nz
p
1 4.7 × 10-9 2 6 × 10-15
(b) 是，-1 1.26 (a)是，-m2 1.27 全部是线性算符
(c)不是
（d）不是
∂ ∂ ⎡ ⎤ * ˆ x 是厄米算符： ∫ψ * p ˆ φ dτ = −ih ⎢ψ *φ |∞ ˆx ψ * dτ 1.28 只有 p − ∫ φ ψ * dτ ⎥ = ih ∫ φ ψ * dτ = ∫ φ p 0 x x x ∂ ∂ ⎣ ⎦
l ⎛ 2 3π x ⎞ 2 ⎛ 2 3π x ⎞ 1.29 < x 2 >= ∫ ⎜ x sin sin ⎟ ⎜ ⎟ dx ⎜ l ⎜ l ⎟ l ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝ l ⎠ a b c * l ⎛ 2 3π x ⎞ 2 ⎛ 2 3π x ⎞ p sin sin < p 2 >= ∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dx ⎜ l ⎜ l ⎟ l ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝ l ⎠ a b c *
(c)
T = mv 2 / 2
λ =h/ 2mT
(d)
λ =2dsinθ
1.22 En = n 2 h3 / 8ml 2 hυ = En 2 − En1 λ =c/υ ν = 1/ λ
1.23 Δx = λ Δx ⋅ Δp ≈ h Δp=h/Δx=h/λ =p mΔv=mv Δv=v 1.24 Δp = h / Δx 1.25 (a )验证∫ ∫ ∫ψ n n n ( x, y, z ) *ψ n n n ( x, y, z )dxdydz = 1
1sα (1) 1 1s β (1) ψ Be (1, 2,3, 4) = 4! 2s β (1) 1sα (1) 1s β (1) 1sα (2) 1s β (2) 2 s β (2) 1sα (2) 1s β (2) 1sα (3) 1s β (3) 2 s β (3) 1sα (3) 1s β (3) 1sα (4) 1s β (4) 2 s β (4) 1sα (4) 1s β (4)
光
谱项： 3 S 1S 3 P, 1P (b)np1nd1: L=3, 2, 1 S=1, 0 构成 6 个光谱项， 1.41 (a) ns1np1: L=1, S=1, 0 光谱项： 如题目中所示。 1.42 H: 2S He: 1S Li: 2S Be: 1S B: 2P C:1S 1D 3P N:2P 2D 4S O: 1S 1D 3P F: 2 P Ne: 1S 1.43 n=5, l=3, m=1, ms=-1/2 4f105d06s2 : L=6, S=2 5I, 5I10 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑ ↑ ↑ ↑ 2 1 2 2 1.44 5s 4d : s=1/2 l=2 j=5/2, 3/2 D5/2 D3/2 基谱支项： 2 D3/2 5s14d2: 先 d2 按同科电子处理，s1=s2=1/2 S=1, 0; l1=l2=2 L=4, 3, 2, 1, 0, 然后按 L+S= 偶数合理组合为两组： (1)S=1, L=3, 1 (2)S=0, L=4, 2, 0。 在分别考虑与 s1 偶合得： (I)S=3/2, 4 4 2 2 4 2 2 1/2, L=3, 1 得光谱项 F, P, F, P; 基谱支项是 F3/2 (II)S=1/2, L=4, 2, 0 得 G, D, 2S。 综合上述情况，Y 组态应为 5s24d1。
= ∫ψ He (1, 2)* e2
4πε 0 r12
ψ He (1, 2)dτ = J12 − K12
e2 4πε 0 r12
J12 = ∫∫ φ1s (1)φ1s (1)
4πε 0 r12
φ2 s (2)φ2 s (2)dτ 1 dτ 2 K12 = ∫∫ φ1s (1)φ2 s (1)
φ1s (2)φ2 s (2)dτ 1 dτ 2
0 0 0
a b c
l2 ⎛ 3 ⎞ ⎜1 − 2 2 ⎟ 3 ⎝ 2 nx π ⎠
x
2
≠ x2
(d) xy = x ⋅ y
10 ⎡ = 2 10 2 10 11e 2 e2 ⎤ 1.31 定 核 近 似 下 ： Na+ ⎢ − ∇i − ∑ +∑ ⎥ψ (1, 2,....,10) = Eψ (1, 2,....,10) ∑ i =1 4πε 0 r i < j 4πε 0 r ⎢ 2m i=1 ⎥ i ij ⎦ ⎣
0.6π
1.38 做法同上题，波函数换为 2pz 即可。 1.39 1sα (1) 1sα (2) 1sα (3) 1sα (4) 1 1s β (1) 1s β (2) 1s β (3) 1s β (4) ψ Be (1, 2,3, 4) = 4! 2 sα (1) 2 sα (2) 2 sα (3) 2sα (4) 2 pα (1) 2 pα (2) 2 pα (3) 2 pα (4)
[−
=2 2 ∇ + V ]ψ = Eψ 2m
∇2 =
1 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂2 ⎜r ⎟+ 2 ⎜ sin θ ⎟+ 2 2 2 ∂θ ⎠ r sin θ ∂φ 2 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r sin θ ∂θ ⎝
V=
ze 2 r
1 ∂ ⎛ 2 ∂ ⎞ ∂f (r ) ∂ 2 f (r ) ⎤ ⎡2 = + + ψ r f ( r ) 4 r sin θ sin φ ⎜ ⎟ ⎢r ∂r ∂r 2 ⎥ r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ ⎣ ⎦ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 f (r ) cos 2θ sin φ ⎜ sin θ ⎟ψ = 2 ∂θ ⎠ r sin θ ∂θ ⎝ r sin θ 1 ∂2 1 ψ =− f (r ) sin φ 2 2 2 r sin θ ∂φ r sin θ
z
x − y2
= 5 / 4π 即给定 l，所有角度函数的平方和
与角度无关，说明等价轨道上的电子云有球对称分布特征。 1.37 ψ 1s =
1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ π ⎝ a0 ⎠
3/ 2
e− r / a 0
1.105 a0 0.201π 0.601π
1.1a0
∫ ∫ ∫
0.2 π
ψ 1∗sψ 1s r 2 sin θ drdθ dφ
x y z x y z
a b c
0 0 0
⎧n x ⎪ (b)在a=b=c=100时，求p= ∫ ∫ ∫ ψ nxny nz ( x, y, z ) *ψ nxny nz ( x, y , z )dxdydz ⎨ 2 19.95 29.95 49.95 ⎪1 ⎩
20.05 30.05 50.05
ny 1 1
参考答案 1.1 经典物理学遇到的困难：无法解释小尺度、高速度场合的物理现象，如氢原子光谱、黑体 辐射、光电效应等。对待旧量子论：(1) 继承量子化的思想; (2)发展新的理论以弥补旧量 子论的不足。 1.2 电子波动性实验基础：电子衍射实验，G. P. Thompson，参考教材 20-21 页。宏观物体也 具有波动性，但处理这类体系时，其波动性可以忽略。讲法不确切。 1.3 用波函数描述微观质点的运动，因为微观质点具有波动性。波函数性质：单值、连续、有 限，详情可参考教材 82 页。 1.4 得来线索：参考教材 35-39 页。求解时注意边界条件。 1.5 (1) 能量量子化与边界条件；(2) 波函数具有正交归一性；(3)简并态与简并度；(4)零点能， (5)能级与节面等。
10 ⎡ = 2 10 2 10 9e 2 e2 ⎤ ∇ − + ⎢− ⎥ψ (1, 2,....,10) = Eψ (1, 2,....,10) ∑ i ∑ ∑ i =1 4πε 0 r i < j 4πε 0 r ⎢ i ij ⎥ ⎣ 2m i=1 ⎦
1.32 略 1.33 基本思路：将激发态波函数带入方程，合并整理，令 r 同次项系数和为零，即可求得 a, b 2a Z2 e 2 Z Z2 和 E，然后再利用归一化条件即得 N。 a = b= 0 E== −13.6 eV 2a0 Z 8a0 4 1.34 ψ = yf (r ) = rf (r ) sin θ sin φ
1.30 (a ) < x >= ∫ ∫ ∫ψ ( x, y, z ) xψ ( x, y, z )dxdydz = a / 2 (b) < px >= ∫ ∫ ∫ψ ( x, y, z ) pxψ ( x, y, z )dxdydz = 0
0 0 0 0 0 0
(c ) < x >= ∫ ∫ ∫ψ ( x, y, z ) x 2ψ ( x, y, z )dxdydz =
⎛ 1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂2 ⎞ 1 2 f (r ) ψ =− sin θ sin φ 上述各项和在一起并化简即可得 ⎜ 2 ⎜ sin θ ⎟+ 2 2 2 ⎟ ∂θ ⎠ r sin θ ∂φ ⎠ r ⎝ r sin θ ∂θ ⎝
到题中方程形式。 1.35 此为ψ 3 p 。n=3, l=1, m=0
ψ Be (1, 2,3, 4) =
4! 2s β (1) 2 s β (2) 2 s β (3) 2 s β (4) 2 p β (1) 2 p β (2) 2 p β (3) 2 p β (4)
1.40 ψ He (1, 2) =
e2 4πε 0 r12
1 φ1sα (1) φ1sα (2) 1 = [φ1sα (1)φ2 sα (2) − φ1sα (2)φ2 sα (1)] 2 φ2 sα (1) φ2 sα (2) 2 e2
z
1.36 (a)按照正交归一化条件验证即可。 (b) s态： [Yl , m (θ , φ )]2 = 1/ 4(θ , φ )]2 = Yp2x + Yp2y + Yp2z = 3 / 4π
d 态：
∑ [Y
l, m
(θ , φ )]2 = Yd22 + Yd2xy + Yd2yz + Yd2xz + Yd22