上式中 为坐标系不动时G的变化率, 即相对变化率. 而G是坐标系转动所引起的, 故应为牵连变化率. 如转动坐标系的原点与固定坐标系的原点 O重合，并 以角速度 绕着O转动，则对静止系来说, 一个在转动 系中运动的质点P的绝对速度为
* dr d r v dt dt r
第 四章 转动参照系
导读
• 平面转动参照系 • 空间转动参照系 • 转动参照系动力学 • 地球自转所产生的影响 • 科里奥利力
§4.1 平面转动参照系
在平板参照系上取坐标系 O-xy, 它的原点和静止坐 标系原点O重合， O-xy绕着通过O点并垂宜于平板的 直线 ( 即 Z轴 ) 以角速度 转动 .令单位矢量 i, j 固着在平 板上的x轴和y轴上. P为平板上一质点
为P对转动参照系(平板)诸轴的分速度, 合 和 y 上式中 x 成应为相对速度v’. 而－y和x，是由于平板转动而带 动P一同转动所引起的，故应为牵连速度 r ，因此
v v' r
相对速度 牵连速度
P的加速度为
dv 2 2 yi xj 2y x i 2x y j a x y dt 2 2 yi xj 2y i j xi yj i 2x j x y 2 r a' r 2 r
R表示质点到转动轴的距离矢量.
如果转动系的原点O’不和静止系原点O重合, 且O’对O 的加速度为ao, 则
2 ma ' F ma0 m r 'm r ' m r ' 2m v '
如果质点固定在转动系中,
则v’=0, 故a’=0, ac=0, 则
相对速度 牵连速度
a a'
相对加速度 P相对平板
r
2


r
切向加速度 平板变速转动
2 r
科里奥利加速度 牵连和相对纠缠
向心加速度 平板转动
空间转动参照系
* d2 r a 2 dt
相对速度 牵连速度 d *r d* r r 2 dt dt 向心加速度 科里奥利加速度
§4.3 非惯性参照系
转动参照系以角速度 相对于静止参照系转动, 因 此转动参照系是非惯性参照系, 牛顿运动定律对这种参
照系来讲, 是不成立的.
在非惯性系质点m动力学方程为
* * dr d 2 ma ' F m r m r m r 2m dt dt
惯性离心力的作用使重力常小于引力. 重力随着纬度发生变化, 在 纬度越低的地方重力越小. 只有在两极的地方, 重力和引力才相等. 另外, 重力的方向也不与引力的方向一致. 引力的作用线通过地球 的球心，而重力的作用线一股并不通过地球的球心.
2 科里奥利力
当物体 (质点) 相对地球运动时, 应同时考虑惯性离心力 和科里奥利力的作用 . 由于质点离地轴的距离的变化不 太大, 惯性离心力可以用重力代替. 研究质点运动只要考 虑科里奥利力 例一质点在北半球的某点 P上以速度 v’相对于地球运动, P点的纬度为. 图中SN是地轴, 地球自转的角速度 就沿着该轴. 单位矢量i、j 、k固着在 地球表面上. 且 i 水平向南, j 水平向 东, k 竖直向上. 则在地球上看
积分, 得
2y sin x 2 ( z h) cos x sin y gt 2y cos z
4 2 sin ( x sin ( z h) cos ) x 2 gt cos 4 2 y y g 4 2 cos ( x sin ( z h) cos ) z
在高度不大时, 2项的值很小, 计算发现比科里奥利
加速度小100倍, 所以可以忽略. 这样上式就简化为
0, 2 gt cos , g x y z
两次积分, 并考虑初始条件, 得
1 3 1 2 x 0, y gt cos , z h gt 3 2






