概率与统计 大题练习31．某校决定为本校上学所需时间超过30分钟的学生提供校车接送服务(所有学生上学时间均不超过60分钟)．为了解学生上学所需时间，从全校600名学生中抽取50人统计上学所需时间(单位：分)，将600人随机编号，为001,002，…，600，将抽取的50名学生的上学所需时间分成六组：第一组(0,10]，第二组(10,20]，…，第六组(50,60]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到的，且第一个抽取的编号为006，则第5个抽取的编号是多少？(2)若从50个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取2人，设他们上学所需时间分别为a 分钟，b 分钟，求满足|a －b |>10的概率．(3)设学校配备的校车每辆可搭载40名学生，请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？解析：(1)因为600÷50＝12，且第一个抽取的编号为006，所以第5个抽取的数是6＋(5－1)×12＝54，即第5个抽取的编号是054.(2)第四组的人数为0.008×10×50＝4，设这4人分别为A ，B ，C ，D ，第六组的人数为0.004×10×50＝2，设这2人分别为x ，y ，随机抽取2人的可能情况有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，xy ，Ax ，Ay ，Bx ，By ，Cx ，Cy ，Dx ，Dy ，共15种，其中他们上学所需时间满足|a －b |>10的情况有Ax ，Ay ，Bx ，By ，Cx ，Cy ，Dx ，Dy ，共8种．所以满足|a －b |>10的概率P ＝815.(3)全校上学所需时间超过30分钟的学生约有600×(0.008＋0.008＋0.004)×10＝120(人)， 所以估计全校应有120÷40＝3辆这样的校车．2．某教师统计甲、乙两位同学20次考试的数学成绩(满分150分)，根据所得数据绘制茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数； (2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)； (3)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个，设事件A 为“选出的2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率．解析：(1)甲同学成绩的中位数是116＋1122＝119，乙同学的中位数是128＋1282＝128.(2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均值比甲同学成绩的平均值高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定．(3)甲同学的不低于140分的成绩有2个，分别设为a ，b ，乙同学的不低于140分的成绩有3个，分别设为c ，d ，e .从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个的情况有{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，e }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，e }，{c ，d }，{c ，e }，{d ，e }，共10种，而选出的2个成绩分别属于不同的同学的情况有{a ，c }，{a ，d }，{a ，e }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，c }，共6种，因此P (A )＝610＝35.3、为了调查一款电视机的使用寿命(单位：年)，研究人员对该款电视机进行了相应的调查，得到的数据如下图所示．并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示．愿意购买 该款电视机 不愿意购买该款电视机合计40岁及以上 800 1 000 40岁以下 600 合计 1 200(1)(2)根据表中数据判断，是否有99.9%的把握认为“是否愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关； (3)若按照电视机的使用寿命进行分层抽样，从使用寿命在[0,4)和[4,20]内的电视机中抽取5台，再从这5台中随机抽取2台进行配件检测，求被抽取的2台电视机的使用寿命都在[4,20]内的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k 0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828(2)依题意，完善表格如下表所示，愿意购买该 款电视机 不愿意购买该款电视机合计40岁及以上 800 200 1 000 40岁以下 400 600 1 000 合计 1 200 800 2 000 故K 2＝2 000×(800×600－200×400)1 000×1 000×1 200×800≈333.333>10.828，故有99.9%的把握认为“是否原意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关．(3)依题意知，抽取的5台电视机中使用寿命在[0,4)内的有1台，使用寿命在[4,20]内的有4台，则从5台电视机中随机抽取2台，所有的情况有C 25＝10(种)，其中满足条件的有C 24＝6(种)，故所求概率P ＝610＝35.4．某校学生参与一项社会实践活动，受生产厂家的委托，采取随机抽样的方法调查某市市民对某新研发品牌洗发水的满意度，被调查者在0分到100分的整数中给出自己的认可分数．现将收集到的100位市民的认可分数分为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]6组，并根据数据绘制出如图所示的频率分布直方图．(1)求这100位市民认可分数的中位数(精确到0.1)，平均数(同一组中的数据用所在区间的中点值代表)； (2)生产厂家根据同学们收集到的数据，拟随机在认可分数为80及其以上的市民中选出2位市民当产品宣传员，求这2位宣传员的认可分数都在[90,100]内的概率．