小船渡河模型
1．小船要横渡一条宽400m 的小河，河水流速是3m/s ，船在静水中的速度是5m/s ，（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：
(1)要使船到达对岸的时间最短，船头应指向何处?最短时间是多少? (2)要使船航程最短，船头应指向何处?最短航程为多少?渡河时间又是多少?
2．汽艇在宽为400 m 、水流速度为2 m/s 的河中横渡河面，已知它在静水中的速度为4 m/s ．求： （1）如果要在最短时间内过河，船头应取什么航向？最短时间为多少？
（2）若水流速度为4 m/s ，船在静水中的速度为2 m/s ，求出船能过河的最短航程？
3．小船匀速横渡一条河流，水流速度的大小1v ，船在静水中的速度大小2v ，第一次船头垂直对岸方向航行时，在出发后020s t =到达对岸下游60m 处；第二次船头保持与河岸成53θ=︒角向上游航行时，小船恰好经过时间t 1能垂直河岸到达正对岸，已知sin53︒=0.8，cos53︒=0.6，求： (1)求船在静水中的速度大小v 2； (2)求第二次过河的时间t 1；
(3)若上游大暴雨，导致水流速度增大到10m/s 时，求小船到达河对岸的最短位移x 及所用时间时间t 2。

4．一条宽度为L 的河，水流速度v 水恒定，
(1)若船在静水中的速度为v 船，那么，保持发动机输出功率不变，怎样渡河时间最短？最短时间？ (2)若船在静水中速度v v >船水，怎样渡河位移最小？最小位移？
(3)如图，某同学偶然发现在水流速度恒定的河流中，某渡河游艇的航迹好像是一条抛物线，又发现游艇船头指向对岸，该同学猜测该游艇可能在垂直河岸方向做匀加速运动，请你分析论证该同学的猜想。

参考答案
1．【详解】
(1)船头始终垂直河岸航行时，在垂直于河岸方向的速度最大，到达对岸时间最短，且最短时间
1400
s 80s 5
d t v =
==船 （2）由于船速大于水速度，船能到达正对岸时航程最短，此时设船与河岸夹角为θ，则
3
cos 5
v v θ=
=水船 可得 θ=53°
船头与上游河岸夹角为53°最短航程为河宽400m
4m/s v ==合
过河时间 2=100s d
t v =合
2．【详解】
（1）由合运动与分运动具有等时性及分运动的独立性知，在船速一定的情况下，船头应垂直指向
对岸开渡河时间最短.则：t =1
d
v =100 s （其中d 为河宽）.
（2）由于河水的流速大于船速，故小船不可能垂直于河岸过河，如图，设船从A 点开始渡河，按题意作出速度矢量三角形，若要航程最短，只需船的合速度v ′方向与AB 间的夹角α最小，由于v 1′的大小恒定，所以当v ′与圆周相切，即v 1′⊥v ′时航程最短.由相似三角形关系知最短航程为
'2
'1
X 800m v d v ==.
3．【详解】
(1)第二次到达正对岸，有 21cos v v α= 第一次航行时，有 10s v t = 解得 25m/s v =
(2)第一次过河时，河宽为 20100m d v t == 第二次过河时间为 1225s sin d
t v α
=
=
(3)由于船速小于水速，所以船无法到达正对岸，设船头与上游河岸的夹角为β ，则当
21
1cos 2v v β=
=' 时，小船到达对岸的位移最小，所用的时间为
12sin d t v β=
=
最小位移为 200m sin d
x β
=
=
4．（1）如图所示
设船头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直与河岸方向的速度分量为
2sin v v θ=船
渡河所用时间为 2sin L L
t v v θ
=
=船 由此可知L 、v 船一定时，t 随sin θ增大而减小；当θ=90°时，sin θ=1（最大），所以船头与河岸垂直时，渡河时间最小为 min =
L
t v 船
（2））如图所示，渡河的最小位移即河的宽度
为使船能直达对岸，船头应指向河的上游，并与河岸成一定角度θ，根据三角函数关系有
cos v v θ=
水船
因为0≤cos θ≤1，所以只有在v 船＞v 水时，船才有可能垂直河岸渡河，此时渡河最短位移为L ； （3）由题可知水流速度不变，而游艇的运动轨迹是曲线，故游艇的速度发生变化，根据运动轨迹可知，游艇的加速度沿y 轴正方向，与游艇的初速度方向相同，故游艇沿y 轴方向做匀加速直线运动。