相对加速度 P相对平板
向心加速度 平板转动
切向加速度 平板变速转动
科里奥利加速度 牵连和相对纠缠
也可以简写为
a a'
相对加速度
at
牵连加速度
ac
科里奥利加速度
科里奥利加速度, 简称科氏加速度.
是由于在静止系中的观察者看来, 牵连运动(即)
可使相对速度v’发生改变, 而相对运动 (即v’) 又同 时使牵连速度r 中的 r 发生改变, 即科里奥利加 速度 2 v’ 是由牵连运动与相对运动相互影响所产 生的.
牵连速度
d *G dt
相对速度
dv d *v a v dt dt 2* * d r d 2 r dt dt 2* * d r d 2 r dt dt
dr dt
*
d r dt r * dr r 2 dt
2 F mat F m r ' r r 0
即当质点在非惯性系中处于平衡时, 主动力、约束反作 用力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和等于零. 我

们通常Biblioteka 这种平衡叫做相对平衡.§4.4 地球自转所产生的影响
地球既有自转又有公转, 所以是非惯性参照系. 公转的 角速度很小, 常可忽略不计. 自转的角速度约为7.3l0-5 弧度／秒, 虽然也比较小, 但却产生了一些可以观察到 的现象. 1 惯性离心力 地球绕地轴自转角速度是沿地轴的一个恒矢量, 所以 2 F离心 m r m r
其方向垂直于 及 v’所决定的平面并且依右手
螺旋法则定其指向. 如与v’者中有一为零, 则此项加速度即为零.
§4.2 空间转动参照系
转动参照系以角速度转动, 角速度的大小和方向都
随时间改变. 在转动参照系上取坐标系O-xyz, 它的原
点和静止坐标系原点O重合.令单位矢量i, j, z固着在 转动刚体的x轴、y轴和z轴上. 任一个矢量可以表述 为
消去时间, 得到轨道方程
8 cos 3 z h y 9 g
2 2 2
到达地面
1 8h y cos 3 g
3
这个数值一般很小, 在=40o, h=200m时,
y 4.75 10 m
显然在赤道上偏东最显著, 而在两极偏差为零.
2
平面转动参照系
小结 v v' r
r xi yj
因 P 和坐标轴都以角速度运动, dj di j , i dt dt
y
j

r
o


P
S
i
x


则P 点相对静止坐标系的速度
dr di dj dk i y j z k x y z v x dt dt dt dt y i y x j x
所以质点P运动微分方程的分量形式为
Fx 2my sin m x Fy 2m z sin cos x m y cos Fz mg 2my m z
利用科里奥利力可以解释一些地球上发生的基本现象 a．贸易风 在地球上, 热带的空气 因热上升, 并在高 空向两极推进, 而两极空气因冷下降, 在地面附近向赤 道附近推进,形成了一种对流, 故称为贸易风. 但由于 受到科里奥利力的作用, 南北向的气流, 就会发生东西 向的偏转. 如果气流自北向南推进, 则所受到科里奥利 力沿东西方向. 故北半球(sin ＞0)地面附近自北向南 的气流 , 有朝西的偏向 , 成为 东北贸易风 . 而在 南半球 (sin ＜0)地面附近自南向北的气流, 也有朝西的偏向, 而成为 东南贸易风 . 大气上层的反贸易风在北半球为 西南贸易风, 在南半球为西北贸易风.
* dr d r v dt dt
r
相对加速度 切向加速度
惯性力有三项:
d m r m r dt
*

参照系做变角速运动引起的.
2 m r m r
*
参照系转动引起的惯性离心力 科里奥利力
2 地球绕地轴自转 F离心 m r m r Fx 2my sin x 运动微分方程 m Fy 2m z sin cos x m y cos Fz mg 2my m z
*
相对加速度 切向加速度
向心加速度
科里奥利加速度
也可以简写为
a a'
相对加速度
at
牵连加速度
ac
科里奥利加速度
其中 2* d r a' 2 dt * * d d 2 at r r r r r dt dt * 角速度 转动 dr ac 2 2 v ' 变化 本身 dt
b．轨道磨损和河岸冲刷
当物体在地面运动时, 在北半球 (sin ＞0) 科里奥
利力的水平分量指向运动的右侧 , 这样长年累月的作
用, 使得北半球河岸右侧冲刷比左侧厉害, 因为比较陡 峭. 而在南半球 (sin ＜0) 情况与此相反, 是左侧磨损或 者冲刷比较厉害.
双轨单行列车也是同样的问题.
c．落体偏东问题
惯性力有三项: