099.331912-⨯==E E 12722s m kg 1033.13--⋅⋅⨯==P pkg 1041.433612-⨯==m m3）当nm 203=λ时，因13751λλ= 故有 J 1097.9751813-⨯==E E 12613s m kg 1031.375--⋅⋅⨯==P pkg 1010.1753413-⨯==m m4）当nm 15.04=λ时，因14410λλ-=，故有J 1033.11015144-⨯==E E 124144s m kg 1022.410--⋅⋅⨯==P pkg 1047.11032144-⨯==m m（5）当nm 10135-⨯=λ时，J 1099.113555-⨯===λνhch E12255s m kg 1023.6--⋅⋅⨯==λhpkg 1021.2305255-⨯===λc h cE m题17.10：计算氢原子光谱中莱曼系的最短和最长波长，并指出是否为可见光。

题17.10解：莱曼系的谱线满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2i 2f 111n n R λ 令 n i = 2，得该谱系中最长的波长nm 5.121max =λ 令∞→i n ，得该谱系中最短的波长nm 2.91min =λ对照可见光波长围（400～760 nm ），可知莱曼系中所有的谱线均不是可见光，它们处在紫外线部分。

题17.11：在玻尔氢原子理论中，当电子由量子数5i =n 的轨道跃迁到n f = 2的轨道上时，对外辐射光的波长为多少？若再将该电子从n f =2的轨道跃迁到游离状态，外界需要提供多少能量？题17.11解：根据氢原子辐射的波长公式，电子从5i =n 跃迁到n f = 2轨道状态时对外辐射光的波长满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2251211R λ 则 μm 4.43m 1034.47=⨯=-λ而电子从n f = 2跃迁到游离态∞→i n 所需的能量为eV 4.32212-=∞-=-=∆∞EE E E E 负号表示电子吸收能量。

题17.12：如用能量为12.6 eV 的电子轰击氢原子，将产生哪些谱线？ 题17.12解： 根据跃迁假设和波数公式有2i12f1f nEnEEEEi-=-=∆（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2f2i111nnRλ将eV6.131-=E，n f= 1和eV6.13=∆E（这是受激氢原子可以吸收的最多能量）代入式（1），可得69.3i=n，取整3i=n（想一想为什么？），即此时氢原子处于n = 3的状态。

由式（2）可得氢原子回到基态过程中的三种可能辐射，所对应的谱线波长分别为102.6nm、657.9nm和121.6nm。

题17.13：试证在基态氢原子中，电子运动时的等效电流为1.05⨯10-3A在氢原子核处，这个电流产生的磁场的磁感强度为多大？题17.13解：基态时，电子绕核运动的等效电流为A1005.142321211-⨯====mrehrevefIππ式中v1为基态时电子绕核运动的速度，112mrhvπ=该圆形电流在核处的磁感强度T5.1221rIBμ=上述过程中电子的速度v << c，故式中m取电子的静止质量。

题17.14：已知α粒子的静质量为6.68×10－27 kg，求速率为5000 km/s的α粒子的德布罗意波长。

题17.14解：由于α粒子运动速率v << c，故有 m = m0，则其德布罗意波长为nm 1099.150-⨯===vm h p h λ题17.15：求动能为1.0 eV 的电子的德布罗高波的波长。

题17.15解：由于电子的静能 MeV 512.0200==c m E ，而电子动能0k E E <<，故有2/1k 0)2(E m p =，则其德布罗意波长为nm 23.1)2(2/1k 0===E m h p h λ 题17.16：求温度为27℃时，对应于方均很速率的氧气分子的德布罗意波的波长。

题17.16解：理想气体分子的方均根速率MRTv 32=。

对应的氧分子的德布罗意波长nm 1058.232A 2-⨯====MRTh N v m hp h λ题17.17：若电子和光子的波长均为0.20 nm ，则它们的动量和动能各为多少？题17.17解：由于光子与电子的波长相同，它们的动量均为124s m kg 1022.3--⋅⋅⨯==λhp光子的动能 )0,0(eV K 22.600k =====E m pc E E 对光子：电子的动能keV 8.37202k ==m p E （此处电子动能用非相对论方法计算）题17.18：用德布罗意波，仿照弦振动的驻波公式来求解一维无限深方势阱中自由粒子的能量与动量表达式。

题17.18解：势阱的自由粒子来回运动，就相当于物质波在区间a 形成了稳定的驻波，由两端固定弦驻波的条件可知，必有2/λn a =，即),3,2,1(2Λ==n na λ由德布罗意关系式λhp =，可得自由粒子的动量表达式),3,2,1(2Λ===n anh hp λ由非相对论的动量与动能表达式mp E 22=，可得自由粒子的能量表达式),3,2,1(8222Λ==n ma h n E从上述结果可知，此时自由粒子的动量和能量都是量子化的。