牵连速度
一、单选题
1．如图所示，人在岸上拉船，不计绳与轮之间的摩擦，已知船的质量为m ，水的阻力恒为f ，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v ，此时人的拉力大小为F ，则此时（ ） A ．人拉绳行走的速度为v sinθ B ．人拉绳行走的速度为cos θ
v C ．船的加速度为cos θF f
m
- D ．船的加速度为
F f
m
- 2．如图，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v 匀速向右运动当小车运动到与水平面夹角为θ时，下列关于物体A 说法正确的是（ ）
A ．物体A 此时的速度大小为cos v θ，物体A 做减速运动，绳子拉力小于物体重力
B ．物体A 此时的速度大小为cos v θ，物体A 做加速运动，绳子拉力大于物体重力
C ．物体A 此时的速度大小为/cos v θ，物体A 做减速运动，绳子拉力小于物体重力
D ．物体A 此时的速度大小为/cos v θ，物体A 做加速运动，绳子拉力大于物体重力
3．如图，汽车向右沿水平面运动，通过绳子提升重物M 。

若不计绳子质量和绳子与滑轮间的摩擦，则在重物匀速上升的过程中，有（ ） A ．汽车做加速运动 B ．汽车做匀速运动 C ．地面对汽车的支持力增大 D ．绳子张力不断减小
4．如图所示，人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上的物块A ，人以速度v 0向左匀速拉绳，某一时刻，绳与竖直杆的夹角为θ，与水平面的夹角为α，此时物块A 的速度v 1为( ) A. 10sin cos v v αθ=
B ．01sin sin v v α
θ
=
C ．10cos cos v v αθ=
D ．01cos cos v v α
θ
=
5．如图所示，小球a 、b 用一细直棒相连，a 球置于水平地面，b 球靠在竖直墙面上，释放后b 球沿竖直墙面下滑，当滑至细直棒与水平面成θ角时，两小球的速度大小之比为（ ） A.
a
b
sin v v θ= B.
a
b
cos v v θ=
C. a
b
tan v v θ=
D ．
a
b
cot v v θ= 6．如图所示，将楔形木块B 放在光滑水平面上靠墙边处并用手扶着，然后在木块和培面之间放入一个小球A ，楔形木块的倾角为θ，放手让小球和木块同时由静止开始运动，某时刻二者速度分别为v A 和v B ，则（ ）
A ．:1:1A
B v v ＝
B ．::A B v v sin cos θθ＝
C ．::A B v v cos sin θθ＝
D ．::A B v v sin tan ＝θθ
7．如图甲、乙所示，一根长L 的轻杆OA ，O 端用铰链固定于地面，另一端固定着一小球A ，图甲中的小球A 和图乙中的杆分别贴靠着边长为a 和b 的立方块，当立方块沿地面向右滑动到图示位置(杆与地面夹角为α)时，速度为v ，则甲图中小球的速度大小v A 和乙图中小球的速度大小v ′A 应为( ) A ．v A ＝sin v
α
，v ′A ＝v sin α B ．v A ＝
cos v
α
，v ′A ＝v sin α C ．v A ＝v sin α，v ′A ＝
sin v α
D ．v A ＝sin v α，v ′A ＝
Lv b
sin 2
α
8．一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度v 0匀速运动，在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。

当杆与半圆柱体接触点与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，则竖直杆运动的速度为：（ ） A. v 0sinθ
B. v 0tanθ
C. v 0cosθ
D ．0
v sin θ
参考答案
1．C 2．B 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．B 9．AC 10．AC。