解析：(1)由于[40,50)，[50,60)，[60,70)这三组的频率分别为0.1,0.2,0.3，故中位数位于[60,70)中，为60＋10×23≈66.7，平均数为10×(45×0.01＋55×0.02＋65×0.03＋75×0.025＋85×0.01＋95×0.005)＝67. (2)易知认可分数在[80,90)内的人数为10，认可分数在[90,100]内的人数为5.从认可分数在[90,100]内的5人中随机选择2人的基本事件有1＋2＋3＋4＝10(个)，从认可分数在[80,90)和[90,100]内的15人中随机选择2人的基本事件有1＋2＋3＋…＋14＝105(个)．故这2位宣传员的认可分数都在[90,100]内的概率为P ＝10105＝221.5．在2018年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的某商场推出了来自中国的某商品，该商品按等级分类，有等级代码，为得到该商品的等级代码数值x 与销售单价y 之间的关系，经统计得到如下数据：等级代码数值x 38 48 58 68 78 88 销售单价y /元 16.8 18.8 20.8 22.8 24 25.8(1)(系数精确到0.1)；(2)若该商场销售的此商品的等级代码数值为98，请估计该等级的此商品的销售单价为多少元．参考公式：对一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni ii nii x ynx y bxnx ==-=-∑∑,ˆˆay bx =-， 参考数据：6i ＝1x i y i ＝8 440，6i ＝1x 2i ＝25 564.解析：(1)由题意，得x －＝38＋48＋58＋68＋78＋886＝63，y －＝16.8＋18.8＋20.8＋22.8＋24＋25.86＝21.5，所以1221ˆni ii nii x ynx ybxnx ==-=-∑∑＝8 440－6×63×21.525 564－6×632≈0.2，a ^＝y －－b ^x －＝21.5－0.2×63＝8.9，故所求线性回归方程为y ^＝0.2x ＋8.9.(2)由(1)知，当x ＝98时，y ^＝0.2×98＋8.9＝28.5. 故估计该等级的此商品的销售单价为28.5元．6、某保险公司决定每月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理，销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此该公司随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，绘制成如图所示的频率分布直方图([14,16)小组对应的数据缺失)：(1)(ⅰ)根据图中数据，求出月销售额在[14,16)内的频率； (ⅱ)根据频率分布直方图估计月销售额目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务，说明理由； (2)该公司决定从月销售额在[22,24)和[24,26]两个小组的推销员中，选取2位介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率．解析：(1)(ⅰ)月销售额在[14,16)内的频率为1－2×(0.03＋0.12＋0.18＋0.07＋0.02＋0.02)＝0.12. (ⅱ)若70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标，根据频率分布直方图知，[12,14)和[14,16)两组的频率之和为0.18，故估计月销售额目标应定为16＋0.120.24×2＝17(万元)．(2)根据频率分布直方图可知，[22,24)和[24,26]两组的频率之和为0.08，由50×0.08＝4可知待选的推销员一共有4人，设这4人分别为A 1，A 2，B 1，B 2，则不同的选择有{A 1，A 2}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{B 1，B 2}，一共6种情况，每一种情况都是等可能的，而2人来自同一组的情况有2种，故选出的推销员来自同一个小组的概率为P ＝26＝13.7、已知药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该中药用昆虫的6组观测数据如表： 温度x /℃ 21 23 24 27 29 32 产卵数y /个61120275777经计算得：6666211111126,33,()()557,()84,66i i i i i i i i i x x y y x x y y x x ========--=-=∑∑∑∑621()3930ii y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和为31670605.8≈e ，分别为观察数据中温度和产卵数1,2,3,4,5,6i =，（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（精确到0.1 ）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程xe y2303.006.0ˆ=，且相关指数20.9952R =，①试与（1）中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好；②用拟合效果更好的模型预测温度为35℃时该中药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分为121()()ˆˆˆ,()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑，相关指数R 2＝∑∑==---n i ini i iy yyy1212)()ˆ(1答案及解析：（1）依题意，61621()()557ˆ6, 6.684()iii ii x x y y n bx x ==--===≈-∑∑， 所以ˆ33 6.626138.6a≈-⨯=-， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.6138.6yx =-。