r f12
r f21
对质点组内第 i 个质点，由质点的动量
r F2
定理得：r r
r
r
Fi
(Fi fi )dt dpi
r F3
对 n 个质点求和得：
r
Fi dt
r fidt
d
r pi
d
r pi
rr
r
由牛顿第三定律可知： fij f ji
fi 0
r
Fi
d dt
r pi
二、动量守恒定律
F
I t t0
t
t
Fdt
0
t t0
p p0 t t0
【例】质量m=140g的垒球以速率 v = 40m/s沿 水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿 仰角 60o飞出. 求棒对垒球的平均打击力. 设棒 和球的接触时间为 t =1.2 ms .
v2
60o
v1
因打击力很大，所以由碰撞引起的质 点的动量改变，基本上由打击力的冲量决 定， 重力、阻力的冲量可以忽略.
天文学家们将组织一场国际规模的观测， 以期尽可能多地收集这次撞击的情况。美国宇 航局还计划调整哈勃、斯皮策和钱德拉太空望 远镜，在撞击时和撞击后锁定“坦普尔一号” 进行观测。
美国科学家一再强调，这次撞击不会摧毁 彗星或使彗星偏离其运行轨道进而撞击地球。
§3.2 动量守恒定律
一、质点组的动量定理
r
F1
mvrn1
mvrn
vr 4
vr 3
r
vr
r F2t2
2
r vr 1
F1t1
F3t3
r
r
r
r
F1t1 F2t2 F3t3 L Fntn
rrr
r
I1 I2 I3 L In
r
I
n
r Ii
mvrn1
mvr1
i 1
vr 4
vr 3
r
vr
r F2t2
2
r vr 1
F1t1
F3t3
vrn1
r
R
【例3.10 】如图所示，人与船构成质点系，当 人从船头走到船尾，求人和船各移动的距离.
解: 在水平方向上，外 力为零，则系统质
心位置不变.
xC xC
O
开始时，系统质心位置:
x1
m
x2
M
x
xc
mx1 m
Mx2 M
（ x1 、x2 分别为人和船开始时的质心位置）
终了时，系统质心位置:
xc
mx1 m
dM(v u) (M dM)(v dv)
vf
Mf
dv
u
dM M
,
dv u
dM M
vi
Mi
vf
vi
u ln
Mi Mf
设火箭质量比 N Mi Mf ，火箭增加的速度为
v f vi u ln N 提高速度的途径：
1、提高气体喷射速度u；
2、增大Mi /Mf （受限制），采用多级火箭， 终速度为
O k y r
M Fr sin
r M
rrr
r
Fr
r
F
r
r
r
rxr
( xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk ) r
由r矢r积的r定义r ： r r
kr
i i j j kk 0
j
r r r r r r r r r rO i j k jk i ki j i
rr r r r r r r r
4 . 对那些不能用力的概念描述的过程，例如 光子与电子的碰撞、衰变、核反应等过程，
实验表明：只要系统不受外界影响,这些过
程的动量守恒 .
5 . 物理学家对动量守恒定律具有充分信心 . 每当出现违反动量守恒的反常现象时，总
是提出新的假设来补救，结果也总是以有
所新发现而胜利告终 .
【例】在 衰变中，反中微子的发现
mvr2
mg t
60o
mvr1
打击力冲量 F t
根据动量定理：
r F t
mvr2
mvr1
r F t
mvr2
mvr1
v2 v1 v
F t
mv2
棒对垒球的平均打击力大小为：
F 2mv cos 30 t
30o mv1
20.1440cos 30 1.2103
60o m=140g
8.1103 (N)
r kr
j
rO i
二、 质点的角动量定理
根据牛Fr顿第d二pr 定律：
rr
r F
dt rr
dpr
dt
r
O k y r
rr
Fvr
x
Q
d
r (r
r p)
drr
r p
r r
d pr
(vr
//
r P
)
dt
dt
drt
r M
d
(rr
pr)
60o
O
rm=140g r j ) (v1i )]
x
mv
r (3i
r 3j)
2t
(已知：v2 v1 v)
0.14 40 r r
2 1.2 103
(3i r
3j) r
2.33 103 (3i 1.73 j ) (N)
（高中问题研究）质量为 m 的物体静止在水平桌 面上，受到水平恒力 F 的作用，作用时间为 t ；之后 撤消 F ，又经 2t 时间物体又复为静止. 求此过程物体 受到的阻力.
