八年级数学竞赛专题讲义八年级数学竞赛例题专题讲解：坐标平面上的直线阅读与思考我们知道,任意一个一次函数的图象都是平面上的一条直线,那么,是不是平面上的任意一条直线都是某个一次函数的图象呢？请读者思考.一次函数、二元一次方程、直线三者有着紧密的联系,我们既可以用函数的方法来处理方程的问题,也可以从方程的观点来讨论函数；既可以用坐标平面上的直线来表示一次函数与二元一次方程,也可以用方程和函数的思想来研究直线的性质,以及直线与直线之间的关系.数形结合是解函数问题的重要思想方法,它包括两方面内容：（1）由数定形即通过函数解析式的系数符号,确定图象的大致位置.（2）由形导数即从给定的函数图象上获得解的信息,如图象的大致位置；确定解析式中系数符号；图象上的点的坐标等.一次函数的图象是一条直线,对于实际问题,由于自变量的取值范围受实际意义的限制,因此,作出的函数图象是常见直线的一部分,相应函数值就有最大值或最小值.一次函数是表示日常生活中匀速变化的两个变量之间关系的数学模型,是最基本的函数,有着广泛的应用价值. 运用一次函数解题时应注意：1. 一次函数的图象是一条直线.2. 函数解析式y kx b=+中的系数符号,确定图象的大致位置及y随x变化的性质.(0,0)k b>>(0,0)k b><(0,0)k b<>(0,0)k b<<3. 确定一次函数解析式,通常需要两个独立的条件.4. 一次函数与二元一次方程有着密切的联系,任意一个一次函数y kx b=+都可以看做是一个关于x,y的二元一次方程0kx y b-+=；反过来,任意一个二元一次方程0ax by c++=,当0b≠时,可化为形如a cy xb b=--的函数形式.例题与求解【例1】（1）如图,已知A 点坐标为(5,0),直线(0)y x b b =+>与y 轴交于点B ,连接AB ,75α∠=︒,则b = .（苏州市中考试题）（2）一次函数y ax b =+的图象l 1关于直线y x =-轴对称的图象l 2的函数解析式是 .（太原市竞赛试题）解题思路：对于（1）,先求出相应函数解析式；对于（2）,l 1与x 轴、y 轴交点的坐标分别为(,0)bA a-,(0,)B b ,求出A ,B 两点分别关于直线y x =-对称点的坐标,这是解题的关键.【例2】已知0abc ≠,并且a b b c c ap c a b+++===,则直线y px p =+一定通过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限（全国初中数学竞赛试题）解题思路：求出p 的值,大致画出函数图象位置,从而作出判断.【例3】如图,△AOB 为正三角形,点B 的坐标为(2,0),过点C (2,0)-作直线l 交AO 于D ,交AB 于E ,且使△ADE 和△DCO 的面积相等,求直线l 的函数解析式.（太原市竞赛试题）解题思路：由ADE DCO S S =△△得AOB CBE S S =△△,设法求出E 点的坐标.【例4】某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备,全部运往大运会赛场A,B两馆,其中运往A馆18台、运往B馆14台. 运往A,B两馆的运费如下表：（1）设甲地运往的设备有x台,请填写下表,并求出总运费y（元）与x（台）的函数关系式；（2）要使总运费不高于20200元,请你帮助该公司设计调配方案,并写出有哪几种方案；（3）当x为多少时,总运费最小,最小值是多少？（深圳市中考试题）解题思路：将设计方案转化为求不等式组的整数解,为此需求出自变量的取值范围.当一次函数图象与两坐标轴有交点时,就与直角三角形联系在一起. 求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础.当自变量受限制时,一次函数图象可能是射线、线段、折线或点. 当一次函数自变量取值受限制时,存在最大值与最小值,根据图象求最值直观明了.【例5】已知长方形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上,P是线段BC 上的动点,设PC m=,已知点D在第一象限且是直线26=+上的一点,若△APD是等腰直角三y x角形.（1）求点D的坐标；（2）直线26=+向右平移6个单位后,在该直线上是否存在点D,使△APD是等腰直角三y x角形？若存在,请求出这些点的坐标；若不存在,请说明理由.（浙江省中考试题）解题思路：构造全等三角形,注重坐标与线段的转化,并由动点讨论,这是解本题的关键.例5颠覆了传统意义上的动点问题与存在性问题,探索过程是尝试画图,找到可能存在的点,再计算验证. 综合了坐标、方程、函数、矩形、特殊三角形、全等三角形等丰富的知识,渗透了分类讨论、数形结合等思想方法.【例6】如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图,乙槽中有一圆柱体铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）. 现将甲槽中的水匀速注人乙槽,甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息,解答下列问题：甲乙（1）图2中折线ABC表示槽中水的深度与注水时间之间的关系,线段DE表示槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选塡“甲”或“乙”）,点B的纵坐标表示的实际意义是；（2）注水多长时间时,甲、乙两个水槽中水的深度相同？（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计）,求乙槽中铁块的体积；（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米,求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）（扬州市中考试题）解题思路：观察乙槽的特征可知,水面上升速度应是先快后慢,图象的“转折点”即对应容器的“水面刚好漫过铁块”这个时刻,由此确定,图象与器具的对应关系. 