绝对值综合专题讲义
绝对值的定义： 绝对值的性质：
（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示
（2） |a|=
（3） 若|a|=a ，则 ；若|a|=-a ，则；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个
数的相反数，
（4） 若|a|=|b|，则
（5） |a+b||a|+|b| |a-b|||a|-|b||
|a|+|b||a+b| |a|+|b||a-b|
【例1】
（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？
（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）
A.a ＜0，b ＜0
B.a ＞0，b ＜0
C.a ＜0，b ＞0
D.ab ＜0
（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）
A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b
C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|
D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b)2
（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？
（5） 若3|x-2|+|y+3|=0，则
x y 的值是多少？ （6） 若|x+3|+(y-1)2=0，求n x y )4(
--的值 【巩固】
1、绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？
2、有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）
A.a ＞b
B.a=b
C.a<b
D.无法确定
3、若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________
4、若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）
A.a ＜0
B.a ＞0
C.b ＜0
D.b ＞0
5、设b a ,是有理数，则||8b a ---是有最大值还是最小值？其值是多少？
小知识点汇总：
若(x-a)2+(x-b)2=0,则；若|x-a|+(x-b)2=0,则；
若|x-a|+|x-b|=0，则；
（1） 已知
x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿
（2） 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
（3） 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
（4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y
的值是多少？
（5） 解方程05|5|2
3=-+x （6） 解方程|4x+8|=12 （7） 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求
12+++-ab a b ab a 的值 【巩固】
1、巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值
2、解方程 |3x+2|=-1
3、已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求
y xy x 4312--的值 （1） 已知a=-2
1，b=-31，求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值 （2） 若|a|=b ，求|a+b|的值
（3） 化简：|a-b|
（4） 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
【巩固】 1、化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8）
C B 0 A
2、已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|
3、数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||
【例4】（1）若a<-b 且0>b
a ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| （2）若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|
（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值
（4）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||
（5）化简|x+5|+|2x-3|
（6）若a<0，试化简|
|3|||3|2a a a a -- （7）若abc ≠0，则
|
|||||c c b b a a ++的所有可能值 【巩固】 1、如果0<m<10并且m ≤x ≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|
2、有理数a ，b ，c ，d ，满足
1||-=abcd abcd ，求d
d c c b b a a ||||||||+++的值 3、化简：|2x-1|
4、求|m|+|m-1+|m-2|的值
|a|的几何意义：；|a-b|的几何意义：
【例5】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值
【巩固】
1、如图，在接到上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居 民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？
2、设a 1、a 2、a
3、a
4、a 5为五个有理数，满足a 1< a 2< a 3< a 4< a 5,求|x- a 1|+|x- a 2|+|x- a 3|+|x-
a 4|+|x- a 5|的最小值
3、设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x 的取值
题后小结论： A B C D E
求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值：
【例1】
若|a|=1，|b|=2，|c|=3
，且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿ 【例2】
已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿ 【例3】 对于|m-1|，下列结论正确的是（ ）
A.|m-1|≥|m|
B.|m-1|≤|m|
C. |m-1|≥|m|-1
D. |m-1|≤|m|-1
【例4】
设a ，b ，c 为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab ，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c| 【例5】
化简：||x-1|-2|+|x+1| 【例6】
已知有理数a ，b ，c 满足1||||||=++c c b b a a ，求abc abc ||的值 【例7】
若a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|
1、当b 为何值时，5-12-b 有最大值，最大值是多少？
2、已知a 是最小的正整数，b 、c 是有理数，并且有|2+b |+(3a +2c )2=0. 求式子
4
422++-+c a c ab 的值. 3、|m+3 |+|n-27|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值 4、若a ，b ，c 为整数，且｜a-b ｜19+｜c-a ｜99=1，试计算｜c-a ｜+｜a-b ｜+｜b-c ｜的值
5、（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y 的值为多少？
（2）解方程：|4x-5|=8
6、（1）有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|
（2）若a ＜b ，求|b-a+1|-|a-b-5|的值
（3）若a ＜0，化简|a-|-a||
7、已知a 是非零有理数，求|
|||||33
22a a a a a a ++的值 8、化简|x-1|-|x-3|
9、6、设a ＜b ＜c ，求当x 取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值
10、若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求
y
x y x -+2的值
11、若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值。
12、不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．
(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；
(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能
13、设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？。