有理数的基本性质
【知识点梳理】
板块一：正数与负数
正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。
在小学学过的数，除0外都是正数。
正数都大于0。
负数：像－1、－3.12、5
17
-
、－2012等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数。
负数都小于0。
0既不是正数，也不是负数。
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
如：南为正方向，向南1km 表示为+1km ，那么向北3km 表示为－3km 。
【例1】
(1) 下列各组量中，具有相反意义的量是（ ）
A ．节约汽油10升和浪费粮食
B ．向东走8公里和向北走8公里
C ．收入300元和支出100元
D ．身高1.8米和身高0.9米
(2) 如果零上5°C 记作+5°C ，那么零下5°C 记作（ ）
A ．－5
B ．－10
C ．－5°C
D ．－10°C
(3) 一种零件的长度在图纸上是（05
.005.0-20+）米，表示这种零件加工要求最大不超过________，最小不小于________。
【例2】
(1) 甲乙两地的海拔高度分别为200米，－150米，那么甲地比乙地高出（ ）
A ．200米
B ．50米
C ．300米
D ．350米
(2) 如果水位升高4m 时水位变化记为+4m ，那么水位下降3m 记作________，水位不升不降时水位变化记为
________m 。
板块二：有理数的分类
有理数：整数与分数统称为有理数。
无理数：无限不循环小数，如π。
有理数的分类：
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨
⎧⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
⎪⎭⎪
⎬⎫分数
负数分正数分数整负数然自零数整正数整）类分义定按数（理有
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧数
分负数整负数理有负零
数
分正数整正数理有正）类分号符按数（理有
注意： (1) 正数和零统称为非负数。
(2) 负数和零统称为非正数。
(3) 正整数和零统称为非负整数。
(4) 负整数和零统称为非正整数。
【例3】 (1) 1是（ ）
A ．最小的整数
B ．最小的正整数
C ．最小的自然数
D ．最小的有理数
(2) －4.5，6，0，2.4，π，2
1
-，。
313.0 ，3.14，－11以上各数中，________________________属于负数，
________________________属于非正数，________________________属于非负有理数。
(3) 判断下列说法正确与否：
①一个有理数不是整数就是分数 （ ） ②一个有理数不是正数就是负数 （ ） ③一个整数不是正的，就是负的 （ ）
④一个分数不是正的，就是负的
（ ）
板块三：数轴
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴特点分析：
1．在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大。
2．正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
【例4】
(1) 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“<”连接。
+5，－3.5，
21，2
1
1-，4，0，2.5
(2) 数轴上的点A 、B 分别表示数－3和1，点C 是A 、B 的中点，则点C 所表示的数是________。
【例5】
(1) 数轴上的点A 对应的数为－3，那么与A 点相距1个单位长度的点B 所对应的数是________。
(2) 数轴上的点A 对应的数是－1，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴正方向以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，
用2秒的时间吃光了B 点处的蜂蜜，又沿着原路返回A 点，共用了6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应数是多少？
板块四：相反数，倒数，绝对值
相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0。
几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。
求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号即可。
【例6】73与________互为相反数；a 2
1
-是________的相反数，4+b 是________的相反数。
多重符号的化简
方法：－（－a ）可以看成－a 的相反数，－a 的相反数为a ，即－（－a ）=a 。
【例7】
(1) －（－2）的相反数是________。
(2) －{－[+(－5)]}与_____互为相反数，－(－a －b )与________互为相反数，+[－(－7+b －c )]与________互为相反
数。
【例8】化简：－{－[+(－4)]}= ________。
【例9】如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数。
①－（+a ）； ②－（－a ）； ③－[+(－a )]； ④－[－(－a )]； ⑤－{+[－(－a )]}
绝对值：数a 的绝对值记作|a |。
代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
几何意义：点到原点的距离。
【例10】
(1) 绝对值大于2而小于5的负整数是________________。
(2) 已知a 、b 为有理数，且a ＜0，b ＞0，|b |＜|a |，则a 、b 、－a 、－b 的大小关系是（ ）
A ．－b ＜a ＜b ＜－a
B ．－b ＜b ＜－a ＜a
C ．a ＜－b ＜b ＜－a
D ．－a ＜b ＜－b ＜a
【例11】
(1) 5--=________；
(2) 22-+-y x =0，求xy =________；7--=y x ，则xy =________。
【例12】下列说法正确的事（ ）
A ．符号相反的数互为相反数
B ．任何有理数都有倒数
C ．最小的自然数是1
D ．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远
【例13】
（1）21--的几何意义是数轴上表示－1的点与表示2的点之间的距离，则21--＝______； （2）π-x 的几何意义是数轴上表示______的点与表示______的点之间的距离：
π-x ＝1的几何意义是数轴上表示______的点与表示______的点之间的距离是______。
（3）数轴上四个点的位置关系如右图，且它们表示的数分别为p,q ，r ，s ．若10=-r p ， 12=-s p ，9=-s q 则
r q -＝______。
【例14】若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，求：
bm am cd m m b a 201012010324-+--++
【综合练习】
1． 一辆汽车从原点出发，向东记为正，向西记为负，分别行驶了下列路程：+3，－4，+5，－6，+2，则最终位于
（ ）
A ．原点向东2单位
B ．原点
C ．原点向西2单位
D ．原点向南2单位
2． 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：
－2.4，3，2.008，3
10
-，411，⋅⋅-51.0，0，－（－2），3.14，4--。
正有理数集合：{ } 非负整数集合：{ } 负分数集合：{
}
3． 点A 表示的数是－2，将点A 沿数轴移动6个单位后到达点B ，则点B 表示的数为（ ）
A ．－8
B ．4
C ．－8或4
D ．不能确定
4． (1) 化简：－{－[+(－4)]}= 。
(2) －{－[+(－5)]}与 互为相反数，－(a －b )与 互为相反数。
(3) －6的绝对值是 ，7
4
2-的倒数是 。
(4) ①5.1--= ；
②绝对值不大于3的整数有 。
5．2+x 的几何意义是数轴上表______点与表示______点之间的距离；若2+x ＝2，则x ＝______； 6．当x ＝－1时，25++-x x ＝ ，当x ＝π时，25++-x x ＝ 。
B 组
7．当3<a <4时，化简63---a a 。
8．若x 、y 满足01201012011=++-y x ，求x +y +2012的值。
9．设a、b、c为非零有理数，且0
b-
a
b
+
-
-。
+
-
c
b
a，ab
+a
=
ab=，0
=
c，化简：c
-c
a。