课 题一、有理数的基本概念考点1．负数⑴ 用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后。
） ⑵定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8，3 (4)-） ⑶a -不一定是负数，关键看a 是正数、负数还是0例题：例1：设向东行驶为正，则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。
例2：收入—2000元，表示 。
考点2．有理数⑴定义：整数： 正整数、零和负整数统称为整数。
()...2,1,0,1,2....--自然数：正整数和零。
()0,1,2,3....分数：正分数和负分数统称为分数。
40.3,0.31,......5∙∙⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化。
【注】π，以及π的倍数都不是分数。
有理数：整数和分数统称为有理数。
⑵ 有理数分类① 按有理数的定义分类 ②按正负分类正整数 正整数整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数分数 负有理数 负分数 负分数⑶ 习惯上将“正有理数和零”称作非负有理数 （即非负数）⑷ 数集：把一些数放在一起就组成了一个数集，简称数集。
有理数集，整数集，非负整数集等等。
⑸ 【注】0既不是正数也不是负数，0是整数，0是自然数，0是非负数，0是非正数。
0不仅仅表示没有。
最小的正整数是1，最大的负整数是-1，没有最大、最小的整数，最小的自然数是0。
例题：例1：76%,5,260,2001,0,120.1,100020,- ,31-⋅--∙∙，负数有 个，正数有 个，整数有 个，正分数有 个，非负整数有 个。
例2：下列说法正确的是：（ ） ⑴一个数，如果不是正数，必定就是负数 ⑵正有理数是正整数和正分数的统称。
⑶ 一个有理数不是分数就是正数。
⑷ 整数不是奇数就是偶数。
⑸ 0是最小的有理数。
⑹ 3.1415926 不是分数 ⑺ 正整数和负整数统称为整数。
⑻ 奇数是正数⑼ 有理数包括整数和分数 ⑽ —0.6是分数 ⑾ 0不是正数也不是负数。
⑿ 0是自然数，不是整数。
⒀ 没有最小的有理数。
【中考链接】例⒈（2009绵阳）在电视上看到天气预报中，绵阳王朗国家级自然保护区某天气温为“－5℃”表示的意思是 。
例⒉（2010广东广州）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ）A ．－18%B ．－8%C ．＋2%D ．＋8%例⒊（2010安徽）在－１，０，１，２这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ）A ．-1 B. 0 C.1 D.2例⒋（2010新疆乌鲁木齐）在2,1,2,0--这四个数中负整数是（ ）-D．1A．-2 B．0 C．2考点3．数轴⑴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴⑵数轴的三层涵义：①数轴是一条直线，可以向两方无限延伸②数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，三者缺一不可③原点的确定，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，但一条数轴上的单位长度要统一，一般规定向右为正方向。
（3）数轴的画法①画一条水平的直线；②在这条直线上的适当位置取一点作为原点；③确定正方向，用箭头表示；④选取适当长度作为单位长度，并对应标上数字。
（4）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数（5）在数轴上比较有理数的大小①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
②由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
例题：例1：写出数轴上A,B,C,D,E各点表示的数，并用“>”号连接起来。
例2：写出大于—4而不大于2的所有的整数，并在数轴上表示出来。
例3：若数轴上的点A向右移动2个单位长度后，又向左移动1个单位长度，此时正好对应—8这个点，那么原来A 点对应的数是。
例4：写出两个比—2大的负有理数。
【中考链接】例⒈（2010吉林）如图，数轴上点A所表示的数是_________。
例⒉（2010 连云港）下面四个数中比－2小的数是（）A．1 B．0 C．－1 D．－3例⒊（2010 河北）如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD = 6，点A对应的数为1-，则点B所对应的数为．BCA 0D例4．不大于4的正整数的个数为（ ）． A 、2 B 、3 C 、4 D 、54．相反数（1）（代数意义）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。
（几何意义）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。