Mx2 M
（ x1 、x2 分别为人和
船终了时的质心位置）
x1
s人
m
s
l
合并以上两式并整理得: O
M
M( x2 x2 ) m( x1 x1 ) sMs m(lls)s
x2 x2
x
船和人移动的距离分别为:
x1'
s
s ml mM
s人
l
s
Ml mM
§3.6 质点的角动量和角动量定理 r
一、力矩
3
rr 此时 IF、I f 不具有同时性，
r I总 由
rr IF、I f
直接合成.
将有限的物理过程分割成无
限多个无限小的小过程.
r Fr1t1 Fr2t2 F3t3
mvr2 mmvvrr34
mvr1 mmvvrr23
vrn1
r
vr n
Fntn
r Fi
M
ti
mvri
1
mvri
rM
Fntn
解：根据动量定理：
N
N
(F f )t mv2 mv1 f
Ff
x/m
f (2t) mv3 mv2 O
以上两式相加并整理得： v1 W
t
3t t / s
v2 W v3
Ft f (3t) mv3 mv1
r I总
r IF
r If
mvr3 mvr1
Q v3 v1 0 受到的阻力: f F
x
f t p mv 0
f f m v t
∵车厢匀速
F f m v t
煤
m v F
f f
x
已知：每秒钟落入车厢的煤为m = 500 kg
m 即： 500 kg/s
t
牵引力的大小为：
F 500 3 1.5103 (N)
“炮轰”彗星
2005 年 7 月 4 日 ， 美 国 发 射 的 “ 深 度 撞 击 ” 号 （Deep Impact）探测器携带的重372千克的铜头“炮 弹” ，将以每小时3.7万公里的速度与坦普尔一号彗 星（TEMPEL1）的彗核相撞.
据推算，撞击的强度相当于4.5吨TNT炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大 小和14层楼深的凹洞。而撞击溅射出的大量彗星尘埃 和气体又将使坦普尔一号彗星熠熠生辉，人们有可能 通过小型天文望远镜目睹这一史无前例的奇异天象.
科学家认为，彗星含有太阳系形成早期的 冰冻残留物。他们希望深入彗星内部的研究将 使他们能够了解太阳系形成早期40多亿年前的 情况，并加深对太阳系起源的进一步了解。
第3章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
目录
§3.1 冲量与动量定理 §3.2 动量守恒定律 §3.3 火箭飞行原理 §3.4 质心 §3.6 质心运动定理 §3.7 角动量守恒定律
§ 3.1 冲量与动量定理
力的时间积累称为冲量（impulse）：
dI Fdt
vr n
Fntn
力的冲量是力对时间的积累效应.
【例】一辆装煤车以v = 3m/s的速率从煤斗下通 过，每秒钟落入车厢的煤为m = 500kg. 如果使车 厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？
（车厢与钢轨间的摩擦忽略不计）
煤
解：设m′从落入车厢起到
一 与车同速经历的时间为
m v F
f f
一 kkkkt，根据动量定理得：
解: 建坐标系如图 .
y
d
根据对称性，质心在 y 轴上 .
dm
即： xC 0
M
ydm
根据质心定义：yC
0
M
设铁丝总质量为M , 则:
dm dl M Rd R
O
x
R sin
M
Rd
yC 0
R
M
R cos
02RBiblioteka 质心位置： (0 ,2R )
y
d
dm
O
x
说 (1) 弯曲铁丝的质心并不在铁丝上； 明 (2) 质心位置只决定于质点系的质量和质