对于（3）、（4）,根据注水时间与注水速度求解,而解题的关键是挖掘出隐含信息.例6是图象信息题. 函数图象以直观、形象的特征融合了显性与隐性的信息,解题的关键是获取数据、数量关系信息,并能整合信息,还原到问题的情境之中.能力训练A 级1. 已知a b c a b c a b ck c b a+--+-++===,296n n +=,则关于自变量x 的一次函数y kx m n =++的图象一定经过第 象限.（湖北省黄冈市竞赛试题）2. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,其图象如图所示,旅客最多可免费携带行李 千克.（南京市中考试题）3. 如图,一次函数y kx b =+的图象经过A ,B 两点,则△AOC 的面积为.行李重量行李票费用（第2题） （第3题） （第4题）4. 如图,直线122y x =+与两坐标轴分别交于A ,B 两点,直线BC 与直线AB 垂直,垂足为B ,则直线BC 所对应的函数解析式为 .5. 某市为了鼓励节约用水,按以下规定收取水费：（1）每户每月用水量不超过20m 3,则每立方米水费1.2元；（2）每户每月用水量超过20m 3,则超过的部分每立方米水费2元. 设某户一个月所交水费为y （元）,用水量为x （m 3）,则y 与x 的函数关系用图象表示为（ ）3)3)3)3)A B C D（荆州市中考试题）6. 下列图象中,不可能是关于x的一次函数(3)y mx m=--的图象是（）（北京市中考试题）7. 如图,点A,B,C在一次函数2y x m=-+的图象上,它们的横坐标依次为1-、1、2,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,则图中阴影部分的面积之和是（）A.1B.3C.3(1)m- D.3(2)2m-（宁波市中考试题）8. 点(4,0)A-,(2,0)B是坐标平面上两定点,C是122y x=-+的图象上的动点,则满足上述条件的直角△ABC可以画出（）A.1个B.2个C.3个D.4个（北京市竞赛试题）9. 随着我国人口增长速度的减慢,小学入学儿童数量有所减少,下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势. 试用你学过的函数知识解决下列问题：（1）求入学儿童人数y（人）与年份x（年）的函数关系式；（2）利用所求函数关系式,预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人.（沈阳市中考试题）10. 已知直线26x y k-=-+和341x y k+=+,若它们的交点在第四象限.（1）求k的取值范围；（2）若k为非整数,点A的坐标为(2,0),点P在直线26x y k-=-+上,求使△P AO为等腰三角形的点P的坐标.（大连市中考试题）11. 如图,已知直线2y x=-+与x轴,y轴分别交于点A和点B,另一直线(0)y kx b k=+≠经过点(1,0)C,且把△AOB分成两部分.（1）若△AOB被分成的两部分面积相等,求k和b的值；（2）若△AOB被分成的两部分的面积比为1:5,求k和b的值.（厦门市中考试题）12. 某车站客流量大,旅客往往需长时间排队等候购票. 经调查统计发现,每天开始售票时,约有300名旅客排队等候购票,同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票,新增购票人数y （人）与售票时间x（分）的函数关系如图1所示；每个售票窗口票数y（人）与售票时间x （分）的函数关系如图2所示. 某天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图3所示. 已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口,求：/ 分分分图1 图2 图3 （1）a的值；（2）售票到第60分钟时,售票厅排队等候购票的旅客人数；（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中,本着“以人为本,方便旅客”的宗旨,决定增设售票窗口. 若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票,以便后来到站的旅客能随到随购,请你帮助计算,至少需同时开放几个售票窗口？（咸宁市中考试题）13. 2011年4月28日,以“天人长安,创意自然——城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园. 这次园艺会的门票分为个人票、团体票两大类,其中个人票设置有三种：某社区居委会为奖励“和谐家庭”,欲购买个人票100张,其中B 种票的张数是A 种票张数的3倍还多8张,设需购A 种票张数为x ,C 种票张数为y .（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）设购票总费用为w 元,求出w （元）与x （张）之间的函数关系式；（3）若每种票至少购买1张,其中购买A 种票不少于20张,则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时,购买A ,B ,C 三种票的张数.（陕西省中考试题）B 级1. 如图,在直角坐标系中,直角梯形OABC 的顶点(3,0)A ,(2,7)B ,P 为线段OC 上一点,若过B ,P 两点的直线为111y k x b =+,过A ,P 两点的直线为222y k x b =+,且BP ⊥AP ,则1212()k k k k += .（绍兴市竞赛试题）2. 设直线(1)1kx k y ++=（k 是自然数）与两坐标轴围成的图形的面积为S 1,S 2,…,S 2000,则122000S S S +++=.（湖北省选拔赛试题）)（第1题） （第3题） （第4题）3. 如图,直线210y x =-+与x 轴,y 轴分别交于A 、B 两点,把△AOB 沿AB 翻折,点O 落在C 处,则点C 的坐标是 . （黄冈市竞赛试题）4. 如图,在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点B 的坐标为(15,6),直线13y x b =+恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分,那么b = . （全国初中数学竞赛试题）5. 在直角坐标系中,有两点(1,1)P -和(3,3)Q ,M 是x 轴上任意点,则PM QM +的长度的最小值是（ ）A. B.4C. D.36. 某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量x （kg ）与其运费y （元）由如图所示的一次函数图象确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ）kg ()A.20kgB.25kgC.28kgD.30kg（成都市中考试题）7. 一个一次函数的图象与直线59544y x =+平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(1,25)--,则在线段AB 上（包括端点A 、B ）,横、纵坐标都是整数的点有（ ）A.4个B.5个C.6个D.7个（全国初中数学竞赛试题）8. 设b a >,将一次函数y bx a =+与y ax b =+的图象画在同一平面直角坐标系内,则有一组a ,b 的取值,使得下列4幅图中正确的是（ ）A B C D（全国初中数学联赛试题）9. 求证：不论k 为何值,一次函数(21)(3)(11)0k x k y k --+--=的图象恒过一定点.（江苏省竞赛试题）10. 已知四条直线3y mx =-,1y =-,3y =和1x =所围成的四边形面积是12,求m 的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）11. 在直角坐标系xOy 中,一次函数2(0)y kx b k =++≠的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A ,B ,且使得3OAB S OA OB =++△. （1）用b 表示 k ；（2）求△AOB 面积的最小值.（浙江省竞赛试题）12. 如图,一次函数y =+的图象与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt △ABC ,且使∠ABC =30°.（1）求△ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点(P m ,试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积,并求出当△ABP 与△ABC 的面积相等时m 的值；（3）是否存在使△QAB 为等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在,写出点Q 所有可能的坐标；若不存在,请说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）AD八年级数学竞赛例题专题讲解：正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形,但它们都是有特殊条件的平行四边形,正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的菱形,因此,我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．正方形问题常常转化为三角形问题解决,在正方形中,我们最容易得到特殊三角形、全等三角形,熟悉以下基本图形．例题与求解【例l 】 如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合,展开后,折痕DE 分别交AB ,AC 于点E ,G .下列结论：①05.112=∠AGD ；②2=AEAD；③OGD AGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤OG BE 2=. 其中,正确结论的序号是______________． （重庆市中考试题） 解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．【例2】如图1,操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上)(BC CG >,取线段AE 的中点M .连MD ,MF ．（1）探究线段MD ,MF 的关系,并加以证明．（2）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角后（如图2）,其他条件不变． 探究线段MD ,MF 的关系,并加以证明．（大连市中考题改编）解题思路：由M 为AE 中点,想到“中线倍长法”再证三角形全等．图2图1EABEBA【例3】如图,正方形ABCD 中,E ,F 是AB ,BC 边上两点,且FC AE EF +=,EF DG ⊥于G ,求证：DA DG =.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造FC AE +的线段是解本例的关键．B AE【例4】 如图,正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成四个小矩形,P 是EF 与GH 的交点,若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍,试确定HAF ∠的大小,并证明你的结论．（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测HAF ∠的大小,再作出证明,解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．ABCD E FGHP【例5】 如图,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是边BC ,CD 上的点,满足DF BE EF +=,AF AE ,分别与对角线BD 交于点N M ,．求证：（1）045=∠EAF ；（2）222DN BM MN +=． （四川省竞赛试题） 解题思路：对于（1）,可作辅助线,创造条件,再通过三角形全等,即可解答；对于（2）,很容易联想到直角三角形三边关系．BAF【例6】已知 ：正方形ABCD 中,045=∠MAN ,MAN ∠绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交CB ,DC （或它们的延长线）于点N M ,．当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM =时（如图1）,易证MN DN BM =+．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM ≠时（如图2）,线段DN BM ,和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想,并加以证明；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时,线段DN BM ,和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2）,构造BM DN -是解题的关键．能力训练A 级1. 如图,若四边形ABCD 是正方形,CDE ∆是等边三角形,则EAB ∠的度数为__________.（北京市竞赛试题）2. 四边形ABCD 的对角线BD AC 、相交于点O ,给出以下题设条件： ①DA CD BC AB ===；②BD AC DO CO BO AO ⊥===,； ③BD AC DO BO CO AO ⊥==,,； ④DA CD BC AB ==,．其中,能判定它是正方形的题设条件是______________. （把你认为正确的序号都填在横线上） （浙江省中考试题）3．如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住一个不动,将另一个绕顶点A 顺时针旋转030,则这两个正方形重叠部分的面积是__________.（青岛市中考试题）ABC D MN图1ABCD MN图2ABCDM N图3BA E第1题图 第3题图 第4题图4.如图,P 是正方形ABCD 内一点,将ABP ∆绕点B 顺时针方向旋转至能与'CBP ∆重合,若3=PB ,则'PP =__________. （河南省中考试题）5.将n 个边长都为cm 1的正方形按如图所示摆放,点n A A A ,,21分别是正方形的中心,则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )A .241cmB ．24cm n C.241cm n - D. 2)41(cm n （晋江市中考试题）第5题图 第6题图6. 如图,以BCA Rt ∆的斜边BC 为一边在BCA ∆的同侧作正方形BCEF ,设正方形的中心为O ,连接AO ,如果26,4==AO AB ,则AC 的长为( )A . 12B ．8 C.34 D. 28（浙江省竞赛试题）7．如图,正方形ABCD 中,035,=∠=MCE MN CE ,那么ANM ∠是( ) A .045 B ．055 C. 065D. 075B'D 'ABCDPP ''8．如图,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD 上,点E 在AB 的延长线上,CEF Rt ∆的面积为200,则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．10第8题图第7题图ABAD E F9．如图,在正方形ABCD 中,E 是AD 边的中点,BD 与CE 交于F 点,求证：BE AF ⊥．B A10. 如图,在正方形ABCD 中,E 是AB 边的中点,F 是AD 上的一点,且AD AF 41= ． 求证：CE 平分BCF ∠．BAE11. 如图,已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点,F E BC PF DC PE ,,,⊥⊥分别是垂足． 求证：EF AP =．（扬州市中考试题）EBA12.（1）如图1,已知正方形ABCD 和正方形)(BC CG CGEF >,G C B ,,在同一条直线上,M 为线段AE 的中点．探究：线段MF MD ,的关系．（2）如图2,若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转045,使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上,M 为AE 的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由．（大连市中考试题）图1 图2B 级1. 如图,在四边形ABCD 中,090,=∠=∠=ABC ADC DC AD ,AB DE ⊥于E ,若四边形ABCD 的面积为8,则DE 的长为__________.2.如图,M 是边长为1的正方形ABCD 内一点,若02290,21=∠=-CMD MB MA ,则=∠MCDABCDEFGMABCDEFGM__________.（北京市竞赛试题）第3题图第1题图第2题图CBAAAC3.如图,在ABC Rt ∆中,3,900==∠AC C ,以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ,正方形的中心为O ,且24=OC ,则BC 的长为__________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形ABCD ,Q 是CD 上一动点,AQ 交BD 于M ,过M 作AQ MN ⊥交BC 于N 点,作BD NP ⊥于点P ,连接NQ ,下列结论：①MN AM =；②BD MP 21=； ③NQ DQ BN =+；④BMBNAB +为定值,其中一定成立的是( ) A . ①②③ B ．①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 5.如图,ABCD 是正方形,AC BF //,AEFC 是菱形,则ACF ∠与F ∠度数的比值是( ) A . 3 B ．4 C. 5 D. 不是整数 6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形,那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是( )A .58 B ．527C. 8D. 65E.35（美国高中考试题）第7题图第5题图第4题图第6题图Q BANBADAQP7.如图,正方形ABCD 中,8=AB ,Q 是CD 的中点,设α=∠DAQ ,在CD 上取一点P ,使α2=∠BAP ,则CP 的长度等于 ( )A . 1B ．2 C. 3 D.3（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形ABCD 中,M 是AB 中点,E 是AB 延长线上一点,DM MN ⊥且交CBE ∠平分线于N （如图1）（1）求证：MN MD =；（2）若将上述条件中的“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”其余条件不变（如图2）,（1）中结论是否成立？如果成立,请证明；如果不成立,请说明理由；（3）如图2,点M 是AB 的延长线上（除B 点外）的任意一点,其他条件不变,则（1）中结论是否成立？如果成立,请证明；如果不成立,请说明理由；（临汾市中考试题）图3图2图1AM ABADDDE M`9.已知,10,10<<<<b a 求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a ．10.如果,点N M ,分别在正方形ABCD 的边CD BC ,上,已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半,求MAN ∠的度数． （“祖冲之杯”邀请赛试题）ADM11.如图,两张大小适当的正方形纸片,重叠地放在一起,重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH ,对角线CG AE ,分这个八边形为四个小的凸四边形,请你证明：CG AE ⊥,且CG AE =．（北京市竞赛试题）12.如图,正方形MNBC 内有一点A ,以AC AB ,为边向ABC ∆外作正方形ABRT 和正方形ACPQ ,连接BP RM ,．求证：RM BP //．（武汉市竞赛试题）PR八年级数学竞赛例题专题讲解：整体与完形阅读与思考许多几何问题,常因图形复杂、不规则而给解题带来困难,这些复杂、不规则的图形,从整体考虑,可看作某种图形的一部分,如果将它们补充完整,就可得到常见的特殊图形,那么就能利用特殊图形的特殊性质转化问题,这就是解几何问题的补形法,常见的补形方法有：1.将原图形补形为最能体现相关定理、推论、公理的基本图形；2.将原图形补形为等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形；3.将原图形补形为平行四边形、矩形、正方形、梯形等特殊四熟悉以下图形：例题与求解【例1】如图,已知CD∥AF,∠CDE＝∠BAF,AB⊥BC,∠E＝080,∠C＝0124,则∠AFE＝_________度. (北京市竞赛试题)解题思路：有平行的条件,不妨将六边形补形为较为规整的平行四边形.B【例2】设,,a b c分别是△ABC的三边长, 且满足a a bb a b c+=++,则它的内角∠A、∠B的关系是（）.A.∠B＞2∠AB.∠B＝2∠AC.∠B＜2∠AD.不确定（全国初中数学竞赛试题）解题思路：从化简已知等式入手,并补出相应的图形.【例3】如图1,BD,CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F ,G ,连结FG ,延长AF ,AG ,与直线BC 相交,易证()12FG AB BC AC =++. 若（1）BD ,CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图2）；（2）BD 为∠ABC 的内角平分线；（3）CE 为△ABC 的外角平分线（如图3）,则在图2、图3两种情况下,线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,并对其中的一种情况给予证明.（黑龙江省中考试题）解题思路：既有平分线又有垂线,联想到等腰三角形性质,考虑将图形补成等腰三角形.图3图2图1【例4】 如图,四边形ABCD 中,∠ABC ＝0135,∠BCD ＝0120,AB BC ＝5CD ＝6,求AD 的长.（全国初中数学竞赛试题）解题思路：由于四边形ABCD是一般四边形,所以直接求AD 比较困难,应设法将AD 转化为特殊三角形的边.DA23A 54例4题图 例5题图 【例5】 如图,凸八边形1238...A A A A 中,∠1A ＝∠5A ,∠2A ＝∠6A ,∠3A ＝∠7A ,∠4A ＝∠8A ,试证明：该凸八边形内任意一点到8条边的距离之和是一个定值.（山东省竞赛试题）解题思路：本例是一个几何定值证明问题,关键是将八边形问题转化为三角形或四边形问题来解决,若连结对角线,则会破坏一些已知条件,应当考虑向外补形.【例6】 如图,在△ABC 中,∠ABC ＝045,点D 在边BC 上,∠ADC ＝060,且12BD CD =.将△ACD 以直线AD 为轴作轴对称变换,得到△AC D ',连结BC '. (1) 证明：BC '⊥BC ; (2) 求∠C 的大小.（全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）解题思路：本题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质,解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形,然后利用全等三角形的性质即可解决问题.D能力训练1.如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝∠C ＝090,AB ＝AD ,若这个四边形的面积为12,则BC ＋CD ＝_____________. （山东省竞赛试题）2. 如图,凸五边形ABCDE 中,∠A ＝∠B ＝0120,EA ＝AB ＝BC ＝2,CD ＝DE ＝4,则这个五边形的面积为_______________.（美国AHSME 试题）3. 如图,一个凸六边形六个内角都是0120,其中连续四条边的长依次为1,9,9,5,则该六边形的周长为______________.第1题图第2题图第3题图B4. 如图,ABCDEF 是正六边形,M ,N 分别是边CD ,DE 的中点,线段AM 与BN 相交于P ,则BPPN ＝_________. （浙江省竞赛试题）5. 如图,长为2的三条线段,,AA BB CC '''交于O 点,并且∠B OA '＝∠C OB '＝∠A OC '＝060,则三个三角形的面积和123S S S ++,“＝”,或“＞”）.（“希望杯”邀请赛试题）6. 如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝060,∠B ＝∠D ＝090,BC ＝2,CD ＝3,则AB ＝ ( ). A. 4 B. 5C.D.3（广西壮族自治区中考试题）第6题图第5题图第4题图DBB7. 如图,在△ABC 中,M 为BC 中点,AN 平分∠A ,AN ⊥BN 于N ,且AB ＝10,AC ＝16,则MN 等于（ ）.A. 2B. 2.5C. 3D. 3.58. 如图,在四边形ABCD 中,AB ＝BC ,∠ABC ＝∠CDA ＝090,BE ⊥AD 于E ,8ABCD S =四边形,则BE的长为（ ）A. 2B. 3C.D.第7题图第8题图第9题图A9. 如图,在四边形ABCD 中,AB ＝4BC ＝1,CD ＝3,∠B ＝0135,∠C ＝090,则∠D 等于（ ）A. 060B. 067.5C. 075D.条件不够,无法求出（重庆市竞赛试题）10. 如图,在△ABC 中,E 是AC 中点,D 是BC 边上一点,若BC ＝1,∠ABC ＝060,∠BAC ＝0100,∠CED ＝080,求2ABC CDE S S ∆∆+的值.CB11. 如图,设c 是Rt ABC ∆的斜边长,,a b 是直角边,求证：a b +≤.（加拿大中学生竞赛试题）A12. 如图,已知八边形ABCDEFGH 所有的内角都相等,而且边长都是整数.求证：这个八边形的对边相等.FB C13. 如图,设P 为△ABC 的中位线DE 上的一点,BP 交AC 于N ,CP 交AB 于M ,求证：1AN AMNC MB+=. （齐齐哈尔市竞赛试题）B14. 一个圆内接八边形相邻的四条边长是1,另四条边长是2,求八边形的面积.八年级数学竞赛例题专题讲解：心中有数阅读与思考现代社会是一个数字化的社会,我们每个人每天都要和各种各样的数字打交道,从国民生产总值、人均消费水平、人口自然增长率、股市综合指数,到家庭的水、电、煤气的月平均数,学生的身高、体重、考试成绩,都与数字有关.“用数据说话”已成为从事许多工作的基本要求,能用数据说话的人必须具备一定的统计知识.对数据进行收集、整理、计算、分析,并在此基础上作出科学的推断,这就是数据分析,是统计学研究的基本范畴和方法,收集数据、量化处理的目的在于运用统计结果进行判断和决策.统计学的基本思想就是用样本对总体进行估计、推理,即用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律,是从局部看整体的思想方法.例题与求解【例l】在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中,各分数段的人数如图所示（分数取正整数,满分100分）.请观察图形,并回答下列问题：（1）该班有________名学生.（2）69.5~79.5这一组的频数是_________,频率是_________.（3）请估算该班这次测验的平均成绩.（黄冈市中考试题）解题思路：从频率直方图中捕捉相关信息.39.549.559.569.579.589.599.5。