（2）互为相反数的性质①正数的相反数是负数，负数的相反数是正数 ，0的相反数是0 ②互为相反数的两个数和为0 ，反过来，和为0的两个数互为相反数 即：a,b 互为相反数⇔a+b=0，有时也可以表示为a=-b 或b=-a （3）相反数的求法：只需在一个数前面加一个“－”号，即a a -的相反数是。
在一个数的前面加一个“+”号，表示这个数的本身。
（4）多重符号化简多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。
如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。
可简写为“奇负偶正”。
（5）【注】 相反数等于本身的数只有0，正数的相反数小于它本身，负数的相反数大于它本身。
a a 的相反数的相反数是例题：例1：下列说法正确的是( )A 一个数比它的相反数小，那么这个数是正数。
B 符号相反的两个数互为相反数。
C 互为相反数的两个数可能相等。
D 一个数的相反数不可能大于它本身。
例2：（1）0.1与a 互为相反数，那么a= 。
（2）a-1的相反数是 。
（3）若-x 的相反数是-7.5，则x= 。
（4）如果m 的相反数是最大的负整数，n 的相反数是-2，那么m+n= 。
例3：-[-（-3.5）]= -[-（+8）]=【中考链接】例⒈（2010江苏淮安）-(-2)的相反数是（ ） A ．2 B ．12 C ．-12D ．-2 例⒉（2010浙江金华）如图，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a ，－a ，1的大小关系表示正确的是（ ） A ．a ＜1＜－aB ．a ＜－a ＜1C ．1＜－a ＜aD ．－a ＜a ＜15．绝对值（1）（几何意义）在数轴上表示数a 的点离开原点的距离，叫做数a 的绝对值。
（代数意义）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．（2）绝对值的求法：去掉绝对值符号，必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
(0)a 0(0)(0)aa a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（3）绝对值性质一个数的绝对值是一个非负数，a ≥0。
【注】绝对值最小的数是0，绝对值等于本身的数是正数和0（非负数），绝对值等于它的相反数的数是负数和0（非正数）。
（4）两个相反数的绝对值相等．即：若a b =⇔则a=b 或a=-b例题：例1：若|a|=2，则a= 。
例2：到原点5个单位长度的点是 。
例3：若|m|=-m,则m 是 。
若|m|=m,则m 是 。
例4：若|x+2|+|y-3|=0，则x= ,y= 。
0 1A例5：若|a|=4,|b|=3,且a<b,试求 a 、b 的值。
例6：写出绝对值不大于3的所有整数【中考链接】例⒈（2010鄂尔多斯）如果a 与1互为相反数，则│a │等于（ ）A .2 B.－2 C .1 D .－1例⒉（2010吉林）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）例⒉（2010湖南长沙）实数a 、b 在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是 ．a bo考点6：倒数（1） 定义：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。
即：a,b 互为倒数⇔ab=1 【注】倒数等于本身的数是1，-1。
（2）求法：①求非零整数的倒数，即a （a ≠0的整数）的倒数是1a② 求一个分数的倒数，即()0,0n n m m ≠≠倒数是mn③ 求一个带分数的倒数，应将带分数化为假分数再求其倒数 ④ 求一个小数的倒数，现将小数化为分数，再求其倒数例题：例1． 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，且c ＝–l ，求cb a cdc 2)(2||2+-+的值．例2：下列说法正确的是 。
①只有1的倒数等于它的本身。
②－3.5的倒数是3.5。
③零没有倒数。
④0.1的倒数是10。
⑤任何一个有理数a的倒数都等于a1。
⑥两个数的积等于1，这两个数互为倒数。
【中考链接】例⒈（2010广东佛山）如图，数轴上的点A 表示的数为a ，则1a等于（ ）． A. 12-B.12C.-2D.2例⒉（2010 山东荷泽）负实数a 的倒数是（ ）A ．－aB ．a1C ．a 1-D ．a考点7．有理数大小比较原则（1）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数 （2）两个负数，绝对值大的反而小（3）有的不能直接比较两数的大小，可利用相减法、相除法以及寻找第三个等量的方法例题：例1：实数a,b 在数轴上的位置如图所示，是比较a,-a,b,-b 的大小关系。
b a例2：因为31-32-，所以，31- 32- 例3：若x<y<0,则 -x y, x -y , |x| |y|有理数概念练习题1．当0<a时，=a ；a 的相反数是 ，绝对值为5的数是 ，相反数为3的数为 ．2． 绝对值不大于4的整数是 ．绝对值不大于4的整数的和是 ．311-的倒数与21-的相反数的差等于 ． 3． 满足a a=1的数有 个，他们是 ；满足a a =-的数有 个，他们是 ；满足a a =的数有 个．4．若312=-x ，则=x ．代数式abab b b a a ++的所有可能的值为______________．5．在数轴上与数-1所对应的点相距2个单位长度的点表示的数为 ，长为2个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖个点．6．已知0>a ，0<b ，b a <，用“<”符号把a ，a -，b ，b-连接起来的式子为 ．7．如果0)23(22=++-y x ，那么=+y x ．已知3=a ，2=b ，则b a +的值为_________．8．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数， m 在数轴上的对应点到原点的距离为1，则m cd cb a ba +++++ 的值是 ．9．若1=x x ，若x 0，若1-=xx，若x 0．当52<<-x 时，化简25+--x x =______________．10．如果6=m ，2=n ，m n n m -=-，那么=m ，=n ．11．绝对值小于10的所有的整数的和是 ，积是 ．12．若0)1(32=-++y x ，式子nx y ⎪⎭⎫ ⎝⎛--4的值（n 为整数）是 ．13．若0)2(12=-+-ab a ，计算代数式：)2001(20011)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab ）（ =_________________. 14．如果收入20元记作+20元，那么-75元表示 ．如果-30%表示减少30%，那么+50%表示 ． 15．b a -的相反数为_______. 大于－4．5的非正整数有 个，大于－7．6且小于2．9的整数有 个． 16．)5(+-a 是 的相反数，若a a-=，则=a ．绝对值最小的数是 ，绝对值等于6- 的数是 ．17．绝对值小于3的整数有 个，它们是 ．已知1=-a ，32=b ，则=+b a ．18．若a a a 2=+，则a 0；已知031=-+-y x ，则yx xy+的值为_____________________． 19．已知0<a ,0<b ，且b a <，用“<”号将a 、b 、a -、b -连接起来为____________________．20．小明同学每天早上6：00钟开始起床，起床穿衣的时间需要5分钟，起床后他立即用煤气灶煮早饭，早饭一共需要7分钟才能煮熟，他洗脸、漱口时间需要5分钟，吃早饭需要8分钟，吃完早饭就去上学，小明同学很会合理安排时间，他从开始起床到吃完早饭仅需要 分钟，请你以后在生活中实践一下． 21．已知82=-x ，则x 的值为 ；绝对值不大于4的整数的和是 ．22．0减去a 的相反数，结果是 ．31-的绝对值与212-的相反数的差是 ． 23．若8=a ，3=b ，且0>a ，0>b ，则=-b a ________; 已知032=-++b a ，则=-5ab ．24．若0<ab ，且b a <，则a 0，b 0．25．0321=-+++-z y x ，则=+-+)3)(2)(1(z y x ．26．若0)3)(2(=+-x x ，则=x ．若a 为整数，012>+a ，010<+a ，则=2a ．27．–54 的底数是 ，它表示 ．=-n2)1( ， =-+12)1(n28．若a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，2=m ，=-+⨯+23)(m ab bad c 29．=---323，=⨯÷+--33133322．30．四个互不相等的整数a 、b 、c 、d 的积是9，则=+++d c b a ．31．已知a 与b 互为倒数，c 与d 互为相反数，且3=x ，求x d c ab 23+--的值．32．绝对值大于6小于13的所有负整数的和是 ．如果0>+ba ，并且a 、b 异号，a b >，则ab．33． 如果492=x ，0<x ，那么=x 2 ．3)73(-的底数是 ，指数是 ．34．=-+-20062005)1()1( ．一个有理数与它的倒数相等，这样的有理数是 ．35．如果0>a ，0<b ，且0<+b a ，则（ ） A ．b a > B ．b a = C ．b a < D ．0<b 36．如果0<a，0<b ，且b a >，那么b a -是（ ） A ． 正数 B ． 负数 C ． 0 D ． 以上都有可能37．下列说法正确的是（ ）A ． 几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负．B ． 几个有理数相乘，当负因数有偶数个时，积为正．C ． 几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个．D ． 几个有理数相乘，当因数有偶数个时，积为正． 38． 已知：0,5,4 ab b a ==，则b a +的值为（ ） A ． –1 B ．1 C ．1或-1 D ．9或-939．下列说法正确的是（ ）A ．正数和负数互为相反数．B ．数轴上，原点两旁的两个点所表示的数是互为相反数C ．除0以外的数都有它的相反数．D ．任何一个数都有它的相反数． 40．下列说法正确的是（ ）A ． 绝对值等于它本身的数一定是正数B ．最大的负数是-1C ．整数是由正整数和负整数所组成的D ．有限小数是有理数41．有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，则下列结论错误的是 A ．a b -> B ． b a -> C ．a b > D ．b a >a b 0。